函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 例1.(2026四川绵阳模拟预测)已知函数fx=e(2x-1)-ax-1. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)≥e,求实数a的值 例2.(25-26高二上·上海奉贤·期末)已知函数f(x)=ax+lnx+1. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在点(1,2)处的切线方程； (2)对任意的x>0,f(x≤0恒成立，求实数a的取值范围。 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 例3.2s26高三上安徽京月考)已知函数f=ar-:在点1/)处的切线方程为x-y-10 e (1)求a,b的值； (②)当x>0时，f(x≤x-m,求m的最大值. 例4.（25-26高三上：广东惠州月考)已知函数f(x)=lx-ax的图象在x=1处的切线与直线x-y=0垂直. (1)求a的值： 2)对x>0,f)≥m-e-2x-1恒成立，求实数m的取值范围。 2 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式1.(25-26高三上河南月考)已知函数f(x)=(x-1)(e-ar-a,a∈R. (1)若(x)在x=1处取得极值，求a; (2)若当x≥0时，fx)≥-a,求a的取值范围. 变式2.(25-26高三上山东菏泽·期中)已知函数f(x=ax3-bx2+c,其中实数a>0,beR,c∈R ()考6-知时，求函数=（的极值点： 2若a=1时，x≥-2x-C在xe山，2上恒成立，求b的取值范围 Inx 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式3.(2526高三上福建莆田期中)已知函数fx=1+1m (1)讨论(x的单调性； (2)若ear-≥f(x)对Hxe(0,+o)恒成立，求实数a的取值范围. 变式4.(25-26高三上·河北保定·期中)已知函数f(x)=xe“(x∈R) (1)若f(x)在-1,1上不单调，求k的取值范围： (2)当k=1时，若对任意的x>0,f(x)>x2+ax恒成立，求实数a的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点二 能成立求参数问题 例1.(25-26高三上·北京通州期末)已知函数f(x=x3-3alnx,a>0 (1)若a=2,求曲线y=fx)在点4A1,f(1)处的切线方程： (2)若存在xe(0,+0),使fx)<1,求a的取值范围： (同a2引，求证：对在意x,e[月+小，当5>5时，不等式-恒成立 x-X 3 例2.(25-26高三上·上海普陀·月考)设a是实数，f(x)=x3-ax+a. (I)证明：函数y=f(x的图像关于点(0，a)成中心对称： (2)若存在正数x,使得fx,）<a+x,nx成立，求a的取值范围： (3)试根据正数a的不同取值，讨论经过点P(2,1)且与曲线y=f(x相切的直线的条数 5 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 例3.(2526商二上上海月考)已知函数)=写2-4x+4 (1)求出函数f(x)的单调区间： (2)若方程f(x)-a=0在x∈[-3,4有解，求实数a的取值范围 例4.(2425高二下上海奉贤期中)已知aeR,f)=am-(2a+1)1nx-2 (I)若x=1是函数y=f(x的驻点，求a的值； 2)当a≥，时，求函数y=(x)的单调区间： (3)当a=2时，对于任意的x∈[l,©，是否存在n≥l,且neN,使得fx≤n-sinn-3成立，若存在，求的取值 范围？若不存在，请说明理由. 6 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式1.(24-25高二下·北京延庆月考)已知函数f(x)=2e(x-1),x≤2. ()求∫(x)的极值点以及极值、最值点以及最值： (2)设g(x)=f(x)-ax+2a,其中a>0,若存在唯一的整数x,使得g(x)<0,求实数a的取值范围. 变式2.(2025湖北模拟预测)已知函数f(x)=lnx,g(x)=a-1其中a为常数 (1)过原点作f(x图象的切线1，求直线I的方程： (2)若3x∈(0，+oo),使f(x)≤gx)成立，求a的最小值 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 变式3.(24-25高二下四川期中)已知函数f(x)=x3-3x+1. (1)求∫(x)的单调增区间； (2)若方程∫(x)=m在x∈-2,2有解，求实数m的取值范围. 变式4.(24-25高二下.甘肃·期中)已知函数f(x)=lnx+x2-ax,aeR. ()若函数f()的单调递减区间为（与），求实数α的值. (2)若存在x使得f(x)≤2lnx,求实数a的取值范围. d函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， , ,, 在点处的切线方程为， 即； （2），令， 则， ，， ①当时， 时，，单调递减， 由于，则， 时，，单调递增， 由于，则时，， 时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以符合题意； ②当时，，存在使得， 当时，，单调递减， 不符合题意； ③当时，， 则存在，使得当时，，单调递增， 则不符合题意； 综上. 例2．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 例3．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值; (2)当时，，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意知，即，得， ，，解得. （2）由题意知， 设， ， 设，， 函数在上单调递增，， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 即，故的最大值为. 例4．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）因为，所以. 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）由（1）知， 则，即恒成立， 等价于对恒成立. 令，则条件等价于， 则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，， 所以的取值范围为． 变式1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数． (1)若在处取得极值，求； (2)若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得． 因为在处取得极值， 所以，解得， 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）， 若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． 若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以， 由，可得，解得． 综上，的取值范围是． 变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数，其中实数，，. (1)若时，求函数的极值点； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0是的极大值点，1是的极小值点. (2). 【详解】（1）因为，所以， 则， 因为，所以，得或，，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，1是的极小值点. （2）当时，，又因为， 所以，所以，. 令，， ， 所以在上单调递增，所以， 所以. 变式3．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 则得；得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）即对恒成立， 当时，有，得， 下证：当时，， 只需证， 即证， 令，只需证， 令，则， 由得；得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，即 因，则在上单调递增，则， 故实数的取值范围为. 变式4．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得：，可知恒成立， 当时，，函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，令，解得：， 要使函数在上不单调，则， 解得：或； 所以在上不单调，则的取值范围为 （2）当时，， 对任意的， 恒成立，即恒成立， 由于，则恒成立，即，所以 令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则当时，若对任意的， 恒成立，则实数a的取值范围 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. （3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 例2．（25-26高三上·上海普陀·月考）设是实数，. (1)证明:函数的图像关于点成中心对称； (2)若存在正数，使得成立，求的取值范围； (3)试根据正数的不同取值，讨论经过点且与曲线相切的直线的条数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）证明:， ， 函数的图像关于点成中心对称； （2）， ， ， 设， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的最小值为， ， 的取值范围为 （3）设过的切线与曲线于点， 切线方程为，又其过， ， ， 设， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 的极小值为，的极大值为, 当,当， ①当或时，方程有1解， 即过点可以作1条直线与曲线相切； ②当或时，方程有2解， 即过点可以作2条直线与曲线相切； ③当时，方程有3解， 即过点可以作3条直线与曲线相切， 综合可得:当或时，过点可以作1条直线与曲线相切； 当或时，过点可以作2条直线与曲线相切； 当时，过点可以作3条直线与曲线相切. 例3．（25-26高二上·上海·月考）已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2) 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 例4．（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知． (1)若是函数的驻点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，， 【详解】（1）由，， 则， 因为是函数的驻点， 所以，解得. （2）由，， 则， 令，得或， 当时，， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，，令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）当时，， 由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以当时，， 由题意，对于任意的，， 即为存在，且，使得成立， 设，，且，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以要使成立，则，. 变式1．（24-25高二下·北京延庆·月考）已知函数，． (1)求的极值点以及极值、最值点以及最值； (2)设，其中，若存在唯一的整数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)为函数的极小值点，极小值为，函数无极大值点，无极大值； 最小值点为，最大值点为，最小值为，最大值为； (2) 【详解】（1）由题意知函数，， 则， 令， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故为函数的极小值点，极小值为， 函数无极大值点，无极大值； 又因为，当时，，当时，， 且，故函数的最小值点为，最大值点为， 最小值为，最大值为； （2）由题意知，其中，存在唯一的整数，使得 即存在唯一的整数，使得， 结合（1）可作出函数，的图象如图： 又直线过定点， 显然时，，即， 故要满足题意，需满足， 解得， 即实数的取值范围为. 变式2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 变式3．（24-25高二下·四川·期中）已知函数． (1)求的单调增区间； (2)若方程在有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调增区间为，． (2)． 【详解】（1），             令，解得或，                 即的单调增区间为，． （2）方程在有解，即m的范围等价于在的值域； 由（1）知在单调递增，单调递减，单调递增．    且，，，， 所以在的值域为， 所以m的取值范围为． 变式4．（24-25高二下·甘肃·期中）已知函数． (1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值． (2)若存在x使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【详解】（1）函数，求导得， 由函数的单调递减区间为，得是的解集， 于是是方程的二根，则，解得， 而当时，，由，得，符合题意， 所以实数a的值是3. （2）不等式，依题意，存在正数，使得， 令，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $