北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，且，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 设、、，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度． 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ） A. 当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B. 在极安静环境里，声压不超过 C. 在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D. 若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 10. 已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（ ）（备注：不等式恒成立） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.（本题见校本卷） 12.（本题见校本卷） 11. 已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 12. 已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________． 13. 关于定义域为的两个函数，给出下列四个结论： ①若均为偶函数，则为偶函数； ②若均有最大值，则有最大值； ③若为增函数，则可以不都是增函数； ④若是以为周期的函数，则均是以为周期的函数． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 14. 已知集合，其中． （1）求集合； （2）若，求． 15. 已知函数的最大值为3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 条件①：图象的两条相邻对称轴的距离为； 条件②：的一个零点为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知关于的不等式． （1）当时，求此不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求的值； （3）若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若存在实数使得，证明：． 18. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据： 观测时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等” 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： （1）求该造父变星的光变周期和平均“视星等”； （2）求时该造父变星的“视星等”； （3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由. 19. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． （1）若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； （2）若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.（本题见校本卷） 12.（本题见校本卷） 【11题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 ①. 0（不唯一） ②. 【13题答案】 【答案】①③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 在上单调递增； 证明如下： ， 任取，且， 则 ， 因为， 因为且，所以， 所以，所以，所以， 所以在上单调递增； （3） 因为，所以， 所以， 因为单调递增，所以，即， 又，所以， 因为且，所以， 由（2）可知在上单调递增， 所以. 【18题答案】 【答案】（1）， （2） （3）合格 【19题答案】 【答案】（1）（i），（答案不唯一）， （ii）假设集合存在3维伴随拆分，由于， 所以只能取1或． 不妨设， 其中． 若，则，而，不合题意； 若，则，而，不合题意； 若或，则，而，不合题意． 所以假设不成立．所以集合不存在3维伴随拆分． （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $