6.2.1 向量的加法运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律. 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽象和逻辑推理、数学建模素养. 对应学生用书P4 [情境引入] 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力． 问题　1.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 2．物理学中的两个位移的和体现了向量的什么运算？ 提示1.这涉及到向量的合成问题．即向量的加法． 2．体现了两个向量的加法运算． [知识梳理] [知识点一]　向量加法的定义及运算法则 1．求定义 求　两个向量和　的运算，叫作向量的加法． 2．运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量　　叫作a与b的和(或和向量)，记作　a＋b　，即a＋b＝＋＝　　. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝　0　＋　a　＝a. (2)平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的　　就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则． 1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通过三角形法则或平行四边形法则可得和向量，两个向量的模相加，其和是一个实数，不是一个向量． [知识点二]　向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律：将a的起点移至A点，将b的起点移至a的终点，则由a的起点A指向b的终点C的向量＝a＋b；同样将b的起点移至A点，将a的起点移至b的终点，则由b的起点A指向a的终点C′的向量＝b＋a，由平行四边形法则知C必然和C′重合，即a＋b＝b＋a. (2)向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． (3)向量加法运算满足：＋＋…＋An－1An＝. 2.用运算律求得＋＋的结果是什么？ 提示：＋＋＝＋＋＝＋＝0，故结果是0. [知识点三]　向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系 (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何背景是三角形两边之和大于第三边． (2)当a与b同向时，a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. [预习自测] 1．在△ABC中，＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 2．在矩形ABCD中，＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案：D 3.＋＋＋＋等于(　　) A. B．0 C. D. 答案：B 4.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________. 答案： 5.如图所示，求： (1)a＋d； (2)c＋b； (3)e＋c＋b； (4)c＋f＋b 解：(1)a＋d＝d＋a＝＋＝； (2)c＋b＝＋＝； (3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝； (4)c＋f＋b＝＋＋＝. 对应学生用书P5 向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图(1)所示，用向量加法的三角形法则作出a＋b； (2)如图(2)所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. [思路点拨]　借助向量加法的几何意义作图． [解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b. 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． [变式训练] 1．已知向量a，b，c，如图所示． 求作a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 向量加法运算 [例2] 如图，O为正六边形ABCDEF的中点，化简下列向量： (1)＋； (2)＋； (3)＋. [思路点拨]　解答本题充分利用正六边形的有关性质，利用向量加法法则运算作出相应向量． [解]　(1)由图知，OABC为平行四边形， ∴＋＝. (2)由题图知＝＝＝， ∴＋＝＋＝. (3)∵＝， ∴＋＝＋. 又＝，∴＋＝＋＝0. 应用三角形法则和平行四边形法则求和向量时，要注意它们的使用条件，三角形法则适用于任何两个非零向量，且要首尾相接，平行四边形法则适用于不共线的两个向量，且要有同一起点．当两个向量不是首尾相接或同一起点时，可通过相等向量进行转化． [变式训练] 2．化简或计算： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0. 用向量加法证明几何问题 [例3] 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上取点E，F，使BE＝DF. 求证：四边形AECF是平行四边形． [思路点拨]　证明＝或＝即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA綊CB，∴＝. 又∵DF＝BE且DF与BE共线，∴＝. ∴＋＝＋. 即＝.∴FA綊CE.∴四边形AECF是平行四边形． 用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题． [变式训练] 3.如图，在平行四边形ABCD中．对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点． 求证：＋＋＋＝4. 证明：∵＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋＋＋ ＝4＋(＋＋＋) ＝4＋(＋)＋(＋) ＝4＋0＋0＝4. ∴＋＋＋＝4. 对应学生课时P257 1．下列等式错误的是(　　 ) A．a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝＋＋ 解析：B　[＋＋＝＋＝2≠0，故B错．] 2．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　 ) A．与向量a方向相同　　 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 解析：A　[a∥b且|a|＞|b|＞0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，因为|a|＞|b|，所以a＋b的方向仍与a相同．] 3．如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 解析：C　[∵＝＋，∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.∴四边形ABCD为平行四边形．] 4．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　 ) A. B. C. D. 解析：C　(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故选C. 5．(多选题)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　 ) A.＋＋＝0 B.＋＋＝0 C.＋＋＝ D.＋＋＝ 解析：ABC　[由＋＋＝＋＋＝＝－≠，故D错误．] 6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 解析：C　[因为＝－，故 当，同向共线时，||＝||－||＝3； 当，反向共线时，||＝||＋||＝13； 当，不共线时，|||－|||<|－|<||＋||，即3<||<13. 综上可得3≤||≤13.] 7．设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有______．(将正确答案的序号填在横线上) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|. 解析：由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故填①③. 答案：①③ 8．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________. 解析：延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又D为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．∴＝＋.又＝－，∴＋＋＝0. 答案： 0 9．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________. 解析：易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 答案：1　 10.已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力为 F1，|F1|＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力为F2，|F2|＝12N，求F1和F2的合力． 解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.在△OCA中， F1 ＝24，＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°.∴ ＝12. ∴F1与F2的合力为12 N，与F2成90°角竖直向上． 11.如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解析：，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||； 两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以||＝eq \r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2),\r(8002＋8002)＝800\r(2) (km)．,其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.,从而飞机飞行的路程是1600 km，两次飞行的位移和的大小为800\r(2) km，方向为北偏东80°., , 12.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，OA201＝b，则用a，b表示＋＋＋…OA201，其结果为(　　) A．100(a＋b) B．101(a＋b) C．201(a＋b) D．202(a＋b) 解析：B　[设A0A201的中点为A，则A也是A1A200，…，A100A101的中点，可得＋OA201＝2＝a＋b， 同理可得＋OA200＝＋OA199＝…＝OA100＋OA101＝a＋b， 故＋＋＋…＋OA201＝101×2＝101(a＋b)．] 13．如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $