幂函数、指数函数、对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第8讲 幂函数、指数函数、对数函数 【教学目标】 1．通过基础训练题，理解幂函数、指数函数、对数函数的概念、掌握其图像与性质. 2．在典型例题的解决过程中，会利用幂函数、指数函数与对数函数的图像与性质解决简单的数学问题，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法． 3．学会在生活中利用数学解决实际问题，发展逻辑推理、数学运算素养． 【教学重点】 梳理幂函数、指数函数与对数函数相关基础知识和基本方法，形成框架体系． 【教学难点】 幂函数、指数函数与对数函数的简单应用． 【知识梳理】 知识点一、幂函数 1. 定义：形如，（） 2. 图像：①当时，下凹严格增 ②当时，正比例递增 ③当时，上凸严格增 ④当时，反比例严格增 3. 性质：①当时，函数过定点、，在上递增 ②当时，函数过定点，在上递减，坐标轴为渐近线 ③，奇分之奇仍为奇，奇分之偶方为偶，偶数分母二不是 【注】（1）无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限； （2） 越大，幂函数上升或下降的越快. 知识点二、指数函数和对数函数 名称 指数函数： 对数函数： 图像 指数函数与对数函数的图像关于直线对称 定义域 值 域 过定点 图象过定点 即当时， 图象过定点 即当时， 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 单调性 ，在上是严格增函数 ，在上是严格减函数 ，在上是严格增函数 ，在上是严格减函数 【教学过程】 例1 已知函数，当为何值时，： （1）是幂函数； （2）是幂函数，且是上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数. 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）；（5） 例2 （1）已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值； （2）已知幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象. 【答案】（1）或；（2）或，图像略 例3 若，则的取值范围是 【答案】或 例4 已知幂函数在区间上是单调增函数，且为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）☆设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解答】（1）在区间上是单调增函数，即， 又，1，2而，2时，不是偶函数，时，是偶函数． （2）由知，对任意，恒成立，， 又，在，上严格增，于是 ，，故实数的取值范围是 例5 若指数函数在区间上的最大值与最小值之差等于，则实数的值为__________． 当时，指数函数在区间上是严格增函数．所以，在区间上，当时，该指数函数取到最小值；当时，该指数函数取到最大值．由题意，得，解得（舍），；当时，指数函数在区间上是严格减函数．所以，在区间上，当时，该指数函数取到最大值；当时，该指数函数取到最小值．由题意，得，解得（舍），．综上所述，实数的值为或． 例6 已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是 ． 例7 对于函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【课后练习】 1. 设幂函数，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（ C ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 2. 若幂函数的图像经过点，则____4____． 3. 函数的定义域是__________． 4. 若则满足的的值为____3____． 5. 设,则满足不等式的的取值范围是________． 6. 已知函数，若，则 . 【答案】或 7. 已知常数，函数的图像经过点．若，则 6 ． 8. 已知、是实数，其中且，函数的定义域和值域都是区间，求的值． 【答案】记． 当时，函数在区间上严格增，由即得，无解，舍去． 当时，函数在区间上严格减，由即解得，，故． 综上，． 9. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 10. 已知函数，若的定义域中的、满足，则 . 【拓展提升】 1． 设函数，其中，．若，，是的三条边长，则下列结论中正确的是 （ D ） ①对一切都有； ②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长； ③若为钝角三角形，则存在，使． A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2． 定义在上的函数满足，则的值 为 0 3． 已知，函数，，其中．若函数的最大值为，求的值． 【答案】．由解得．设，就有，．函数在区间上严格增，当且仅当时，该函数取得最大值．由，解得或（舍）． 因此，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 幂函数、指数函数、对数函数 【教学目标】 1．通过基础训练题，理解幂函数、指数函数、对数函数的概念、掌握其图像与性质. 2．在典型例题的解决过程中，会利用幂函数、指数函数与对数函数的图像与性质解决简单的数学问题，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法． 3．学会在生活中利用数学解决实际问题，发展逻辑推理、数学运算素养． 【教学重点】 梳理幂函数、指数函数与对数函数相关基础知识和基本方法，形成框架体系． 【教学难点】 幂函数、指数函数与对数函数的简单应用． 【知识梳理】 知识点一、幂函数 1. 定义：形如，（） 2. 图像：①当时，下凹严格增 ②当时，正比例递增 ③当时，上凸严格增 ④当时，反比例严格增 3. 性质：①当时，函数过定点、，在上递增 ②当时，函数过定点，在上递减，坐标轴为渐近线 ③，奇分之奇仍为奇，奇分之偶方为偶，偶数分母二不是 【注】（1）无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限； （2） 越大，幂函数上升或下降的越快. 知识点二、指数函数和对数函数 名称 指数函数： 对数函数： 图像 指数函数与对数函数的图像关于直线对称 定义域 值 域 过定点 图象过定点 即当时， 图象过定点 即当时， 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 单调性 ，在上是严格增函数 ，在上是严格减函数 ，在上是严格增函数 ，在上是严格减函数 【教学过程】 例1 已知函数，当为何值时，： （1）是幂函数； （2）是幂函数，且是上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数. 例2 （1）已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值； （2）已知幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象. 例3 若，则的取值范围是 例4 已知幂函数在区间上是单调增函数，且为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）☆设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 例5 若指数函数在区间上的最大值与最小值之差等于，则实数的值为________． 例6 已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是 ． 例7 对于函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围； 【课后练习】 1. 设幂函数，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（ ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 2. 若幂函数的图像经过点，则_______． 3. 函数的定义域是_________． 4. 若则满足的的值为________． 5. 设,则满足不等式的的取值范围是________． 6. 已知函数，若，则 . 7. 已知常数，函数的图像经过点．若，则 ． 8. 已知、是实数，其中且，函数的定义域和值域都是区间，求的值． 9. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 10. 已知函数，若的定义域中的、满足，则 . 【拓展提升】 1． 设函数，其中，．若，，是的三条边长，则下列结论中正确的是 （ ） ①对一切都有； ②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长； ③若为钝角三角形，则存在，使． A． ①② B．①③ B． ②③ D．①②③ 2． 定义在上的函数满足，则的值 为 3． 已知，函数，，其中．若函数的最大值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$