第六章 平面向量及其应用 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

[网络构建] [归纳提升] 　　平面向量的线性运算及应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝． [例1]　若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　[因为＝4＝r＋s， 所以＝＝( －)＝r＋s， 所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝]． [变式训练] 1.如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A． B． C． D．2 解析：B　[因为＝λ＋μ， ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ(＋)＋μ(－＋) ＝(λ－μ) ＋(＋μ) ， 且＝＋，所以 得所以λ＋μ＝．] 向量的数量积 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝． ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝＝． [例2]　已知|a|＝4.|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的长度． [解](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6， ∴|a＋b|＝ ＝＝． (2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， ∴向量a在向量a＋b上的投影向量的长度为＝＝． [变式训练] 2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：B　[∵＝－，＝＋ ＝ ＋＝＋， ∴·＝(－)·(＋ ) ＝－ －· ＝×1×1－×1×1－×1×1×cos 60°＝．] 　　平面向量在几何中的应用 　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． [例3]　 如图，半径为的扇形，AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A． B． C． D．2 解析：A　[由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则O(0,0)，A(0，)，C(,0)， B(cos 30°，－sin 30°)， 因为＝λ＋μ， 所以(,0)＝λ(0，)＋μ(×，－×)， 即则 [变式训练] 3．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2,6)　　　　 B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) 解析：A　[如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)，E(0,2)，F(－1，)，设P(x，y)，则－1<x<3，由＝(x，y)，＝(2,0)，所以·＝2x∈(－2,6)．] 　　利用余弦、正弦定理解三角形 1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的．如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解，不多解． [例4]　在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：若c＝b，因为sin A＝sin B，结合正弦定理＝，知a＝b＝c， 所以A＝C＝，B＝， 所以sin A＝，sin B＝，与sin A＝sin B． 所以此时不存在这样的△ABC. 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A＝sin B，结合正弦定理＝，知a＝b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若csin A＝3，由正弦定理＝知a＝6， 所以c＝b＝2． 答案：选择②，c＝2 解析：因为sin A＝sin B，结合正弦定理＝，知a＝b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若ac＝，则c＝1. 答案：选择①，c＝1. [变式训练] 4．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①，②得cos A＝－，因为0<A<π，所以A＝． (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B， 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin． 又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2． 　　　余弦、正弦定理在实际问题中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． [例5]　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ [解]　由题意知AB＝5(3＋)n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△ADB中，由正弦定理得＝， ∴DB＝＝ ＝ ＝＝10\r(3)(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(n mile)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(n mile)．则需要的时间t＝＝1(h)． [答]　救援船到达D点需要1h. [变式训练] 5．圣·索菲亚教堂(英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位．其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A及教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m 解析：D　 [由题意可知，在Rt△ABM中，AB＝15－15，∠AMB＝15°，则sin∠AMB＝＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝×－×＝，所以AM＝＝30， 在△ACM中，∠MAC＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－60°－15°＝105°，则∠ACM＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理得＝，所以CM＝＝60，在Rt△MCD中，∠CMD＝60°， 则sin ∠CMD＝＝，所以CD＝×60＝30，所以小明估算索菲亚教堂的高度为30 m．] 学科网（北京）股份有限公司 $