浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

镇海中学2025-2026学年学年第一学期期末考试高二数学试卷 镇海中学2025学年第一学期期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，求（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 35 B. 70 C. 210 D. 420 3. 的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）． A. B. C. D. 4. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 288 6. 已知函数，则的极值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 450 B. 540 C. 630 D. 900 8. 已知函数，方程的两个不相等的根为．若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与相互独立 B. 两个变量X、Y的相关系数为，若越小．则X、Y之间的线性相关程度越弱 C. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 D. 经验回归直线可能不经过样本点，但一定会经过样本点的中心 10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，其中为的导函数，则下列正确的是（ ） A. 时，则对，均有 B. C. 当时，则为单调函数的充要条件是 D. 当且有唯一零点时，有最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，且，则_________________． 13. 已知有三个零点，则的范围是________________． 14. 一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（第15题13分，16到17题每题15分，18到19题每题17分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有两台机床生产同种产品，产品按质量分为特优级产品和优级产品，为比较两台机床生产的产品质量是否与机床有关，分别用两台机床各自生产了300件产品，产品的质量统计如下表： 特优级品 优级品 合计 一号机床 225 75 300 二号机床 180 120 300 合计 405 195 600 （1）能否有的把握认为两台机床的产品质量有差异？ （2）现考虑让一号机床生产4件产品，若用上述样本中的频率作为概率进行估计，用表示这4件产品中的特优级品数量，求的期望与方差． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数绝对值的和； （3）求展开式中系数最大的项． 17. 在汽车生产过程中，合金钢的性能直接影响车身结构的安全性和耐久性．其中，碳含量是影响合金钢屈服强度的关键因素之一．为研究二者之间的关系，某实验室制备了9组不同碳含量的合金钢样本，并测量了对应的屈服强度（MPa），数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碳含量 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 屈服强度 481 512 532 573 604 635 656 687 719 （1）求合金钢屈服强度关于碳含量的回归方程，并预测碳含量为（即）时的合金钢屈服强度； （2）为了综合评估材料性能，需要同时考虑强度收益、脆性损失和冶炼成本2x，为此工程师定义了一个综合性能指标．为便于运算，屈服强度用近似计算（其中为（1）问中计算所得数据，［］表示不小于的最小整数），请根据上述优化模型计算最大的综合性能指标值． 附：参考数据： 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 18. 镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； （3）求甲第天选择羽毛球的概率． 19. 已知对，定义的余切值为，函数在处的切线为直线． （1）求切线的方程； （2）证明：对始终在切线下方； （3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立． （参考：） 镇海中学2025-2026学年学年第一学期期末考试高二数学试卷 镇海中学2025学年第一学期期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（第15题13分，16到17题每题15分，18到19题每题17分），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）有99.9%的把握认为两台机床的产品质量有差异 （2）期望为3，方差为0.75 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1），碳含量为时的合金钢屈服强度为(MPa) （2）最大综合性能指标值约为 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 构造差函数， 求导得在上恒成立，函数在单调递减， 故，有，故， 即对，始终在切线的下方. （3） 令，， 且， ，显然； ，有，故， 为使恒成立，只需； 故只需要研究： 若，则，显然， 有， 对于，先证明引理：， 令，，所以在上递增， 故，引理得证，则. 令，， 故在上递减，故，故， 故时，在成立，故符合题意. 若时，有，故， 右边式子即情形，对于的情形，前文已证其值恒大于，故也符合. 综上：符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $