精品解析：北京市第八中学2025-2026学年高一上学期期末练习数学试题

2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高一 科目：数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，，且为真命题 B. ，，且为假命题 C. ，，且为真命题 D. ，，且为假命题 3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（ ） A. 101 B. 808 C. 909 D. 1010 4. 设，是向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若有最大值，则m的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知函数同时满足下列两个条件． 条件①：对，； 条件②：对，，． 则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，和，的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程恰有一个解 B. 方程恰有两个解 C. 方程恰有三个解 D. 方程恰有四个解 9. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度不超过1000ppm时，室内空气质量为良好，人体健康不受影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2500ppm，开窗通风6分钟后的二氧化碳浓度降为1500ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则再需要开窗通风的时长至少为（ ） （参考数据：，） A. 2分钟 B. 4分钟 C. 6分钟 D. 8分钟 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 12. 为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 13. 在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 14. 已知，是函数的图象上的相异两点，且，两点到直线的距离相等． （1）若，则______； （2）若，则的取值范围是______． 15. 已知函数的值域为，给出下列四个结论： ①； ②对，； ③若关于x的方程恰有3个实数根，则实数t的取值范围是； ④对，，且，，使得恒成立． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共6道小題，共85分） 16. 已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． （1）若实数x，y满足，求x，y的值； （2）若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； （3）若与平行，求实数k的值． 17. 以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示． （1）如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值； （2）如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率； （3）记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明） （注：，） 18. 已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题． 条件①：是奇函数；条件②：是偶函数． （1）求实数a的值； （2）判断在区间上的单调性，并给出证明； （3）设，判断函数在区间上零点个数，并说明理由． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况，其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组中各随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据并整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设每株鸡冠花的株高增量相互独立，用频率估计概率． （1）从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，估计株高增量在区间上的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机抽取1株，估计这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率； （3）假设同区间中每个数据可用该区间的中点值代替．记样本中这三组株高增量的平均数分别为，，，直接写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数且． （1）当时，若，求的取值范围； （2）当时，令，，求函数的最大值； （3）在（2）的条件下，当时，令，若函数的图象恒在轴下方，求的取值范围． 21 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高一 科目：数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出全集，利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 所以，故. 故选：A. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，，且为真命题 B. ，，且为假命题 C. ，，且为真命题 D. ，，且为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义写出，再配方判断命题的真假. 【详解】由题意可知，，， 因为，所以为真命题，为假命题. 故选：D 3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（ ） A. 101 B. 808 C. 909 D. 1010 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的运算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由分层抽样的运算方法知，，即，所以. 故选：B 4. 设，是向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】由数乘定义可知，若，则； 若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，利用中间量判断. 【详解】因为， ，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B 6. 已知函数，若有最大值，则m的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】因为当时，，当时，由单调性求得的范围，结合有最大值求解即可. 【详解】函数， 当时，的最大值为， 当时，函数单调递增，有， 若有最大值，则，解得， 所以m的最大值为16. 故选：C 7. 已知函数同时满足下列两个条件． 条件①：对，； 条件②：对，，． 则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项判断函数是否满足两个条件. 【详解】对于A，当时，，不满足条件，A错误； 对于B，，不满足条件，B错误； 对于C，， 所以，C错误； 对于D，对，， 所以满足条件①， 又，，， 所以满足条件②，D正确. 故选：D 8. 函数，和，的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程恰有一个解 B. 方程恰有两个解 C. 方程恰有三个解 D. 方程恰有四个解 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对A：令，数形结合可知，或； 令，， 又因为，而， 可知无解，故方程无解，A错误； 对B：令，数形结合可知，或； 令，因为， 数形结合可知，方程有三个根，有两个解， 故方程有五个解，故B错误； 对C：令，数形结合可知，或； 令， 由题可知，，数形结合可知，方程有三个根， 方程无解， 故方程有三个解，故C正确； 对D：令，数形结合可知，或； 令，又， 数形结合可知，无解，有两个解， 故方程有两个解，D错误. 故选：C 9. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度不超过1000ppm时，室内空气质量为良好，人体健康不受影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2500ppm，开窗通风6分钟后的二氧化碳浓度降为1500ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则再需要开窗通风的时长至少为（ ） （参考数据：，） A. 2分钟 B. 4分钟 C. 6分钟 D. 8分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，解得，，即， 由，得，解得， 则，， 所以再需要开窗通风的时长至少为6分钟. 故选：C 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 故选：B. 二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零，二次根式下被开方数不小于零列不等式，求解即可. 【详解】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 故答案： 12. 为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值； （2）利用区间内的频率求样本容量. 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得. 故答案为：； 13. 在中，E，F为BC边的两个三等分点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得和，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为为边上的两个三等分点，可得， 则， ， 所以. 又因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知，是函数的图象上的相异两点，且，两点到直线的距离相等． （1）若，则______； （2）若，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，由对数运算可得，即可得解； （2）由可得，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，是函数的图象上的相异两点， 且，两点到直线的距离相等， 所以，也就是, 则，即， 所以； （2）因为，两点到直线的距离相等， 所以，即， 所以， 所以，由于，等号不成立， 所以取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数的值域为，给出下列四个结论： ①； ②对，； ③若关于x的方程恰有3个实数根，则实数t的取值范围是； ④对，，且，，使得恒成立． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①先求出的范围，再分、、讨论，结合值域可求；②求证当时，即可；③将问题转化为方程、共有3个实数根，结合的奇偶性、单调性以及值域求解；④先求证，再利用极限思想说明. 【详解】因为， 所以若，则，则，得； 若，则，不符合题意； 若，则，不符合题意； 故，故①正确； 当时， ， 则，故对，，故②错误； 因为方程恰有3个实数根， 所以方程、共有3个实数根， 因为，所以为偶函数， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 则方程有1个实数根，有个实数根， 故，则实数t的取值范围是，故③正确； 当时， ， 因为，等号成立时， 所以， 因为，所以， 且当时，， 故不存在，使得，故④错误. 故答案为：①③ 三、解答题（共6道小題，共85分） 16. 已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． （1）若实数x，y满足，求x，y的值； （2）若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； （3）若与平行，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1根据题意可得，，则，利用相等向量求解； （2）根据，可得，再根据求解； （3）根据平面向量共线的坐标表示求解. 【小问1详解】 平行四边形ABCD的三个顶点，，， 向量，， 由，即， 所以，得； 【小问2详解】 设， 根据，即， 所以，即， 所以； 【小问3详解】 由于，， 又与平行， 所以，得. 17. 以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示． （1）如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值； （2）如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率； （3）记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明） （注：，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意列不等式求a的所有可能取值； （2）分别列出所有基本事件以及符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解； （3）利用方差的公式计算即可. 【小问1详解】 依题意有，解得， 又，所以a的所有可能取值构成的集合为. 【小问2详解】 记甲组四名同学分别为，他们植树的棵数依次为， 乙组五名同学分别为，他们植树的棵数依次为， 分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，所有可能的结果有20个， 即 ， 用事件C表示“选出的两名同学的植树总棵数不小于20”，则事件C中的结果有10个， 它们是， 故所求概率. 【小问3详解】 甲组同学的植树棵数的方差为， 把甲组中每一个数据都变为原来的2倍，则这组新的数据方差， 把甲组中每一个数据都增加2，这组新的数据方差， 所以. 18. 已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题． 条件①：是奇函数；条件②：是偶函数． （1）求实数a的值； （2）判断在区间上的单调性，并给出证明； （3）设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）答案见解析 （2）在区间上单调递增；证明见解析 （3）在上有一个零点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）选择条件①，根据奇函数的性质，得到，求得；选择条件②：根据，得到对任意恒成立，得到； （2）分和，两种情况，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）当，得到，求得在上单调递增，结合，得到函数在上有一个零点； 若，得到，求得上单调递增，结合 【小问1详解】 解：若选择条件①：是奇函数， 因为，可得，即，解得；经检验成立 若选择条件②：是偶函数， 因为，则，即， 即对任意恒成立，所以，解得. 【小问2详解】 证明：若，可得， 任取，且， 则 ， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上的单调递增函数； 若，可得， 任取，且， 则 ， 因为，可得，可得 所以，即， 所以函数在区间上的单调递增函数； 【小问3详解】 解：当，可得，则， 因为函数在区间为单调递增函数， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点的存在性定理，可得在区间上有一个零点， 即函数在上有一个零点； 若，可得，则， 因为函数在区间为单调递增函数， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点的存在性定理，可得在区间上有一个零点， 即函数在上有一个零点； 19. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况，其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组中各随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据并整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设每株鸡冠花的株高增量相互独立，用频率估计概率． （1）从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，估计株高增量在区间上的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机抽取1株，估计这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率； （3）假设同区间中的每个数据可用该区间的中点值代替．记样本中这三组株高增量的平均数分别为，，，直接写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）设事件为“从第组中随机抽取1株，株高增量在上”，分别求得，和，分恰好2株和恰好3株，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. （3）根据题意，利用平均数的计算公式，分别求得，，的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，株高增量在区间” 根据统计表格中的数据，可得第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为， 所以事件的概率为. 【小问2详解】 解：设事件为“从第组中随机抽取1株，株高增量在上”，其中， 可得，， ， 其中“至少有2株的株高增量在上”包含两种情况： 恰好2株时，满足； 恰好3株时，满足， 所以这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率. 【小问3详解】 解：由表格中的统计数据，可得： ； ； ， 所以. 20. 已知函数且． （1）当时，若，求的取值范围； （2）当时，令，，求函数的最大值； （3）在（2）的条件下，当时，令，若函数的图象恒在轴下方，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）由已知条件得出，当时，化简得出，令，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出最大值的表达式； （3）由结合对数函数的单调性、参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，由可得，解得， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 由题意可知，解得， 当时，， 所以 ， 令，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，此时； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时. 综上所述，. 【小问3详解】 当时，， 可得， 由题意可知，则，所以，解得， 所以，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 此时，即实数的取值范围是. 21. 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【小问1详解】 令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. 【小问2详解】 假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【小问3详解】 设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以．     任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $