精品解析：贵州省六盘水市2025-2026学年高一上学期数学期末统考试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高一年级数学测试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的概念求解. 【详解】因为， 所以是第三象限角， 故选：C 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入函数的解析式求出，再求即可. 【详解】由题意，得，则，即， 则. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】，故，两边同乘以得， 故充分性成立， 不妨设，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数零点的个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 在同一直角坐标系下，做出函数和的图象，如图所示. 函数的零点等价于的根等价于函数和的交点. 由图可知，有一个交点，所以有一个零点. 故选B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 7. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数值域包含，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，函数值域包含， 当时，函数为，值域为，包含，符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C 8. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件得出关于对称，且当时函数单调递减，画出图象后转化为计算即可. 【详解】由题时，， ， 同理当时，也有， 所以关于对称，且当时函数单调递减， 作出图象如图， 则要使，则， 所以， ，. 解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形的内角和结合诱导公式逐项化简可得合适的选项. 【详解】对于AB选项，，A错B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知函数，则 B. 命题“，”的否定为假命题 C. 若不等式在区间上有解，则实数a的最小值为 D. 若方程的解，则实数m的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据解析式代值求解即可判断；对于B，先求出命题的否定，再举例即可判断；对于C，结合对勾函数的单调性求解判断即可；对于D，由，即，结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，命题“，”的否定为，， 当时，，而， 则命题“，”的否定为假命题，故B正确； 对于C，由于在上单调递增，则， 因为不等式在区间上有解，所以，故C错误； 对于D，由，即， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且时，，时，， 则实数m的取值范围为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，对任意的实数x，y，均有，且当时，恒有，则下列选项正确的有（ ） A. B. 函数为减函数 C. 函数为奇函数 D. ，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特殊值法结合求出判断选项A；利用定义法证明函数单调性，判断选项B；利用奇偶性定义判断函数奇偶性，判断选项C；利用抽象函数递推式结合等差数列定义求出等差数列通项公式，进而得出结论判断选项D． 【详解】对任意的实数x，y ，均有， 令，，解得，故A正确； 设，则，当时，恒有， ， 令，则， 即，即，故函数为增函数，故B错误； 令，则， 令，得，故， 即为奇函数，故C正确； 令，则， ，故是等差数列，公差为，首项为， ， 把替换为，则， ， ， ， 对都有，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则、对数恒等式化简求值即可. 【详解】. 故答案为：1 13. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，扇形的圆心角为，弧长为， 则扇形半径为，所以扇形的面积为. 故答案为：. 14. 已知函数若关于x的方程有奇数个不同的根为，，，…，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象，得出是方程的一个根，进一步求出，，计算即可. 【详解】关于x的方程有奇数个不同的根， 结合图象可知，必然是其中一个根， 所以把代入可得， 所以， 则， 解得或， ，，，，， 所以. 故答案为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某藻类的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内藻类数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，一天后检测到藻类的数量y（单位：万个）与培养时间x（单位：天）的3组数据如下表所示. x 2 3 5 y 3.5 4.5 5.5 为描述x与y的关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合题意的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）用（1）中所选函数模型根据培养时间来估计该藻类的数量，当实际的藻类数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“合理模型”.已知当培养时间为7天时，检测到藻类的数量为6.2万个，判断所选函数模型是否为“合理模型”？并说明理由.（参考数据：，） 【答案】（1）①， （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 由随着单位体积内藻类数量的增加，繁殖速度又会减慢选出函数模型①，并将点代入模型求出即可； (2)将代入(1)中的函数模型，计算出值与6.2比较即可. 【小问1详解】 模型②为线性增长，增长率恒定；模型③为指数增长，增长率越来越快，均与题意‘繁殖速度又会减慢’不符”， 故选①， 将代入可得， ， 解得， 所以 【小问2详解】 当时， ， 又因为， 所以选函数模型是“合理模型”. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据补集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由，则或， 当时，， 则. 【小问2详解】 当时，，即； 当时，由或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 17. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）讨论函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）结合题意利用偶函数性质得时，，即可求解； （2）由时，，根据二次函数的性质，分，和求解最值. 【小问1详解】 设，则， 所以， 又因为函数是定义域为的偶函数， 所以， 所以函数的解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 则上单调递减，在上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 综上：当时，，； 当时，，； 当时，，. 18. 已知定义在上的奇函数（）. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性并说明理由； （3）对，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1 （2）函数在上单调递减，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）利用函数单调性的定义判断即可； （3）令，结合函数的奇偶性。单调性将问题转化为对于恒成立，进而分、、三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由为奇函数，则， 即，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 函数在上单调递减，理由如下： 任取，且， 则， 即，所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由，且为奇函数，， 则， 由（2）知，函数在上单调递减， 所以，则， 即， 令，则对于恒成立，设， 当，即时，不等式为，不恒成立； 当，即时，函数开口向上，此时不恒成立； 当，即时，函数开口向下，对称轴为， 要使对于恒成立， 则，解得或，则. 综上所述，实数m的取值范围为. 19. 如图，在中，，，记. （1）若，求的值； （2）若， （ⅰ）求面积最小值； （ⅱ）过点D作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；依此类推，得到垂足为，，，….试用和n（）表示线段的长度，并证明：. 【答案】（1）3 （2）（ⅰ）1（ⅱ），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正余弦的齐次式化切求解； （2）（ⅰ）利用三角函数表示三角形的面积，由正弦函数的性质求面积最小值即可； （ⅱ）根据所给条件分别利用直角三角中三角函数求出,以此类推，可得，据此再利用直角三角中边长关系证明等式. 小问1详解】 因为在中，， 所以， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）在中，，即， 在中，，即， 所以， 当，即时，等号成立，即面积的最小值为. （ⅱ）在中，，故， 则， 在中，，则， 在中，，则； 同理，以此类推，可得，，，， 即. 要证， 只需证， 由知， 只需证, 在中，，， 所以，即， 即成立， 故原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高一年级数学测试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数零点的个数为 A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A 已知函数，则 B. 命题“，”的否定为假命题 C. 若不等式在区间上有解，则实数a最小值为 D. 若方程的解，则实数m的取值范围为 11. 已知定义在上的函数，对任意的实数x，y，均有，且当时，恒有，则下列选项正确的有（ ） A. B. 函数为减函数 C. 函数为奇函数 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为_________. 14. 已知函数若关于x的方程有奇数个不同的根为，，，…，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某藻类的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内藻类数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，一天后检测到藻类的数量y（单位：万个）与培养时间x（单位：天）的3组数据如下表所示. x 2 3 5 y 3.5 45 5.5 为描述x与y的关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合题意的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）用（1）中所选函数模型根据培养时间来估计该藻类的数量，当实际的藻类数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“合理模型”.已知当培养时间为7天时，检测到藻类的数量为6.2万个，判断所选函数模型是否为“合理模型”？并说明理由.（参考数据：，） 16 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 17. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）讨论函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知定义在上的奇函数（）. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性并说明理由； （3）对，都有成立，求实数m的取值范围. 19. 如图，在中，，，记. （1）若，求的值； （2）若， （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）过点D作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；依此类推，得到垂足为，，，….试用和n（）表示线段的长度，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $