1.4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§4 数列在日常经济生活中的应用 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.掌握单利、复利的概念． 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用． 3．掌握数列在日常经济生活中的应用. 1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模的核心素养． 2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算的核心素养. [情境引入] 同学们，请先欣赏一则幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款．而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足． 我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦，对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ [知识梳理] [知识点一]　三种常见的应用模型　 1．零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部　本利和　，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)． 2．定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的　本利和　. 3．分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． [知识点二]　常用公式　 1．单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝　P(1＋nr)　. 2．复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝　P(1＋r)n　. 3．产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝　N(1＋r)x　. 　数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？ [提示]　单利和复利两种方法． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．(　　) (2)定期自动转存模型是等差数列．(　　) (3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．(　　) 解析：(1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，共铺了瓦片(　　) A．420块　　　　　　　 B．630块 C．610块 D．620块 解析：C　[由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首项的等差数列，求前20项的和，所以共铺了S20＝20×21＋eq \f(20×19,2) ×1＝610块瓦片．] 3．现存入银行10 000元定期存款，存期1年，年利率是1.5%，那么按照复利，5年后本利和是(　　) A．10 000×1.0153元 B．10 000×1.0154元 C．10 000×1.0155元 D．10 000×1.0156元 解析：C　[由复利公式得S＝10 000×(1＋1.5%)5＝10 000×1.0155.] 4．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷了60层，若把各层都视为一个同心圆，π取3.14，则这个卷筒纸的长度约为　________　m(精确到个位)． 解析：∵纸的厚度相同，∴各层同心圆直径成等差数列． ∴l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq \f(4＋12,2)＝480π＝1 507.2(cm)≈15(m)． 答案：15 等差数列模型 [例1]　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ [解]　购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{an}， 故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N＋)． 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a10＝121－10＝111(万元)， a20＝121－20＝101(万元)． 20次分期付款的总和为 S20＝eq \f(a1＋a20×20,2)＝eq \f(120＋101×20,2)＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)． 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． (1)按单利计算公式 单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期． (2)按单利分期付款问题的三个关键问题 ①规定多少时间内付清全部款额． ②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同． ③规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式． [变式训练] 1．某人从1月起每月1日存入100元，到第2年1月1日取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少元？ 解：实际取出的钱等于本金＋利息． 到第2年1月1日取款时， 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%×eq \f(12×13,2) ＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)． 等比数列模型 [例2]　张叔叔打算以一年定期的方式存款，计划从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ [思路点拨]　每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题变为求等比数列前n项和问题． [解]　设从2020年年初到2030年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)． 故数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)是首项a1＝a(1＋p)10、公比q＝eq \f(1,1＋p) 的等比数列，2030年年初张叔叔取出的钱数为 S10＝eq \f(a1＋p10\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋p10))),1－\f(1,1＋p))＝eq \f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)](元)． (1)复利问题的计算方法 复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n. (2)解决等比数列应用题的关键 ①认真审题抓特点，仔细观察找规律． ②等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． ③分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查． [变式训练] 2．银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于　________　. 解析：设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(1＋3q)＞a(1＋r)3， ∴q＞eq \f(1,3)[(1＋r)3－1] 答案：(1)8×1.0255　(2)eq \f(1,3)[(1＋r)3－1] 实际应用问题 [例3]　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行贷款的年利率为10%，按复利计息，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786) [解]　甲方案，10年获利中，每年获利构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝eq \f(1.310－1,1.3－1)≈42.62(万元)， 贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 甲方案净获利42.62－25.94≈16.7(万元)． 乙方案，10年获利中，每年获利构成等差数列，首项为1，公差为eq \f(1,2)，前10项和为 T10＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq \f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32.5(万元)， 贷款本息总数为 1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×eq \f(1.110－1,1.1－1)≈17.53(万元)， 乙方案净获利32.5－17.53≈15.0(万元)．比较两种方案可得甲方案获利较多． [母题变式] 1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案的年利率均为2%，按复利计息．试比较两种方案，哪种方案净获利更多？(参考数据：1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210 ≈1.22) [解]　丙方案，由题意知每年的利润an成等比数列，a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10，收入S丙＝eq \f(41－1.2510,1－1.25)＝eq \f(49.3－1,0.25)＝132.8(万元)， 净获利W丙＝132.8－40(1＋2%)10＝132.8－48.8＝84(万元)． 丁方案，由题意，每年的利润bn成等差数列，b1＝3，公差为1.5，n＝10， 收入S丁＝10×3＋eq \f(1,2)×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5(万元)， 净获利W丁＝97.5－20(1＋2%)10＝97.5－24.4＝73.1(万元)． 所以丙方案净获利更多． 将实际问题转化为数列问题时应注意 (1)分清是等差数列还是等比数列． (2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n. (3)递推关系的发现是数列建模的重要方式． [变式训练] 3．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为　________　. 解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝eq \f(3,2)的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量和为eq \f(128×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))5)),1－\f(3,2))＋300×5＋eq \f(5×4,2)a， 所以eq \f(128×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))5)),1－\f(3,2))＋300×5＋eq \f(5×4,2)a≥5 000，即10a≥1 812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a的最小值为182. 答案：182 [当堂达标] 1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟　　　　　　 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析：B　[依题意，得1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴eq \f(1－2n,1－2)≥100，∴2n≥101，∴n≥7，则细菌将病毒全部杀死至少需要7秒钟．] 2．某钢厂的年产值由2002年的40万吨，增加到2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产值将接近(　　) A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 解析：C　[设年增长率为x，则2012年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝eq \f(5,4).2022年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40×eq \f(5,4)×eq \f(5,4)＝62.5≈63(万吨)．] 3．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行　________　m. A．11 700 m B．14 600 m C．14 500 m D．14 000 m 解析：由近往远运送，第一次运两根，以后每次运三根，这种运法最佳，由近往远运送，每次来回行走的米数构成一个等差数列，记为{an}，则a1＝1 100，d＝300，n＝7，所以S7＝7×1 100＋eq \f(7×6,2) ×300＝14 000. 答案：14 000. 4. 1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？ 解：设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，…，xn， 由已知x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1 min放水eq \f(1,24n)，所以eq \f(x1＋x2＋…＋xn,24n)＝1，即Sn＝24n，即eq \f(x1＋xnn,2)＝24n，所以eq \f(1,2)(x1＋xn)＝24，x1＋xn＝48.又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40. 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是40 min. $