第1章 1.2 数列的函数特性（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 e品<a第时，可终品< 36 列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年 为庚子年，则30÷10=3,2049年的天千为已，30 36 ÷12=2余6,2049年的地支为已，故2049年为已 37· 已年. (n+1)2 9 由 +1)+110 解得(n十1)≥9，可得n≥2. 答案：已已 由 (n+1)2 s36 14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象 (n十1)2+137 ,解得(n十1)≤36，可得n≤5. 的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的 [品]内有 难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形 所以2≤n≤5.综上，该数列在区间 规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点 项，并且有4项. 的个数是 [素养培优练] 第1行 13.天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干 -第2行 与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、 第3行 壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、 第4行 西、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干 第5行 和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 第6行 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲 解析：由题意及图形可知，不妨构造数列{an}表示 子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此 第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个 类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始， 实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空 即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始， 心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从 即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年， 第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心 那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年 圆，点数之和.即a1=0,a2=1,且n≥3时，an=am-1 法为 十a。-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分 解析：由题意可知数列天千是10个为一个循环的 别为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数 答案：144 1.2 数列的函数特性 课程标准 素养解读 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念。 素养 2.掌握判断数列增减性的方法， 2.借助数列增减性的研究培养学生的逻辑推理的核心 3.利用数列的增减性求最大值、最小值。 素养 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] [知识梳理] 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4,9,16等数称 [知识点一] 数列的函数特性 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表 为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方 示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法。 形，如图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下 [知识点二]数列的单调性定义 一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等. 1.一般地，一个数列{an},如果从第2项起，每一项都 大于它的前一项，即a+1>an,那么这个数列叫作 ●●●● ●●● ●●●● 递增数列. ●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●● 2.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 a+1<a,那么这个数列叫作递减数列. 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的 3.如果数列{an的各项都相等，那么这个数列叫作常 发现 数列. ·6· 第一章数列 五维课堂兰 纪思考若函数f(x)在[1，十∞)上单调递增，那么 2.在数列{an}中，an=一n十1，则{an}是 数列a,=f(n)也单调递增吗，反之成立吗？ A.递增数列 B.递减数列 [提示]若函数f(x)在[1，十∞)上单调递增，则 C.常数列 D.不能确定 函数an=f(n)也单调递增，但反之不成立，例如 解析：B[am+1-an=[-(n+1)+1]-(-n+1) f(x)= 5 =-1<0,故an+1<an,所以{an}是递减数列.] ,数列an=f(n)单调递增，但 3.若数列{a,}是递减数列，则其通项公式可能是 f(x)= 在[1，十∞)上不是单调递增， ( [预习自测] A.an=2n B.an=n2 1.判断下列命题是否正确（正确的打“√”，错误的打 D.a-loga n “X”) (1)所有数列可分为递增数列和递减数列两类， 解析：C[由于函数f(x)= 3) 是减函数，故数 ( (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列， 列an= () 是递减数列，故选C.] ( ) 4.若数列{an}为递增数列，其通项公式为an=kn一2， (3)数列的图像是一群孤立的点. 则实数k的取值范围是 (4)有些数列可能不存在最大项. 解析：由题意知a+1一an=[k(n十1)一2]一(kn (5)若an=f(n)表示递增数列，则y=f(x) 2)=>0,即实数的取值范围是(0，十∞). 在[1，十oo)上是增函数. 答案：(0，十∞) 答案(1)×(2)×(3)/(4)/(5)X 对应学生用书P5 ● 课堂。互动学案 规律方法 题型 数列的图像 画数列的图像的方法 [例1] 已知数列{a.)的通项公式为a,=2m一9 2 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像 (1)写出该数列的前4项； 来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐 (2)画出该数列的图像，并判断增减性， 标，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正 [思路点拨了(1)令n=1,2,3,4,求前4项 整数集N+(或其子集)，所以其图像是一群孤立 (2)利用反比例函数图像画数列a。的图像. 的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无 限的. 解：(1)am 2n一9，令n=1,2,3,4,可得该数列的 2 ◇[变式训练] 前4项分别是a1=一 2 2 a2=一 5,a3= a4 1.作出数列{an}:an=一n2+10n+11的图像，判断数 7 3 列的增减性， =-2. 解：an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36. (2)该数列的图像如下图所示， 图像如图所示 a。 40 30 0 1r2.-3 20· 4 6781 10 02468101i 由图像可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在 由数列的图像可知，当1≤n≤5时数列递增；当n {5,6,…}上也是递减的. ≥5时数列递减. 7 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型三 数列的单调性 an=1,当c-1<0,即c<1时，f(n)=a,单调递增， am+1>an,所以am+1与an的大小关系和c有关，和n [例2] 判断数 {a}的增减性， 无关，故选B.] 汇思路点拔] 法一：作差法，法二：作商法， 题型三 数列增减性的应用 法三：构造函数法。 [例3]在数列{an}中，a,=(n十1) (n∈N+). [解] 3n+'六a+1= n+1 3(n+1)+1 (1)求证：数列{an}先递增后递减； n+1 (2)求数列{a}的最大项. 3n十4 汇思路点拨]利用数列的通项作差或作商判断增 法一：作委法a1, 减性并求最值 =(n十1)(3n十1)-n(3n+4) 1 方法一 (1)证明 令4。>1(n≥2)， (3n+4)(3n+1) (3n+4)(3n+1)' (n+1) 10 :n∈N+,.amt1-an>0,即a+1>an, 即 数列{”}为递增数列. 10 1,丝理释”中>品解符n 13n+1了 1 法二：（作商法）n∈N+,an>0. <10. n+1 (n+1) 10 3n+4 (n+1)(3n+1)= 3n2+4n+1 an (3n+4)n 令0>1，即 3n2+4n an+l 1,整理得”十1 (n+2)· n+2 3n+1 11 =1十3r+4 >1a1>a致列{an}为 ,解得n>9 10 递增数列. 所以数列{am}从第1项到第9项递增，从第10项 起递减，即数列{an}先递增后递减。 法三：（枸造函数法）令f(x)=3x千x≥1)， (2)解：由(1)知ag=a1w= 则)=()=〔-4) 为辰大碳 方法二(1)证明 假设数列{an}中存在最大项。 .函数f(x)在[1，十∞)上是增函数， 因为a+1-a,=(n十2) 数列{年}是远增数列. -+D() 规律方法 7 判断一个数列的增减性，可以利用数列图像 当n<9时，a+1-an>0,即a+1>an; 变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数 当n=9时，an+1一an=0,即a+1=aa; 列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列 当n>9时，an+1-a,<0,即a+1<a, {an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列 故a1<a2<a3<…<ag=a1o>a11>a12>…, 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项 的增减性 起递减，即数列{an}先递增后递减. ◇[变式训练] 101o 2.在数列a,中，已知a,= (2)解：由(1)知ag=a1w n+(c∈R),则对于任意 7°为最大项. 规律方法 正整数n有 数列中最大项与最小项的两种求法 A.aan+ B.an与a+1的大小关系和c有关 1)若求最大项a,则a,应满足，≥a+1 (an≥am-1' C.ana+ D.an与a+1的大小关系和n有关 若求最小项a,则a,应满足.a,+1… (an≤a-1 解析：B[因为a,宵=1十号m十1≥2，所 (2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值 以当c-1>0,即c>1时，f(n)=an单调递减， 来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈ .at1<an,当c-1=0,即c=1时，an=1,am+1= N+这一条件. ·8 第一章数列 五维课堂 ◇[变式训练] A.递增数列 B.递减数列 3.已知数列{a,}的通项公式为a,一千5 C.常数列 D.以上都不对 1 (1)计算an+1一an,并判断其符号； 解析：B [a1>0a+1=7aa>02 an (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 2<1,….at1<a.] n 解：(1)由题可知，at1a三十52n十5了 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n十15，则数 (n+1)(n+51)-n(n+52) 51 列{an}中第 项最小. (n+51)(n+52) (n+51)(n+52) 解析：因为an=n2-8n十15=(n一4)2-1，所以第4 :n∈N+,∴.n+51>0,n+52>0,即a+1-am>0. 项最小. (2)由(1)可得数列{an}是递增数列，则最小项为首 答案：4 项，即品无最大项 1 4.已知数列{a,}中，a,=二} n+1 (n∈N+). [当堂达标] (1)求a2十a3; 1.若数列{an}满足an=2,则数列{an}是 (2)证明{an}是递增数列. A.递增数列 B.递减数列 2=5 C.常数列 D.摆动数列 解：1)由已知得a,十，=名+号=音， 解析：A[a+1-a=2+1-2”=2">0,a+1> an,即{an}是递增数列.] (2)证明：当n≥2时，a,-a,1= n-2 n+1 2.已知数列{an}满足a1>0, 2a+1=an,则数列 n(m+>0,所以a>a,-1.所以{a,}是递增数列. 2 {an}是 ( 课时。素养提升 对应学生用书P3 [基础达标练] 4.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且对任 1.已知an=3n一2，n∈N+,则数列{an}的图像是 意a∈(0,1)，由关系式am+1=f(an)得到的数列 ( {an}满足a+1>an,则该函数的图像是 A.一条直线 B.一条抛物线 y=x C.一个圆 D.一群孤立的点 解析：D[an=3n-2,n∈N+,∴.数列{an}的图 0 0 像是一群孤立的点.] A 2.在递减数列{an}中，an=kn(k为常数)，则实数k的 取值范围是 Y=4 A.R B.(0,+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，0] 解析：C[{an}是递减数列，.an+1一an=k(n十1) -kn=k<0.] D 3.已知数列{an}的通项公式为an=n一7√n十2，则此 解析：A[由a+1=f(a),a+1>a,得f(a)> 数列中数值最小的项是 an,即f(x)>x,结合图像可知A正确.门 A.第10项 B.第11项 5.(多选)对于数列{an},若存在正整数k(k≥2)，使得 C.第12项 D.第13项 a<ag-1,a<a+1,则称a是数列{an}的“谷值，k 解析：C[因为a。=n-7V+2= 是数列{an}的“谷值点”，在数列{an}中，若an= n+9-8 ,则数列{an}的“谷值点”为 ( 号，所以易知当=12时4，取得最小位，即此数 n A.2 B.3 列中数值最小的项是第12项.] C.5 D.7 ·9· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解析：AD[因为a,-a+号-8，所以a=2, 解析：A [a。=m2+130' 7 6 a=2ag=2,a4=4,ag=5,a,=2a,=7, n+1 n+1 0m+1D+130六a.+1-a。=7+2n十13 8,当n≥7，n∈N,n十 as= 9 -8>0∴.am= n -n2-n+130 n2+130(n2+21+131)(n+130) n十9一8=n十9一8，此时数列单调递增，a,<a, n 由数列{an}从第n项起单调递减，可得an+1一an<0, a2<a3,a,<a6,a,<a8,所以数列{an}的“谷值点” 即-n2-n+130<0,n∈N+, 为2,7.故选：AD.] 解得m>5@-1或<二15（含去）， 6,已知数列a,}为递埔数列，通项公式为a,=十产 3 2 22<52I<23, 则入的取值范围是 解析：因为数列a,}为递增数列a,=n十产，所以 ÷10.5<52-1<1, 2 a,1-a,=[n+1)+n]-(a+产)=1 .n≥11，.a1>a12>a13>..,即从第11项起， {an}单调递减， n(m十D>0,即A<n(n+1)(n∈N+).所以A<2. n的最小值为11.故选：A.] 答案：（一∞，2） 10.(多选)已知数列{an}满足an=nk”(n∈N+,0<k 7已如数列a,的通项公式为a=(台) <1),下列命题正确的有 (号)，在下列说法中：①有最大项：@有最小项： A.当k=时，数列a为递减数列 ③没有最大项；④没有最小项.正确的是 B.当=时，数列{a,}一定有最大项 (填序号) ,t(0,1],t是关于n的减画 C当0<k<号时，数列(a为递减数列 解析：令t= D.当为正整数时，数列(a}必有两项相等的 最大项 调性知am既有最大项又有最小项，故①和②正确. 答案：①② 解析：BCD[当及=2时，=a=子，知A铅 8.已知数列{an}的通项公式为an=n2一21n十20. (1)一60是该数列中的项吗？若是，求出项数；该 当号时会=号当4院 an 数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值. n>4,a+<1, an 解：(1)由n2-21n+20=-60,得n=5或n=16; 所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0<k< 所以该数列的第5项和第16项都为一60.由n2一 21n十20<0，得1<k<20,所以该数列中有小于0 名时，会-中<是≤1所以数列a为 an 2n 项，共有18项. 递减数列，C正确； (2)因为a,=n72-21m+20=（n- ,可 当个6为正整敛时，1>≥号，当及=2时a,=a 21 知对称轴为n= =10.5.又因为n∈N+,所以当 ≥a,>a,>,当1>k>号时，令色。=m∈N, n=10或n=11时，an有最小值，其最小值为一90. [能力提升练] 则会一贵音=m此 解得k=m, 9.已知数列{a,}的通项公式为a.=十130(m n a+1=an,结合B,数列{an}必有两项相等的最大 N+),且数列{an}从第n项起单调递减，则n的最 项，故D正确；故选：BCD.] 小值为 ( 11.若数列{an}为单调递增数列，且an=2n一1十 A.11 B.12 C.13 D.不存在 则a3的取值范围为 ·10· 第一章数列 五维课堂乡 解析：当n≥2时，a,一a。1=2n-1十入 -(2n-3 若{an}为单调递增数列，则d>0, 若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；若a1<0,则a。 十)=2会 =a1+(n-1)d, 因为致列a,为单胡递增数列，所以2会>0对 由a,=a1十(n-1Dd>0,可得n>1-7,取N, n≥2(n∈N)恒成立， [-]十1，则当>N,时a,>0, 即入<2+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以A<8, 所以“{an}是递增数列”→“存在正整数N。,当n> 所以a=5计合<6的取位范国为(-60,6. N。时，an>0”: 答案：（一0∞，6） 若存在正整数N。,当n>N。时，an>0,取k∈N 12.已知数列{a,}的通项公式为a,=1十2n十a 1 且>N。,ak>0, ,其中 假设d<0,令an=a6十(n一k)d<0可得n>k一 a∈R. (1)若a=一9，求数列{an}的最小项和最大项； 学且一学>， (2)若不等式an≤ag对任意的n∈N+恒成立，求 实数a的取值范围. 当m>[-2]十1时a.<0,与题设矛盾，假设不 解：1)若a=-9,则a,=1十2m-9· 1 成立，则d>0,即数列{an}是递增数列 所以“{an}是递增数列”=“存在正整数N。,当n> 1 于是，结合画数f()=1十2一9的单调性，可知 N。时，an>0”. 所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N。,当n 1>a1>a2>a3>a4,且a5>a6>a,>…>1. >N。时，an>0”的充分必要条件.] 故数列{a,}的最小项为a:=1十2×4-9 1 =0,最 14在数列a中，已知a-且a,-合a an 1 大项为a,=1十2X5-9=2. (2)对a,=1十20十。进行变形，可得a,=1十 (1)求通项公式an; 1 (2)求证：{an}是递增数列； +受 （3求证：1a<是 6 9 因为不等式an≤ag对任意的n∈N+恒成立，所以 解：(1)a,=5a,=7 1 2a=6 结合函数f(x)=1十 2 的单调性，可知应满 2b+15 解得/a=3 {6=2因此4,27 3n a x十2 3a9 3b+1=7, 足7<-号 <8,解得-16<a<-14.故实数a的 3(n+1) 3n (2)证明：a+1一a,=2n十1)十12n+1 取值范围是(-16，-14). [素养培优练] =(2m+3)02m+D>0, 13.(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差 ∴.a+1>an,故{an}是递增数列. 数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N。,当 n>N。时，an>0”的 ( ) (3)证明：a。= 3n 多(2m+1- 3 2n+1 A.充分而不必要条件 2n+1 3 3 3 B.必要而不充分条件 2千2而nN+n≥1，a≤意aa243 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C[设等差数列{am}的公差为d,且d≠0， 记[x]为不超过x的最大整数. 故1a<号 ·11