精品解析：浙江省杭州市西湖区之江中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

杭州之江高级中学2025学年第一学期 高二年级数学期末考试试题卷 命题：张善林 审题：黄悦 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号等； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算，求得，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部为. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 3. 已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为， 故选：B. 4. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程及离心率公式确定离心率即可. 【详解】由椭圆方程知：，故离心率为. 故选：B 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得 ，解得， 所以， 故选：C. 6. 已知平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ） A. B. C. 19 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，求. 【详解】∵平面向量与的夹角为，且，为单位向量， ∴， 故. 故选：B. 7. 在中，若，则一定是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】用正弦定理对题目中的式子进行边角互换，可以得到，再结合三角形内角的范围，可得的关系，进而得到答案 【详解】解：由正弦定理及得，即，又均为三角形的内角，或，或． 故选：D． 8. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断. 【详解】若数列是等比数列，则， A：，符合等比数列，A正确； B：，符合等比数列，B正确； 当时，CD显然不符合题意. 故选：AB. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可求解BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：，故斜率，则倾斜角为120°，A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C正确， 对于D，：变形为：，令且，解得，故恒过，D正确， 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. // C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间位置关系的向量证明，解决A,B，用解析法求出轨迹方程处理C，结合参数方程处理D即可. 【详解】 以为原点建立空间直角坐标系，故，，，， 故，， 则，，则，故A正确， 而，，显然与无倍数关系， 则//不成立，故B错误， 设，由两点间距离公式得， 化简得，又，故轨迹长度为，故C正确， 易知点的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为，，(是参数)， 故，由两点间距离公式得 ， 易知当时，取得最小值，此时，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，得. 故答案为：. 13. 掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有，，，，，共5种结果，利用古典概型得到概率． 【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是掷两颗骰子有个结果， 满足条件的事件是向上点数之和等于8，有，，，，，共5种结果， 要求的概率是， 故答案为：． 14. 已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定点关于直线的对称点为，，计算得到答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，当且仅当共线时等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． （1）求的值； （2）估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 【答案】（1） （2）众数为，中位数为 【解析】 【分析】（1）由频率之和为计算即可得； （2）利用众数与中位数定义计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得众数为， 设中位数为，由， ，故， 则有，解得. 16. 已知直线与圆相交于A，B两点． （1）求； （2）求过点且与圆C相切的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离，结合勾股定理求出弦长的一半，进而得出弦长； （2）切线的斜率不存在，易知方程为；当切线斜率存在，设切线为，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离等于半径，列出方程，解出k，结合直线的点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 由题意知，圆心，半径， 所以圆心C到直线的距离为， 所以，所以； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为， 圆心到直线的距离为，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线为，即， 圆心，半径，，解得． 切线方程为，即． 故切线方程为或． 17. 已知为数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）设数列的前项的和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的递推公式，再利用累乘法可得数列的通项； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 所以. 18. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理得到平面平面，进而可证平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出二面角余弦值，结合同角的三角函数关系求出正切值即可. 【小问1详解】 正方形中，. 因为平面，平面，所以平面. 梯形中， 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 正方形中，， 因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，所以，，两两垂直， 所以以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为为的中点，所以. 则，. 设平面法向量为, 则，即，令，则，，所以. 因为平面，即为平面的一个法向量. 又二面角为锐二面角吗，设锐二面角的平面角为， 则， 所以，， 所以二面角正切值为. 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州之江高级中学2025学年第一学期 高二年级数学期末考试试题卷 命题：张善林 审题：黄悦 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号等； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 20 6. 已知平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ） A B. C. 19 D. 7. 在中，若，则一定是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 11. 如图，正方体棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. // C. 点的轨迹长度为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于__________． 14. 已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． （1）求值； （2）估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 16. 已知直线与圆相交于A，B两点． （1）求； （2）求过点且与圆C相切的直线的方程． 17. 已知为数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项的和为，求． 18. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $