第七章 复数 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

章末归纳提升 第七章 复数 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 [网络构建] [归纳提升] 有关复数的概念 复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [例1]　已知m∈R，复数z＝eq \f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时； (1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数． [解]　(1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±eq \r(2)时，z∈R. (2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±eq \r(2)且m≠1时，z为虚数． (3)当eq \f(mm＋2,m－1)＝0且m2＋2m－1≠0. 即m＝0或－2时，z为纯虚数． [变式训练] 1．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1)z∈R；(2)z为虚数． 解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2x－3＝0，,x－3>0，)) 解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2x－3≠0，,x－3>0，))解得x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4. 复数相等 复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题． [例2]　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. [解]　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a2＝4，,a2＋b2＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1＋i，,y＝1－i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1－i，,y＝1＋i)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1＋i，,y＝－1－i))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1－i，,y＝－1＋i.)) [变式训练] 2．已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i,1＋i). (1)化简复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． 解：(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i) ＝－4－3i－eq \f(4－2i,2)＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22－12a－b＝0，,26－4a＋b＝0))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－14.)) 复数的模及其几何意义 1．z≠0，z为纯虚数⇔eq \o(z,\s\up13(－))＝－z. 2．复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·eq \o(z,\s\up13(－))＝|z|2＝|eq \o(z,\s\up13(－))|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(z2≠0)等． [例3]　复数z满足|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)，求|z|的最大值和最小值． [解]　|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)表示以－3＋eq \r(3)i对应的点P为圆心，以eq \r(3)为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝|－3＋eq \r(3)i|＝eq \r(12)＝2eq \r(3)，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋eq \r(3)＝3eq \r(3)， |z|min＝|OB|＝|OP|－eq \r(3)＝eq \r(3). [变式训练] 3．已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值． 解：因为|z|＝1，所以z·eq \o(z,\s\up13(－))＝1， 所以z2－z＋1＝z2－z＋zeq \o(z,\s\up13(－))＝z(z＋eq \o(z,\s\up13(－))－1)， 所以|z2－z＋1|＝|z(z＋eq \o(z,\s\up13(－))－1)|＝|z|·|z＋eq \o(z,\s\up13(－))－1| ＝|z＋eq \o(z,\s\up13(－))－1|. 设z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋eq \o(z,\s\up13(－))－1|＝|2x－1|， 又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1. 所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3. 所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3. 复数与其他知识的综合应用 复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇． [例4]　四边形ABCD是复平面内的平行四边形， A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z. (1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值． [解]　(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设D的坐标为(x，y)，由于eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(BC,\s\up13(→))， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)， 则点D对应的复数z＝3＋2i. (2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根， ∴3－2i是关于方程2x2－px＋q＝0的另一个根， 则3＋2i＋3－2i＝eq \f(p,2)，(3＋2i)·(3－2i)＝eq \f(q,2)， 即p＝12，q＝26. [变式训练] 4．已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设eq \o(AB,\s\up13(→))对应的复数为z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y＝eq \f(1,2)x上，求θ的值． 解：(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i. (2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)． 由点P在直线y＝eq \f(1,2)x上得－2sin2θ＝－eq \f(1,2)， ∴sin2θ＝eq \f(1,4)，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(5π,6). $