专题2.4 指数函数、对数函数、幂函数讲义-2026届高考数学一轮复习

专题2.4 指数函数、对数函数、幂函数 2.4.1 指数幂的相关计算及指数函数 知识点梳理 1.n次方根与根式 （1）a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 [0，＋∞) （3）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （4）根式的性质：根式的性质是化简根式的重要依据. ①负数没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作. ③(n∈N*，且n>1)． ④(n为大于1的奇数)． ⑤(n为大于1的偶数)． 2.分数指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）有理数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． ④＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 3.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4.指数函数 （1）一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. （2）指数函数的图像 ①指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ②底数a对指数函数图像的影响 规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. 在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. （3）幂的大小比较 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 典型例题 例1.化简求值：(1)； (2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)2÷4×3. 例2.下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、c、 d与1的大小关系是（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 例3.求下列函数的单调区间 （1）； （2）. 例4.函数且的图象恒过定点,则等于 . 例5.(1)解不等式； (2)已知<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围． 随堂演练 1.已知函数的图象经过原点,且无限接近直线,但又不与该直线相交,则 A. B. C. D. 2.若,则 . 3.已知函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中 ,则的最小值为 . 4.满足方程的值为 . 5.不等式的解集为 . 6.（1）计算； （2）若，求x2+x﹣2的值． （3）已知，求下列各式的值： ①a+a﹣1； ②a2+a﹣2． 7.（1）求函数的值域和单调区间． （2）求函数的定义域和单调区间． 8.已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 2.4.2 对数的相关计算及对数函数 知识点梳理 1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 概念理解：（1）a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. （2）a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定． （3）a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lgN 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e=2.71828 logeN记为lnN 3.对数的性质 （1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. （2）对数恒等式 ①＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （3）1的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1)． （4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1)． （5）零和负数没有对数． 4.对数的运算 （1）对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． （2）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 对数换底公式的重要推论： 推论1：logab＝logba，即logab=.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1)． 推论2：(a>0，且a≠1，b>0)． 推论3：logab·logbc＝logac． logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 5.对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 6.对数函数的图象和性质 （1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞). x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]. 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 （2）底数对对数函数图像的影响 底数a决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低： ①上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴. ②左右比较：比较图像与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 典型例题 例1.(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． 例2.求下列函数的定义域： (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)＋； (3)y＝log(1－x)5. 例3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．a>b>1 D．b>a>1 例4.求函数y＝的单调区间． 例5.函数的图象恒过定点, 若点在直线上, 其中,则的最小值为 . 例6.已知函数． （1）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围； （2）是否存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 随堂演练 1.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2. 已知,则 ( ) A. B. C. D. 3.若,则 ( ) A. B. C. D. 4.已知,则下列等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 5.已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2] 6.方程的解是 . 7.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2) ； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 8.已知函数f（x）＝log2（ax2﹣4ax+6）． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥log23的解集； （2）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围． 9.已知函数f（x）（x2﹣mx﹣m）． （1）若m＝1，求函数f（x）的定义域． （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围． （3）若函数f（x）在区间（﹣∞，1）上是增函数，求实数m的取值范围． 10.已知函数f（x）（x2﹣2ax+3）． （1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间（，1）上为增函数，求实数a的取值范围． 2.4.3 指数函数和对数函数材料计算专题 知识点梳理 根据题目给出的指数函数、对数函数相关材料，将题目给出的材料转成指数函数、对数函数相关的计算问题，从而利用指数函数、对数函数的概念和性质来求解问题. 典型例题 例1.测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植 物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原来的14C会自动衰变．经过5730年，它 的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的，推算该古 物约是m年前的遗物（参考数据：（lg2）﹣1≈3.3219），则实数m的值为（　　） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 例2.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底 光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，y0 为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为 初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太 阳能板的保有量约　 　万块．（结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61， e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49） 随堂演练 1.物理学家本•福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb（n）＝logb应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．若），则k的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2.生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 越大，水质越好。如果某河流治理前后生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ） A. B. C. D. 3.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：,其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）() A. B. C. D. 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日点点的轨道运行. 点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：，设，由于的值很小，因此在近似计算中 ，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（ ）(参考数据: ) A. B. C. D. 6.某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.21小时 7.里氏震级的计算公式为:.其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍。 8.某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系( 为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间设计192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时。 2.4.4 幂函数的定义和性质 知识点梳理 1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.五个幂函数的图象与性质 （1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． （2）五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减 在(－∞，0)上减 3.一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 典型例题 例1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围． 例2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 随堂演练 1.已知幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，求实数a的取值范围． 2.已知幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围． 3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）＝f（x）﹣3x+4，求函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域． 4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点． （1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域； （2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a的取值范围． 5.已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）． （1）求实数m的值； （2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围． 6.已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 指数函数、对数函数、幂函数 2.4.1 指数幂的相关计算及指数函数 知识点梳理 1.n次方根与根式 （1）a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. （2）a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 [0，＋∞) （3）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （4）根式的性质：根式的性质是化简根式的重要依据. ①负数没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作. ③(n∈N*，且n>1)． ④(n为大于1的奇数)． ⑤(n为大于1的偶数)． 2.分数指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）有理数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． ④＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 3.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4.指数函数 （1）一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. （2）指数函数的图像 ①指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ②底数a对指数函数图像的影响 规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. 在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. （3）幂的大小比较 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 典型例题 例1.化简求值： (1)； (2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)2÷4×3. 解：(1)原式＝. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. (3)原式＝. 例2.下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、c、 d与1的大小关系是（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解：解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴．得b＜a＜1＜d＜c． 解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c．故选：B． 例3.求下列函数的单调区间 （1）； （2）. 解：（1）令，则函数t在（-∞，）上单调递增，在[，+∞）上单调递减，当a＞1时，y=at在R上是增函数，即函数的单调递增区间是（-∞，），单调递减区间是[，+∞）． （2）的定义域为[-1，3]. 令，则函数t在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上单调递减. 又y=2t在R上是增函数，所以函数的单调递增区间是[-1,1)，单调递减区间是[1,3]. 例4.函数且的图象恒过定点,则等于 . 解：由,即,得,所以, ,所以.故答案为：2. 例5.(1)解不等式； (2)已知<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围． 解　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤. ∵y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5； 所以原不等式的解集是{x|x<－1或x>5}； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5， 所以原不等式的解集是{x|－1<x<5} 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集是{x|x<－1或x>5}； 当a>1时，不等式的解集是{x|－1<x<5}． 随堂演练 1.已知函数的图象经过原点,且无限接近直线,但又不与该直线相交,则 A. B. C. D. 解：因为函数图像过原点, 所以,得,又该函数图像无限接近直线,且不与该直线相交,所以,则,所以.故选: C. 2.若,则 . 解：原式 故答案为: 3.已知函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中 ,则的最小值为 . 解：对于函数, 令 则,则函数的图像恒过定点,则, 且故 即, 即的最小值为,故答案为. 4.满足方程的值为 . 解：令，原方程化为，解得或.因为，所以，即， 解得：.故答案为：. 5.不等式的解集为 . 解：依题意. 6.（1）计算； （2）若，求x2+x﹣2的值． （3）已知，求下列各式的值： ①a+a﹣1； ②a2+a﹣2． 解：（1） lg4+1﹣lg25； （2）由，得，得x+x﹣1＝6， ∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝36， 故x2+x﹣2＝34． （3）①∵， ∴a+a﹣1+2＝9， ∴a+a﹣1＝7； ②∵a+a﹣1＝7， ∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49， ∴a2+a﹣2＝47． 7.（1）求函数的值域和单调区间． （2）求函数的定义域和单调区间． 解：（1）设函数， t＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2≥﹣2， ∴函数的值域是（0，9]； 在函数中， ∵，t＝x2﹣2x﹣1的对称轴是x＝1，增区间是[1，+∞），减区间是（﹣∞，1]， ∴函数的增区间是（﹣∞，1]，减区间是[1，+∞）． （2）要使函数有意义，只需x2﹣3x+2≥0，解得x≤1或x≥2 函数的定义域为（﹣∞，1]∪[2，+∞） 令t 则为减函数 t的单调递减区间是（﹣∞，1]，单调递增区间是[2，+∞）. 8.已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣1时，f（x），令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减， 而y＝（）t在R上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增， 即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y＝（）h（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）应有最小值﹣1， 因此1， 解得a＝1． 即当f（x）有最大值3时，a的值等于1． （3）由指数函数的性质知， 要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）． 应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R， 因此只能有a＝0． 因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R． 故 a的取值范围是{0}． 2.4.2 对数的相关计算及对数函数 知识点梳理 1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 概念理解：（1）a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. （2）a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定． （3）a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lgN 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e=2.71828 logeN记为lnN 3.对数的性质 （1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. （2）对数恒等式 ①＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （3）1的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1)． （4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1)． （5）零和负数没有对数． 4.对数的运算 （1）对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． （2）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 对数换底公式的重要推论： 推论1：logab＝logba，即logab=.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1)． 推论2：(a>0，且a≠1，b>0)． 推论3：logab·logbc＝logac． logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 5.对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 6.对数函数的图象和性质 （1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞). x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]. 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 （2）底数对对数函数图像的影响 底数a决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低： ①上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴. ②左右比较：比较图像与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 典型例题 例1.(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． 解：(1)原式＝＝＝×＝. (2)方法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝＝＝＝＝. 方法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝.例2.求下列函数的定义域： (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)＋； (3)y＝log(1－x)5. 解：(1)由,解得－3<x<3，∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由,得,∴1<x<2.∴函数y＝log2(16－4x)＋的定义域为(1,2)． (3)依题意知,得x<1且x≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)． 例3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．a>b>1 D．b>a>1 解：作直线y＝1，直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.故答案为B. 例4.求函数y＝的单调区间． 解：由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0， ∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R. 令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈时，u(x)单调递减，当x∈时，u(x)单调递增． 又y＝为减函数， ∴y＝在上单调递增，在上单调递减． 综上，函数y＝的增区间为，减区间为. 例5.函数的图象恒过定点, 若点在直线上, 其中,则的最小值为 . 解：对于函数 ()，令，可得，则， 故函数 ()的图像恒过定点，因为点在直线 上，则，可得 .因为、，所以. 当且仅当时，等号成立，故 的最小值为. 例6.已知函数． （1）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围； （2）是否存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 解：已知函数， （1）由函数f（x）的值域为R，则函数y＝x2﹣2ax+3的值域包含（0，+∞）， 则Δ＝4a2﹣4×3≥0，解得或， 即a的取值范围为． （2）不存在，理由如下： 由函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增， 则函数y＝x2﹣2ax+3在（﹣∞，2）递减，且x2﹣2ax+3＞0对于x∈（﹣∞，2）恒成立， 所以，无解， 所以不存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增． 随堂演练 1.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 解：函数y＝x2﹣2ax+1的对称轴为x＝a，且恒过定点（0，1），观察选项可知，选项C可能符合， 若选C，则由图象可知，此时0＜a＜1，函数y＝loga（x+1）单调递减，且恒过定点（0，0），符合题意．故选：C． 2. 已知,则 ( ) A. B. C. D. 解：因为, ,即.所以.故选:C. 3.若,则 ( ) A. B. C. D. 解：,, ..故选:C. 4.已知,则下列等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 解：相除得又所以选B. 5.已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2] 解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在[2，+∞）上为减函数， 只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0在[2，+∞）上恒成立， 所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0，解得﹣4＜a≤2．故选：C． 6.方程的解是 . 解：由,可得得. 7.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2) ； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝＝. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. 8.已知函数f（x）＝log2（ax2﹣4ax+6）． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥log23的解集； （2）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围． 解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≥log23，即log2（x2﹣4x+6）≥log23， 可得x2﹣4x+6≥3 ∴x2﹣4x+3≥0 解得：x≥3或x≤1． ∴不等式f（x）≥log23的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）． （2）f（x）的定义域为R，即ax2﹣4ax+6＞0恒成立． ①当a≠0时，得a＞0且Δ＝16a2﹣24a＜0 解得：； ②当a＝0时，6＞0恒成立，f（x）的定义域为R成立． 综上得a的取值范围为[0，）． 9.已知函数f（x）（x2﹣mx﹣m）． （1）若m＝1，求函数f（x）的定义域． （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围． （3）若函数f（x）在区间（﹣∞，1）上是增函数，求实数m的取值范围． 解：（1）若m＝1，则 要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈ ∴若m＝1，函数f（x）的定义域为． （2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数， ∴Δ＝m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） ∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） （3）若函数f（x）在区间上是增函数， 则y＝x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，∴1，且（1）2﹣m（1）﹣m≥0即m≥2﹣2且m≤2 ∴m∈ 10.已知函数f（x）（x2﹣2ax+3）． （1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间（，1）上为增函数，求实数a的取值范围． 解：（1）若函数f（x）（x2﹣2ax+3）的定义域为R， 则x2﹣2ax+3＞0恒成立，即Δ＝4a2﹣12＜0，解得：a∈（，）； （2）若函数在区间（，1）上为增函数， 则t＝x2﹣2ax+3在区间（，1）上为减函数，且恒为正， 即，解得：a∈[1，2] 2.4.3 指数函数和对数函数材料计算专题 知识点梳理 根据题目给出的指数函数、对数函数相关材料，将题目给出的材料转成指数函数、对数函数相关的计算问题，从而利用指数函数、对数函数的概念和性质来求解问题. 典型例题 例1.测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植 物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原来的14C会自动衰变．经过5730年，它 的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的，推算该古 物约是m年前的遗物（参考数据：（lg2）﹣1≈3.3219），则实数m的值为（　　） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 解：设14C每年的衰变率为P，古物中原14C的含量为a， 由半衰期，得．所以，即． 由题意，知，即． 于是． 所以m≈5730×2.3219≈13304．故选：B． 例2.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约　 　万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61，e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49） 解：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1020，p＝10% ＝0.1，x＝6， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为e﹣0.6≈0.55， 所以． 所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万块． 故答案为：36． 随堂演练 1.物理学家本•福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb（n）＝logb应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．若），则k的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 解：由题意可知，P10（k）lg（k+1）﹣lgk， 所以lg（k+1）﹣lgk+lg（k+2）﹣lg（k+1）+…+lg81﹣lg80＝lg81﹣lgk， lg81﹣lgk＝lg， lg，log109＝lg，即lg9＝lg，所以9，所以k＝9．故选：C． 2.生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 越大，水质越好。如果某河流治理前后生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意得 ，则，即 ，所以 . 故选：D. 3. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：,其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）() A. B. C. D. 解：,所以,则 所以解得：.故选:C. 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日点点的轨道运行. 点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：，设，由于的值很小，因此在近似计算中 ，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 解：由，得,因为，所以， 即，解得:，所以 . 5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（ ）(参考数据: ) A. B. C. D. 解：设，两边取对数得：，所以，即最接近，故选：D. 6.某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.21小时 解：，，两式相除得，解得：，， 那么，当时，，故选：C. 7.里氏震级的计算公式为:.其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍。 解：根据题意，假定在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则. 设级地震的最大的振幅是，级地震最大振幅是，，，解得 ，，故答案为: . 8.某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系( 为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间设计192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时。 解：由题意得：所以时，. 2.4.4 幂函数的定义和性质 知识点梳理 1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.五个幂函数的图象与性质 （1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． （2）五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减 在(－∞，0)上减 3.一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 典型例题 例1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围． 解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为. 因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得<a<或a<－1.故a的取值范围是. 例2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2. 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)可知f(x)＝x2. 当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增， ∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]． ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴,⇒0≤k≤1. ∴实数k的取值范围是[0,1]． 随堂演练 1.已知幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减． （1）求实数m的值； （2）若（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，求实数a的取值范围． 解：（1）∵幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减． ∴，解得实数m＝﹣4． （2）不等式（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，即（3a﹣2）3＜（a+4）3，即3a﹣2＜a+4，解得a＜3． 故实数a的取值范围为（﹣∞，3）． 2.已知幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）∵幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增，∴m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，求得m＝﹣3，f（x）＝x2． （2）∵∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，即a 恒成立，即a＞﹣23（） 恒成立．令t∈[，1]，则a＞h（t）＝﹣2t2+3t＝﹣2， 故当t时，h（t）取得最大值为，∴a． 3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）＝f（x）﹣3x+4，求函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域． 解：（1）函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为幂函数，则m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或3． 当m＝2时，函数f（x）＝x为奇函数，不合乎题意； 当m＝3时，函数f（x）＝x2为偶函数，合乎题意．综上所述，f（x）＝x2． （2）解：由（1）可得g（x）＝x2﹣3x+4， 所以函数g（x）在上为减函数，在上为增函数， 所以，，g（x）max＝g（﹣1）＝8． 因此，函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域为． 4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点． （1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域； （2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a的取值范围． 解：（1）设f（x）＝xα，代入点得，解得， 即，故函数f（x）的定义域为[0，+∞）． （2）由于f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上递增， 由已知f（1+a）＞f（3﹣a）可得，解得：1＜a≤3， 故a的范围是（1，3]． 5.已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）． （1）求实数m的值； （2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围． 解：（1）因为是幂函数， 所以4m2﹣3m＝1， 解得m＝1或， 当时，，此时f（3）＞f（5），不符合题意； 当m＝1时，，此时f（3）＜f（5），符合题意． 综上，m＝1； （2）因为，所以f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上单调递增， 所以f（2a+1）＜f（3﹣4a），即0≤2a+1＜3﹣4a， 解得，即实数a的取值范围是． 6.已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围． 解：（1）幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）． 则2a＝4，解得α＝2， 故f（x）＝x2； （2）由（1）可得∀x∈R，t≤x2+2x恒成立，∴t≤（x2+2x）min， ∴令g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴g（x）min＝﹣1，∴t≤﹣1， ∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $