1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　) A．50　　　　　　 B．51 C．52 D．53 解析：D　[依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.] 3．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a19＝(　　) A．0 B. C. D．2 解析：A　[因为，a3＝2，a7＝1，故＝，＝，所以＝＋×16＝＋＝1，故a19＝0，故选A.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第二个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 解析：B　[设该网店从第一个月起每个月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn2＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}(n∈N＋)是等差数列 解析：BD　[对于A，根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；对于B，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确； 对于C，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d知，n的次幂不能为2次幂，故C错误；对于D，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N＋)是等差数列，所以D正确．] 6．已知f(n＋1)＝f(n)－ (n∈N＋)，且f(2)＝2，则f(2 023)＝　________　. 解析：由f(n＋1)＝f(n)－ ，得f(n＋1)－f(n)＝－ (n∈N＋)，∴{f(n)}是一个以－ 为公差的等差数列． ∵f(2)＝2，∴f(2 023)＝f(2)＋(2 023－2)d＝2＋2 021× ＝－ . 答案：－ 7．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为　________　. 解析：由题意，数列{an}满足2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝，又由a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52. 答案：52 8．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这种数码产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)． ∴每年的利润构成首项为200、公差为－20的等差数列{an}． ∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销这种数码产品将亏损． [能力提升练] 9．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 解析：BCD　[对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，显然a，b，c成等差数列，而a2＝1，b2＝4，c2＝9，此时a2，b2，c2不成等差数列，A是假命题；对于B，令a＝b＝c，显然a，b，c成等差数列，则2a＝2b＝2c，此时2a,2b,2c是公差为0的等差数列，B是真命题； 对于C，因a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b＝d(d为常数)， 于是得(kb＋2)－(ka＋2)＝k(b－a)＝kd，(kc＋2)－(kb＋2)＝k(c－b)＝kd，而k为常数， 因此，(kb＋2)－(ka＋2)＝(kc＋2)－(kb＋2)＝kd(kd为常数)， 所以ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)成等差数列，C是真命题； 对于D，令a＝b＝c≠0，显然a，b，c成等差数列，则＝＝，此时，，是公差为0的等差数列，D是真命题．] 10．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d＞0，a3＝2，则(　　) A．a2·a4＜4 B．a＋a4≥ C.＋＞1 D．a1·a5＞a2·a4 解析：ABC　[由题知，只需⇒0＜d＜1，a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d2＜4，A正确；a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6≥，B正确；＋＝＋＝＞1，C正确；a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d2＜0，所以a1·a5＜a2·a4，D错误．] 11．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N＋)，f(2)＝2，则f(2 017)＝　________　. 解析：由f(n＋1)＝f(n)－，得f(n＋1)－f(n)＝－(n∈N＋)． ∴{f(n)}是一个以－为公差的等差数列． ∵f(2)＝2， ∴f(2 017)＝f(2)＋(2 017－2)d＝2＋2 015×＝－. 答案：－ 12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：根据题意a1＝及递推关系知an≠0.因为an＝.取倒数得＝＋4，即－＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，an＝. 又a1a2＝×＝＝，解得n＝11. 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项． [素养培优练] 13．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 解析：C　[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选：C.] 14．单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如＝＋，＝＋＋＋＋，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记＝＋＋＋，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y＋z的值为　________　. 解析：依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又＝＋＋＋中含，故可分解如下＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋，又x，y，z是以101为首项的等差数列，故x＝101，y＝202，z＝303.故y＋z＝202＋303＝505. 答案：505 1 学科网（北京）股份有限公司 $