精品解析：广东省广州市海珠区2025-2026学年高一上学期综合练习（A）数学试题

综合练习（A） （高一数学） 本练习共4页，19小题，满分150分．用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置贴条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分数指数幂的意义求出集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，， 所以. 故选：A 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式或，而当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数的定义域及函数的解析式是否相同两个方面判断． 【详解】的定义域为，值域为， 对于A选项，函数，解析式不同，故不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，与的定义域不同， 故不是同一函数； 对于C选项，函数的定义域为，故是同一函数； 对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同， 故不是同一函数. 故选：C． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式化简得出，再弦化切代入求值即可. 【详解】， . 故选：D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由对数函数的性质可得，再由换底公式可得，再用作商比较法可得，进而可得结果. 【详解】因为，由对数函数的性质，，所以. 又 因为，所以. 再由， 即，，所以. 所以. 故选：B. 7. 已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质求出周期，得到，然后根据最值得出，求出其解析式，得出答案. 【详解】因为直线和为函数的图象的两条相邻对称轴， 所以，且，则， 又在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值，则， 则，不妨取，则， 则， 所以 故选：D. 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出关于的函数并在同一坐标系内作出图象，数形结合比较大小即得. 【详解】令，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，；当时，；当时，，选项ABC可能，D不可能. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别根据幂函数，指数函数，对数函数及余弦函数的单调性判断可得. 【详解】因为幂函数在R上单调递增，，所以，故A正确； 又因为指数函数在R上单调递增，，所以，故B正确； 再由对数函数在上单调递增，，所以，故C不正确； 又因为，函数在上单调递增，所以，所以D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象与直线有个公共点 B. 函数的图象与直线有个公共点 C. 若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则 D. 若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】化简函数的解析式，作出在时的图象以及直线的图象，逐项判断即可. 【详解】因为，其中， 作出函数在时的图象以及直线的图象如下图所示： 对于A选项，由图可知函数的图象与直线没有公共点，A错； 对于B选项，函数的图象与直线有个公共点，B对； 对于C选项，若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则或，C错； 对于D选项，若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则，D对. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若有2个不相等实数根，则 C. 若在的值域为，则的取值范围是 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】解方程求出方程的根，结合基本不等式判断AB；由值域确定范围判断C；利用复合函数单调性，结合对数函数单调性求出单调区间判断D. 【详解】对于A，函数，由，得或，则或，A错误； 对于B，由，得或，由有两个不等实数根， 得，，B正确； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递增， 由在的值域为，得，此时，则， 由，得或，则当时，，； 当时，，，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，， 由，得，解得，即函数定义域为， 由，得，即函数是偶函数， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由偶函数性质得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则函数的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 使式子有意义的的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的定义列式求出范围. 【详解】由式子有意义，得，解得， 所以所求范围是. 故答案为： 13. 已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由指定区间求出相位范围，再由取得最小值建立不等式求出范围即得. 【详解】由，得，由函数在区间上的最小值为， 即取得最小值，得，解得，所以的最大值为. 故答案为： 14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为___________，若不等式成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据为奇函数，利用奇偶性的定义求出的值，从而确定，判断单调递增，将原不等式化为，进而可得答案. 【详解】由函数的图象关于点成中心对称， 所以为奇函数，， 所以， 由，则， 所以， 即，解得. 所以，， 因为与在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又因为是奇函数，且是连续函数，所以函数在R上单调递增. 要使不等式成立，即， 所以，只需，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：3；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且的最小正周期为． （1）求ω的值； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω. （2）由（1）求出，利用和差的正弦及辅助角公式化简求得，再利用正弦函数单调性求出递增区间. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 由，得， 所以的单调递增区间为. 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】（1） （2） 函数在区间上单调递减，证明如下： 设，且， ， 因为，且， 所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数得，结合，建立方程计算即可求解； （2）根据函数单调性的定义，即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， 因为，则，解得， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 略 17. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 【答案】（1）； （2）服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数关系. （2）分段求解不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，，此时函数图象过点，则，解得； 当时，设函数解析式为，依题意，，解得， 所以所求函数关系式为. 【小问2详解】 由，即，解得，而，则， 由，解得，, 所以服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 18. 在中，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式求解； （2）将化成关于角的代数式，再利用均值不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，所以， 即，即， 因为，所以， 又，所以，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 而， 所以，则有， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 由得，，可以取得， 所以的最小值为. 19. 若函数对定义域内的任意一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数” （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） 函数的定义域为，取，则， 所以函数不是“依赖函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可. （2）由函数的单调性及“依赖函数”定义可得，将表示为的函数并求出范围. （3）令，结合“依赖函数”定义可得，借助单调性求出，再利用恒成立、能成立问题求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在定义域上单调递增，且为“依赖函数”， 则，即，而，则， ，由，得，即，解得， ，令， 函数在上单调递减，则，， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，函数化为， 依题意，在定义域上为“依赖函数”，存在实数， 使得对任意的，不等式恒成立， 当时，函数在上的最小值为，此时不存在，使得， 当时，函数在上单调递减，则，即， 解得，因此对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，则， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， 因此，解得，所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合练习（A） （高一数学） 本练习共4页，19小题，满分150分．用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、试室号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置贴条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象与直线有个公共点 B. 函数的图象与直线有个公共点 C. 若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则 D. 若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若有2个不相等实数根，则 C. 若在的值域为，则的取值范围是 D. 函数的单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 使式子有意义的的取值范围是___________． 13. 已知函数在区间上的最小值为，则的最大值为___________． 14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为___________，若不等式成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且的最小正周期为． （1）求ω的值； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．设函数，求的单调递增区间． 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 17. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 18. 在中，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 19. 若函数对定义域内的任意一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数” （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $