1.1.2 数列的函数特性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§1 数 列 1.2 数列的函数特性 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 2．掌握判断数列增减性的方法． 3．利用数列的增减性求最大值、最小值. 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养． 2．借助数列增减性的研究培养学生的逻辑推理的核心素养. [情境引入] 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4, 9,16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等． 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现． [知识梳理] [知识点一]　数列的函数特性　 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有　列表法　、　图像法　和　解析法　. [知识点二]　数列的单调性定义　 1．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列． 2．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列． 3．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？ [提示]　若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2在[1，＋∞)上不是单调递增． [预习自测] 1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列可分为递增数列和递减数列两类．(　　) (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列．(　　) (3)数列的图像是一群孤立的点．(　　) (4) 有些数列可能不存在最大项．(　　) (5)若an＝f(n)表示递增数列，则y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2) ×　(3) √(4)√(5) × 2．在数列{an}中，an＝－n＋1，则{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析：B　[an＋1－an＝[－(n＋1)＋1]－(－n＋1)＝－1＜0，故an＋1＜an，所以{an}是递减数列．] 3．若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是(　　) A．an＝2n B．an＝n2 C．an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n D．an＝log2n 解析：C　[由于函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是减函数，故数列an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n是递减数列，故选C.] 4．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是　________　. 解析：由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 数列的图像 [例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,2n－9) . (1)写出该数列的前4项； (2)画出该数列的图像，并判断增减性． [思路点拨]　(1)令n＝1,2,3,4，求前4项　(2)利用反比例函数图像画数列an的图像． 解：(1)an＝eq \f(2,2n－9) ，令n＝1,2,3,4，可得该数列的前4项分别是a1＝－eq \f(2,7) ，a2＝－eq \f(2,5) ，a3＝－eq \f(2,3) ，a4＝－2. (2)该数列的图像如下图所示， 由图像可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． 画数列的图像的方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或其子集)，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． [变式训练] 1．作出数列{an}：an＝－n2＋10n＋11的图像，判断数列的增减性，. 解：an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36. 图像如图所示 由数列的图像可知，当1≤n≤5时数列递增；当n≥5时数列递减． 数列的单调性 [例2]　判断数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,3n＋1)))的增减性． [思路点拨]　法一：作差法， 法二：作商法，法三：构造函数法． [解]　∵an＝eq \f(n,3n＋1)，∴an＋1＝eq \f(n＋1,3n＋1＋1)＝eq \f(n＋1,3n＋4). 法一：(作差法)an＋1－an＝eq \f(n＋1,3n＋4)－eq \f(n,3n＋1) ＝eq \f(n＋13n＋1－n3n＋4,3n＋43n＋1)＝eq \f(1,3n＋43n＋1)， ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an， ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,3n＋1)))为递增数列． 法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0. ∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\f(n＋1,3n＋4),\f(n,3n＋1))＝eq \f(n＋13n＋1,3n＋4n)＝eq \f(3n2＋4n＋1,3n2＋4n)＝1＋eq \f(1,3n2＋4n)>1，∴an＋1>an，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,3n＋1)))为递增数列． 法三：(构造函数法)令ƒ(x)＝eq \f(x,3x＋1)(x≥1)， 则ƒ(x)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1－1,3x＋1)))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3x＋1)))， ∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,3n＋1)))是递增数列． 判断一个数列的增减性，可以利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性． [变式训练] 2．在数列{an}中，已知an＝eq \f(n＋c,n＋1)(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　) A．an<an＋1 B．an与an＋1的大小关系和c有关 C．an>an＋1 D．an与an＋1的大小关系和n有关 解析：B　[因为an＝eq \f(n＋c,n＋1)＝1＋eq \f(c－1,n＋1)，n＋1≥2，所以当c－1>0，即c>1时，ƒ(n)＝an单调递减，∴an＋1<an，当c－1＝0，即c＝1时，an＝1，an＋1＝an＝1，当c－1<0，即c<1时，ƒ(n)＝an单调递增，an＋1>an，所以an＋1与an的大小关系和c有关，和n无关，故选B.] 数列增减性的应用 [例3]　在数列{an}中，an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N＋)． (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}的最大项． [思路点拨]　利用数列的通项作差或作商判断增减性并求最值． 方法一　(1)证明　令eq \f(an,an－1)＞1(n≥2)， 即eq \f(n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n,n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n－1)＞1，整理得eq \f(n＋1,n)＞eq \f(11,10)，解得n＜10. 令eq \f(an,an＋1)＞1，即eq \f(n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n,n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1)＞1，整理得eq \f(n＋1,n＋2)＞eq \f(10,11)，解得n＞9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝eq \f(1010,119)为最大项． 方法二　(1)证明　假设数列{an}中存在最大项． 因为an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n·eq \f(9－n,11)， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， 故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝eq \f(1010,119)为最大项． 数列中最大项与最小项的两种求法 (1)若求最大项an，则an应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，)) 若求最小项an，则an应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1.)) (2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件． [变式训练] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n＋51). (1)计算an＋1－an，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 解：(1)由题可知， an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋52)－eq \f(n,n＋51)＝eq \f(n＋1n＋51－nn＋52,n＋51n＋52)＝eq \f(51,n＋51n＋52)∵n∈N＋，∴n＋51＞0，n＋52＞0，即an＋1－an＞0. (2)由(1)可得数列{an}是递增数列，则最小项为首项，即a1＝eq \f(1,1＋51)＝eq \f(1,52)，无最大项． [当堂达标] 1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：A　[an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．] 2．已知数列{an}满足a1＞0，　2an＋1＝an，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不对 解析：B　[∵a1＞0，an＋1＝eq \f(1,2)an，∴an＞0，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)＜1，∴an＋1＜an.] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则数列{an}中第　________　项最小. 解析：因为an＝n2－8n＋15＝(n－4)2－1，所以第4项最小． 答案：4 4．已知数列{an}中，an＝eq \f(n－1,n＋1) (n∈N＋)． (1)求a2＋a3； (2)证明{an}是递增数列． 解：(1)由已知得a2＋a3＝eq \f(1,3) ＋eq \f(2,4) ＝eq \f(5,6) . (2)证明：当n≥2时，an－an－1＝eq \f(n－1,n＋1)－eq \f(n－2,n)＝eq \f(2,nn＋1)>0，所以an>an－1.所以{an}是递增数列． $