第1章 1.2 数列的函数特性（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 1.2数列的函数特性 课程标准 素养解读 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念 素养 2.掌握判断数列增减性的方法. 2.借助数列增减性的研究培养学生的逻辑推理的核心 3.利用数列的增减性求最大值、最小值。 素养 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测] 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4,9,16等数称 为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方 1.判断下列命题是否正确（正确的打“/”，错误的打 形，如图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下 “X”) 一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等. ●●●● (1)所有数列可分为递增数列和递减数列两类， 0●● ●●●● ●●●● ●●●●●●●●● ) 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的 发现 (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列： [知识梳理] ( [知识点一]数列的函数特性 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表 (3)数列的图像是一群孤立的点. 示方法，数列也不例外，有 图像法和解析法， (4)有些数列可能不存在最大项」 [知识点二]数列的单调性定义 1.一般地，一个数列{a,},如果从第2项起，每一项都 (5)若an=f(n)表示递增数列，则y=f(x) 大于它的前一项，即am+1>an,那么这个数列叫作 递增数列. 在[1，十∞)上是增函数， 2.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 2.在数列{an}中，an=-n十1，则{an}是 a+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 3.如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常 A.递增数列 B.递减数列 数列. C.常数列 D.不能确定 ?思考若函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，那么 数列an=f(n)也单调递增吗，反之成立吗？ 3.若数列{a,}是递减数列，则其通项公式可能是 A.a=2n B.a =n2 c.a.=) D.a=log2n 4.若数列{an}为递增数列，其通项公式为an=kn一2， 则实数k的取值范围是 第一章数列 五维课堂兰 课堂。互动学案 题型 数列的图像 题型二 数列的单调性 [例1] 已知数列{a}的通项公式为a,一2m—9· [例2] 判断数列{十}的增减性。 (1)写出该数列的前4项； 汇思路点拨了法一：作差法，法三：作商法， (2)画出该数列的图像，并判断增减性， 法三：构造函数法 [思路点拨了(1)令n=1,2,3,4,求前4项 (2)利用反比例函数图像画数列a。的图像」 规律方法 判断一个数列的增减性，可以利用数列图像 变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数 列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列 {a,}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列 的增减性。 ⊙[变式训练] 2.在数列a中，已知a,(:ER,则对于任意 正整数n有 ( 规律方法 A.aa+ 画数列的图像的方法 B.an与a+1的大小关系和c有关 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像 C.an>an+l 来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐 D.an与am+1的大小关系和n有关 标，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正 题型 数列增减性的应用 整数集N+(或其子集)，所以其图像是一群孤立 [例3] 在数列{an}中，an=(n十1) 的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无 ) (n∈N+). 限的 (1)求证：数列{an}先递增后递减； ◇[变式训练] (2)求数列{an}的最大项. 1.作出数列(an}:an=一n2+10n十11的图像，判断数 汇思路点拨]利用数列的通项作差或作商判断增 列的增减性。 减性并求最值. ·5· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 规律方法 [当堂达标] 数列中最大项与最小项的两种求法 1.若数列{an}满足an=2”,则数列{an是 （1)若求最大项a,则a。应满足，a,+1, A.递增数列 B.递减数列 lan≥an-1, C.常数列 D.摆动数列 若求最小项a则a,应满足.≤a+1 2.已知数列{an}满足a1>0,2a+1=an,则数列 lan≤an-1 {an}是 () (2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值 A.递增数列 B.递减数列 来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈ C.常数列 D.以上都不对 N+这一条件. 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2一8n十15，则数 列{an}中第 项最小 ◇[变式训练] 3.已知数列{a,}的通项公式为a。=n十5 4.已知数列a,}中a,=” n+I (n∈N+). (1)求a2十a3； (1)计算an+1一an,并判断其符号： (2)证明{an}是递增数列. (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ C温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·6·当堂达标 1.D[①错误，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各 项都是3：②错误，数列一1,0,1与数列1,0，一1各项的顺 序不同，表示不同的数列：③正确.] 2.D[由题设，载列的通项公式为（一1…当m=6 时，被项为一1×品品] 3.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a,=3-2”,所以a2w=3-22m=3-4”,2=3-2 a33-23 答案3-”司 4.解：(1)am=n(n+2)=n十2，所以ag=82+2×8=80, a20=202+2×20=440. (2)由an=n2+2=323,解得1=17或n=-19(舍去). 所以323是数列{(1十2)}中的项，是第17项. 1.2数列的函数特性 课前预习学案 知识梳理 知识点一、列表法 [思考] [提示]若函数f(x)在[1，十o∞)上单调递增，则函数a =f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)= (-是)，数列a,=f0m)单调递增，但f)=(e-是)月 在[1，十∞)上不是单调递增， 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/(5)× 2.B[a+1-an=[-(n+1)+1]-(-n+1)=-1<0,故 am+1<au,所以{an}是递减数列.] 3.C[由于面数f)=(付)厂是减画数，故教列a, (仔)是递减数列，故选C] 4.解析：由题意知an+1一a,=[k(n十1)一2]-(k1-2)=k >0,即实数k的取值范围是(0，十∞). 答案：(0，十∞) 课堂互动学案 2 [例1门解：1u,=20一9令n=1,2,3,4,可得该数列的 4项分别是1=一号g=一0=-号4 -2. (2)该数列的图像如图所示， 。--。- 02。.45678 -1 由图像可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6， …》上也是递减的. ·7 参考答案 变式训练 1.解：an=-2+10m十11=-(n-5)2+36. 图像如图所示 1 40 30 20· 10H 024681011 n 由数列的图像可知，当1≤≤5时数列递增：当≥5时数 列递减. [例2][解] +1 am=3m+a+1=3(mD+ n+1 3+4 n+1 法一：（作差法）a+1一an=31十43十1 =1十1)(31+1)-n(3十4) (3n+4)(3+1) (31+4)(31+1)' n∈N+,a+1-an>0,即a+1>an' “数列{}为递增数列. 法二：（作商法）n∈N+,aw>0. n+1 ,0+1=31十4= (m+10(3m+1)=3m2+4+1=1十 an n (3+4)n 3n2+4n 31+1 1 3n2+4 >1,a=1>a教列{n十}为运增数列. 法三：（梢造通数法）◆f)=3千≥1， 周)=号(）-) ∴函数f(x)在[1，十oo)上是增函数， “数列{}是道增教列. 变式训练 2B[因为4，-背-1+号+1≥2.片以当c-1> 0,即c>1时，f(n)=aw单调递减，.aw+1<aw,当c-1= 0,即c=1时，an=1,aw+1=an=1,当c-1<0,即c<1 时，f()=a,单调递增，a十1>a,所以an+1与a,的大小 关系和c有关，和1无关，故选B.] [例3]方法一 (1)证明令01>1(m≥2)， an-1 (n+1)· 10 11 即 >1,整理得”十1、11 >101 解得n<10. …() (+1)· 令>1,即 n+1 >1,整理得0+1、10 n+21' (n+2) 10 11 解得n>9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第I0项起递减， 即数列{an}先递增后递减。 (2)解：由(1)知ag=a10= 1010 为最大项 数学(BS)·选择性必修第二册 方法二(1)证明假设数列{an}中存在最大项. (101”+1 因为a+1-an=(n+2)() -(m+D(侣)”- ()量 当n<9时，a+1-au>0,即a+1>an； 当1=9时，an+1一an=0,即an+1=an; 当n>9时，a+1一a1<0,即aw+1<an, 故a1<a2<a3<<ag=a10>a11>a12>…, 所以数列{a}从第1项到第9项递增，从第10项起递减， 即数列{an}先递增后递减. _1010 (2)解：由1)知a=a0=1为最大项。 变式训练 3.解：(1)由题可知，a+1-a=十 0+52-0+5 51 n+D"+5十52=m+5Dm十2'n (m+51)(+52) N+,.n+51>0,n十52>0，即aw+1-an>0. (2)由(I)可得数列{aw}是递增数列，则最小项为首项，即 4=中可记·无接大项，所以20是该数列的第10项 1 当堂达标 1.A[a+1-a,=2+1-2=2">0,.an+1>a,即{an） 是递增数列.] 2.B[a1>0au+1=2an>082=合<1， 1 an …an+1<a.] 3.解析：因为am=n2-8m十15=(1-4)2-1，所以第4项 最小 答案：4 4解：1由已知得a十a,=弓+子-音， ②证明：当≥2时.-41一号”号- >0,所以au>a-1.所以{an}是递增数列. §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.2前一项同一个常数公差 [思考] 1.[提示](1)不是，该数每一项与其前一项的差都是，不是 常数，所以不是等差数列. (2)不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时，这个数列才是等差数列.如数列：1,2,3， 5,7,9,就不是等差数列. 知识点二a.x十(n-1)d [思考] 2.[提示]不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是1 的一次函数，而是常数函数. ·7 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2.C[a,=a1+(1-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2+2=6 -2.] 3.B[a3-a1=8-2=2d,故d=3.] 4解析：由a7=a+6d=8且d=一了，代入解得a=8-d=8 +2=10. 答案：10 课堂互动学案 [例1][解](1)：a+1-a,=[3-2(n+1)]-(3-2m)= 一2，是常数， 数列{an}是等差数列. (2):a+1-a,=[(n十1)2-(n十1)]-(2-m)=21,不是 常数， ∴数列{an}不是等差数列. 变式训练 1.解：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4) 不是等差数列， [例2][解](1)，a4=7,a10=25, 则a十31=7：得=-2 (a1+9d=25,(d=3, .an=-2+(1-1)×3=3m-5, .通项公式为a,=31-5(n∈N). (2)法一：（方程组法）由 。=子， a1+2d=5 得 a1+6d=- 4 a6=a+5-1d=+14x(是）=- 4 法二：（利用a,=am十(n-m)d求解）由a=a3十(7-3)d, 即子-号十，解得d= a6=4+15-3d=号+12×（）- 变式训练 2.解：D设a的公差为d.因为十d15解得4=7， 1a1+16d=39,1 d=2. 所以an=7+2(n-1)=2+5. 令2m十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91是此数列 中的项」 (2)设a,}的公差为d,则十d1解得=12， (a+7d=5, d=-1. .a,=12+(1-1)×(-1)=13-,所以a10=13-10=3. [例3][解]（①）数列{}是等差数列，理由如下： 'a1=2,a+1= 2an 1a十2111 an+1 2a2a 11= an+1 an 2 ，即{}是首项为上= 为=2，公差为d=2 的等差数列 （2由上迷可知=+(m-1d=分a,= 2 an al