精品解析：陕西咸阳秦宝中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. －3 B. －1 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得. 2. 某高山生态茶园共有2000棵茶树，分为珍稀良种茶树、常规本土茶树，采用分层随机抽样的方法抽取50棵进行病虫害监测，样本中珍稀良种茶树有12棵，则估计总体中常规本土茶树的数量为（ ） A. 1440 B. 1480 C. 1520 D. 1680 【答案】C 【解析】 【详解】总体中常规本土茶树的数量为棵. 3. 下列几何体中，不可能所有棱长都相等的是（ ） A. 正三棱锥 B. 正四棱柱 C. 正六棱柱 D. 正六棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】结合各类正几何体的结构特征，逐一判断是否存在所有棱长均相等的情况即可. 【详解】对于A，正三棱锥底面为正三角形，侧棱长度相等，当侧棱长等于底面边长时即为正四面体，所有棱长都相等，不符合题意； 对于B，正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，当侧棱长等于底面正方形边长时即为正方体，所有棱长都相等，不符合题意； 对于C，正六棱柱上下底面为全等的正六边形，侧棱垂直于底面，当侧棱长等于底面正六边形的边长时，所有棱长都相等，不符合题意； 对于D，正六棱锥的顶点在底面的投影为底面正六边形的中心，设底面边长为，棱锥的高为， 则正六边形的外接圆半径等于边长，因此侧棱长为，若要求侧棱长也等于，则需， 此时顶点与底面中心重合，无法构成棱锥，因此正六棱锥不可能所有棱长都相等，符合题意. 4. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 四边形是正方形的直观图，在轴上且，根据斜二测画法规则，平行于轴的线段长度不变， ∴ 原正方形的对角线. ∴ 原正方形的面积. ∵ 斜二测画法中，直观图面积与原图形面积的比例为， ∴ 四边形的面积. 5. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法求概率 【详解】1，2，4，7中随机选取两个不同的数， 有，共6种情况， 这两个数之和大于5的情况有，共4种情况， 故这两个数之和大于5的概率为. 6. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】依题建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求出即得. 【详解】如图以的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为轴正方向建立平面直角坐标系. 设每个网格边长为1，则易得， 由可得， 解得，故. 7. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 8. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（ ） A. 134 B. 132 C. 128 D. 112 【答案】A 【解析】 【分析】先求90名同学成绩的总体平均数，再利用方差分解公式，把每个班的组内离差平方和与两个班平均数相对总体平均数产生的组间离差平方和相加. 【详解】设一班：，二班：， 则90名同学成绩的总体平均数为：， 因为， 所以这90名同学成绩的方差为： ， 所以这90名同学本次测验成绩的方差为，故选项A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，虚部为，B错误； 对于C，，为纯虚数，C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确. 10. 若，，，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立事件，互斥事件和概率性质进行判断，得到答案 【详解】，故， ，而，故， 故M与N相互独立，B正确； ，D错误； 由于，故M与N不互斥，A错误； 由于M与N相互独立，故也互相独立， 其中，故， 故，C正确. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径. 【详解】几何体共有7个面，C错误； 因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，A正确； 因为，，， 所以，所以，则，同理可证， 可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体， 其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确； 连接，，将平面与平面展开至同一平面， 如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值. 因为，，， 所以平面，则， 在图3中过作，与的延长线交于点， 则，， 所以，B正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据1，2，1，4，1，7，4的众数为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据众数的定义，统计样本中各数据的出现频数，选取频数最高的数值即为众数. 【详解】统计给定样本数据中各数值的出现频数： 数值1出现3次，数值2出现1次，数值4出现2次，数值7出现1次. 其中数值1的频数最大，由众数的定义可知，该组样本数据的众数为1. 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为、，高为， 由台体体积公式可知，该圆台的体积为. 14. 长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 【答案】 【解析】 【分析】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得，在两个三角形中根据余弦定理的推论计算可得答案； 【详解】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得： ，，， 因为，所以 在两个三角形中根据余弦定理的推论可得 ，即 化简得， 解得（米） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，求的值； （2）根据频率计算获奖分数线. 【小问1详解】 频率和为， 得； 【小问2详解】 成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. 16. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 【答案】（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）因为是的直径，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，所以平面． 由（1）得，所以平面． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线结合线面平行的判定定理完成证明； （2）由直径所对圆周角为直角，可得与垂直，再结合线面垂直的判定定理得到垂直于平面，最后结合与的平行关系，由线面垂直的性质完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理进行化简可求出，即可求出答案； （2）根据正弦定理求出，根据余弦定理及基本不等式求出，再利用三角形面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 根据正弦二倍角公式， 又根据正弦定理可得， 即， 因为，，所以，故， 所以，得． 【小问2详解】 因为外接圆的半径为， 根据正弦定理可得，由（1）知， 所以，解得， 由余弦定理可得， 又因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 【答案】（1） （2）应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 【解析】 【分析】(1)获得30天会员需三道题全部答对，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算； (2) 先推导任意答题顺序下获得会员的概率表达式，发现概率大小由中间题的答对概率决定，将答对概率最高的题放在中间即可得到最大概率. 【小问1详解】 甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对. 由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为： . 【小问2详解】 设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对， 即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生.  由各题答题结果相互独立得   而3道题的答对概率分别为，，， 类型①：中间放答对概率最低的题3， ， 类型②：中间放题2，， 类型③：中间放概率最高的题1，， 而，因此应将题1放在中间，题2、题3放在首尾， 即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． （1）证明：点M在平面ADN内． （2）求点M到平面SAB的距离． （3）若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为底面是平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 在中，由三角形中位线性质可得：，且， 结合、，可推出，且， 因此与共面，即四边形是平面四边形， 故点在平面内. （2）点到平面的距离为；​​ （3）线面角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质，结合平行四边形的性质，推出平行且等于，得到四边形为平面四边形，由此说明在平面中； （2）由平面，结合是中点，取中点得到，再结合，推出到平面的距离等于长度的一半，代入直接得到距离结果； （3）先根据平面，确定就是二面角的平面角，结合已知余弦值和，解三角形求出到平面的高，再利用是中点，得到到平面的距离，最后结合的线段长度，通过线面角的定义直接计算出该角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且是平行四边形，所以， 因此平面, 即点到平面的距离为的长度，也就是， 又是的中点，根据中点的性质：点到平面的距离是点到平面距离的一半， 因此点到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面，得，， 所以就是二面角的平面角，由题知， 因为，由余弦定理， 即，解得，所以, 过作于，因为平面，所以，结合， 得平面， ，因为是的中点， 所以到平面的距离是到平面距离的一半，即​​， 由（1）知，，且平面，故， 在等腰中，，又， 因此在直角梯形中：， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. －3 B. －1 C. 3 D. 1 2. 某高山生态茶园共有2000棵茶树，分为珍稀良种茶树、常规本土茶树，采用分层随机抽样的方法抽取50棵进行病虫害监测，样本中珍稀良种茶树有12棵，则估计总体中常规本土茶树的数量为（ ） A. 1440 B. 1480 C. 1520 D. 1680 3. 下列几何体中，不可能所有棱长都相等的是（ ） A. 正三棱锥 B. 正四棱柱 C. 正六棱柱 D. 正六棱锥 4. 如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 7. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（ ） A. 134 B. 132 C. 128 D. 112 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 若，，，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N相互独立 C. D. 11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ） A. 平面平面 B. 的最小值为 C. 几何体共有8个面 D. 几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据1，2，1，4，1，7，4的众数为______． 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 14. 长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 16. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． （1）证明：点M在平面ADN内． （2）求点M到平面SAB的距离． （3）若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $