精品解析：浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

2025—2026学年第一学期期末考试试题 高二数学 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前n项和，d为公差，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 5. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 方程对应的曲线周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 7. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和直线：，若圆C上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列：，，，，…，前项和为，前项积为则（ ） A 公比 B. C 若取到最大值，则 D. 若取到最大值，则 10. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 当时，无极值点 B. 当时，是的极大值点 C. ，图象存在对称轴 D. ，图象对称中心横坐标不变 11. 长方体，以D为坐标原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，点E是棱的中点，点O是与的交点，若，则（ ） A. B. C. 平面 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆O：，圆心在直线：上，则_____. 13. 若曲线在处的切线斜率为，则_____. 14. 已知抛物线C：，直线：交抛物线于M，N两点，垂直于的直线与分别交抛物线于E，Q两点.当长度最小时，_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为. （1）求双曲线的离心率； （2）若点在双曲线上，直线与相交于不同的两点，，求弦长的值. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 17. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. （1）求数列通项公式； （2）求数列的通项公式. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过右焦点，设，，求的值； （3）若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末考试试题 高二数学 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出直线的斜率，即可得到倾斜角，再令求出的值，即可求出直线在轴上的截距. 【详解】直线的斜率，所以倾斜角, 令，可得，所以直线在轴上的截距. 故选：B 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得，然后根据可得，最后得出结果. 【详解】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且， 所以双曲线的焦点坐标为 故选：B 3. 记为等差数列的前n项和，d为公差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】， 又， ， 即， 故选：D 4. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得，即可判断出结论. 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 5. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式计算可得. 【详解】因为为，的等差中项， 所以，即，显然， 所以，解得或. 故选：C 6. 方程对应的曲线周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到不同象限内的曲线方程，进而判断曲线的性质，计算其周长. 【详解】当时，方程变为，即， 当时，方程变为，即， 当时，方程变为，即， 当时，方程变为，即， 所以方程对应的曲线是由四条线段围成的封闭图形，且这四条线段分别与坐标轴相交， 令，则；令，则， 所以曲线与坐标轴的交点分别为， 所以曲线是以为顶点的菱形， 该菱形的边长为，所以曲线的周长为， 故选：C 7. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，则抛物线的准线为，所以， 依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，， 联立方程组，整理可得，由， 所以，， 又因为，所以，又， 所以， 因为， 所以 即，解得，所以直线的方程为， 故选：A. 8. 已知圆和直线：，若圆C上存在三点到直线距离成公差为2的等差数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】要使圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，由此建立不等式求的最小值. 【详解】由题意： 要使圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4， 设圆上三点到直线的距离分别为，， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相交，即， 则圆上任意一点到直线的距离位于之间， 满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4， 必存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列， 当直线与圆相切，即， 则圆上任意一点到直线的距离位于之间， 满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4， 必存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列， 当直线与圆相离，即， 则圆上任意一点到直线的距离位于， 若圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列， 需满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4， 即，解得 综上可知的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列：，，，，…，前项和为，前项积为则（ ） A. 公比 B. C. 若取到最大值，则 D. 若取到最大值，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据，直接求出公比，即可判断A，写出通项公式，即可求出，从而判断B，求出，分为奇数、偶数两种情况讨论，求出的最大值，即可判断C，分析的取值情况，即可判断D. 【详解】对于A ：依题意，，所以公比，故A错误； 对于B：因为， 所以， 则，故B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因为在定义域上单调递减， 所以单调递减，则； 当为偶数时，则单调递增， 当时，所以，又，所以， 综上可得当时取到最大值，故C错误； 对于D：因为， 所以，，，，，，当且时， 又为前项积，所以当时， 又，且，， 所以当时取到最大值，故D正确. 故选：BD 10. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 当时，无极值点 B. 当时，是的极大值点 C. ，图象存在对称轴 D. ，图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B，根据三次函数的性质判断C，求出函数的对称中心，即可判断D. 【详解】对于A：因为，则， 当时，所以恒成立， 所以在上单调递增，所以无极值点，故A正确； 对于B：当时， 所以当或时，当时， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C：对，当时，当时， 所以不存在对称轴，故C错误； 对于D：因为，， 所以 ， 所以关于对称，所以，图象对称中心的横坐标不变，均为，故D正确. 故选：ABD 11. 长方体，以D为坐标原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，点E是棱的中点，点O是与的交点，若，则（ ） A. B. C. 平面 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，先根据向量求出长方体的棱长，再计算向量 并判断；对B，先求出向量，再计算它们的数量积判断结果是否为 0；对C，先求出平面的法向量，再验证向量与法向量垂直，从而判断点 是否在该平面内；对D，计算，并用向量法求解到平面的距离，代入棱锥体积公式计算并判断. 【详解】由题坐标系可知设，则 所以，，所以，又， 所以，解得， 所以. 对于A：，A正确； 对于B：， ，B错误； 对于C：设平面的法向量为，， 则由得，令，则； 所以是平面的一个法向量，又，， 所以，因为在平面内，所以平面，C正确； 对于D：由长方体性质可知是直角三角形，，， 因为，所以， 设平面的法向量为， 则由得，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆O：，圆心在直线：上，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将圆心坐标代入直线方程即可求解. 详解】由题可知，圆心， 又圆心在直线：上，所以，所以， 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线斜率为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以，则， 所以 . 故答案为： 14. 已知抛物线C：，直线：交抛物线于M，N两点，垂直于的直线与分别交抛物线于E，Q两点.当长度最小时，_____. 【答案】 【解析】 【分析】联立抛物线与直线，利用韦达定理得到M，N两点横坐标的和与积，根据与与垂直，求出两直线的方程，再与抛物线方程联立，得到E，Q两点的横坐标与M，N两点横坐标的关系，利用抛物线方程，将表示成关于的函数，转化为求函数最值问题进行求解. 【详解】联立得：， 设，则是上述方程的两个根，所以， 所以， 由题可知直线的斜率为，所以直线的方程为：， 联立抛物线方程得：， 由于，可得，即的横坐标为， 同理可得的横坐标为， 所以直线的斜率为， 所以 ， 令， 设函数， 所以， 令，因为，解得，解得舍去)， 此时函数取得极小值，即当长度最小时，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为. （1）求双曲线的离心率； （2）若点在双曲线上，直线与相交于不同的两点，，求弦长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程为，即可表示出双曲线的渐近线方程，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）由（1）可得双曲线的方程为，代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，设，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式计算可得. 【小问1详解】 依题意设双曲线的方程为， 则其渐近线方程为，依题意可得， 所以离心率； 【小问2详解】 由（1）可得双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的方程为， 设， 由，消去整理得，显然， 所以，， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相应点及向量坐标，通过向量数量积为零得出垂直关系，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论； （2）求出相应点和向量坐标，进而求出各平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求余弦值，再根据同角三角函数关系求解正弦值． 【小问1详解】 取中点，连接，则，， 四边形是正方形，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，则， ，故， 平面，平面， ， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ，则，， 在平面中，设平面法向量为，则 ，令，则， ，则， 在平面中，设平面法向量为，则 ，令，则 设平面与平面所成二面角为，则 ,， 故平面与平面所成二面角的正弦值为． 17. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. （1）求数列通项公式； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）根据前项和与项的关系作差得到，再由累加法及错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为， 当时， 当时，所以， 当时也成立，所以； 【小问2详解】 因为的前n项和， 当时，又，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以，，，又， 所以， 令，则， 所以， 所以， 则，所以， 当时也成立，所以. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负来求函数的单调区间即可； （2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断的范围即可． 【小问1详解】 当时，，， 令，得， 当时，,在上单调递减； 当时，,在上单调递增； 【小问2详解】 定义域为，， 要使函数恰有三个极值点，则有三个不同实数根， 令，得或， 即有两个除的实数根， 所以， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 当时，，当时，， 因此当时，方程有两个不同的正根， 综上所述：的取值范围为 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过右焦点，设，，求的值； （3）若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率公式及得到方程组，解得、、，即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，再由，表示出，，结合韦达定理求出； （3）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、直线的方程，联立直线方程求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得椭圆的右焦点， 设， ，，由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，代入方程， 并整理得， ∴，， 又，，，， 而，， 即，， ∴，， ∴ . 【小问3详解】 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由（1）可得，， 设，， 由，消去并整理得， ∴，， 则， 又直线的方程为，直线的方程为， 所以，即， 即， 所以，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $