第六章 平面向量及其应用 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

章末归纳提升 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 [网络构建] [归纳提升] 平面向量的线性运算及应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))． [例1]　若D点在三角形ABC的边BC上，且eq \o(CD,\s\up13(→))＝4eq \o(DB,\s\up13(→))＝req \o(AB,\s\up13(→))＋seq \o(AC,\s\up13(→))，则3r＋s的值为(　　) A．eq \f(16,5) B．eq \f(12,5) C．eq \f(8,5) D．eq \f(4,5) 解析：C　[因为eq \o(CD,\s\up13(→))＝4eq \o(DB,\s\up13(→))＝req \o(AB,\s\up13(→))＋seq \o(AC,\s\up13(→))， 所以eq \o(CD,\s\up13(→))＝eq \f(4,5) eq \o(CB,\s\up13(→))＝eq \f(4,5)( eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AC,\s\up13(→)))＝req \o(AB,\s\up13(→))＋seq \o(AC,\s\up13(→))， 所以r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，所以3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5)]． [变式训练] 1.如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \o(AC,\s\up13(→))＝λeq \o(AM,\s\up13(→))＋μeq \o(BD,\s\up13(→))，则λ＋μ等于(　　) A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．eq \f(15,8) D．2 解析：B　[因为eq \o(AC,\s\up13(→))＝λeq \o(AM,\s\up13(→))＋μeq \o(BD,\s\up13(→))， ＝λ(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BM,\s\up13(→)))＋μ(eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))) ＝λ(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up13(→)))＋μ(－eq \o(AB,\s\up13(→) )＋eq \o(AD,\s\up13(→))) ＝(λ－μ) eq \o(AB,\s\up13(→))＋(eq \f(λ,2)＋μ) eq \o(AD,\s\up13(→))，且eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)．] 向量的数量积 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))． ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))． [例2]　已知|a|＝4.|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的长度． [解](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6， ∴|a＋b|＝eq \r(|a|2＋|a|2＋2a·b) ＝eq \r(42＋32＋2×(－6))＝eq \r(13)． (2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， ∴向量a在向量a＋b上的投影向量的长度为eq \f(a·(a＋b),|a＋b|)＝eq \f(10,\r(13))＝eq \f(10\r(13),13)． [变式训练] 2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \o(AF,\s\up13(→))·eq \o(BC,\s\up13(→))的值为(　　) A．－eq \f(5,8) B．eq \f(1,8) C．eq \f(1,4) D．eq \f(11,8) 解析：B　[∵eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AF,\s\up13(→))＝eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(DF,\s\up13(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up13(→))， ∴eq \o(BC,\s\up13(→))·eq \o(AF,\s\up13(→))＝(eq \o(AC,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→)))·(eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up13(→))) ＝eq \f(3,4) eq \o(AC2,\s\up13(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB2,\s\up13(→))－eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up13(→))·eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝eq \f(3,4)×1×1－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,4)×1×1×cos 60°＝eq \f(1,8)．] 平面向量在几何中的应用 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． [例3]　 如图，半径为eq \r(3)的扇形，AOB的圆心角为120°，点C在eq \x\to(AB)上，且∠COB＝30°，若eq \o(OC,\s\up13(→))＝λeq \o(OA,\s\up13(→))＋μeq \o(OB,\s\up13(→))，则λ＋μ等于(　　) A．eq \r(2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(4\r(3),3) D．2eq \r(2) 解析：A　[由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则O(0,0)，A(0，eq \r(3))，C(eq \r(3),0)， B(eq \r(3)cos 30°，－eq \r(3)sin 30°)， 因为eq \o(OC,\s\up13(→))＝λeq \o(OA,\s\up13(→))＋μeq \o(OB,\s\up13(→))， 所以(eq \r(3),0)＝λ(0，eq \r(3))＋μ(eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)，－eq \r(3)×eq \f(1,2))， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(3)＝μ×\r(3)×\f(\r(3),2)，,0＝\r(3)λ－\r(3)×\f(1,2)μ，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(μ＝\f(2\r(3),3)，,λ＝\f(\r(3),3)，所以λ＋μ＝\r(3) )) [变式训练] 3．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \o(AP,\s\up13(→))·eq \o(AB,\s\up13(→))的取值范围是(　　) A．(－2,6)　　　　 B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) 解析：A　[如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，D(2,2eq \r(3))，E(0,2eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))，设P(x，y)，则－1<x<3，由eq \o(AP,\s\up13(→))＝(x，y)，eq \o(AB,\s\up13(→))＝(2,0)，所以eq \o(AP,\s\up13(→))·eq \o(AB,\s\up13(→))＝2x∈(－2,6)．] 　　利用余弦、正弦定理解三角形 1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的．如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解，不多解． [例4]　在①ac＝eq \r(3)，②c sin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：若c＝eq \r(3)b，因为sin A＝eq \r(3)sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b＝c， 所以A＝C＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(2π,3)， 所以sin A＝eq \f(1,2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，与sin A＝eq \r(3)sin B． 所以此时不存在这样的△ABC. 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A＝eq \r(3)sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若csin A＝3，由正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)知a＝6， 所以c＝b＝2eq \r(3)． 答案：选择②，c＝2eq \r(3) 解析：因为sin A＝eq \r(3)sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若ac＝eq \r(3)，则c＝1. 答案：选择①，c＝1. [变式训练] 4．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①，②得cos A＝－eq \f(1,2)，因为0<A<π，所以A＝eq \f(2π,3)． (2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝2eq \r(3)， 从而AC＝2eq \r(3)sin B， AB＝2eq \r(3)sin(π－A－B)＝3cos B－eq \r(3)sin B， 故BC＋AC＋AB＝3＋eq \r(3)sin B＋3cos B ＝3＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(B＋\f(π,3))． 又0<B<eq \f(π,3)，所以当B＝eq \f(π,6)时，△ABC周长取得最大值3＋2eq \r(3)． 　余弦、正弦定理在实际问题中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． [例5]　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3))n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3)n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ [解]　由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△ADB中，由正弦定理得eq \f(DB,sin ∠DAB)＝eq \f(AB,sin ∠ADB)， ∴DB＝eq \f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(5(3＋\r(3))·sin 45°,sin 105°) ＝eq \f(5(3＋\r(3))·sin 45°,sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°) ＝eq \f(5\r(3)(\r(3)＋1),\f(\r(3)＋1,2))＝10\r(3)(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20eq \r(3)(n mile)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900， ∴CD＝30(n mile)．则需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(h)． [答]　救援船到达D点需要1h. [变式训练] 5．圣·索菲亚教堂(英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位．其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15eq \r(3)－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A及教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．20eq \r(3) m D．30eq \r(3) m 解析：D　 [由题意可知，在Rt△ABM中，AB＝15eq \r(3)－15，∠AMB＝15°，则sin∠AMB＝eq \f(AB,AM)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，所以AM＝eq \f(15\r(3)－15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30eq \r(2)， 在△ACM中，∠MAC＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－60°－15°＝105°，则∠ACM＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理得eq \f(AM,sin ∠ACM)＝eq \f(CM,sin ∠MAC)，所以CM＝eq \f(30\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝60，在Rt△MCD中，∠CMD＝60°， 则sin ∠CMD＝eq \f(CD,CM)＝eq \f(\r(3),2)，所以CD＝eq \f(\r(3),2)×60＝30eq \r(3)，所以小明估算索菲亚教堂的高度为30eq \r(3) m．] $