专题6 对数运算与对数函数、幂函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题6：对数运算与对数函数、幂函数 知识点一 对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点二 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点三 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 函 数 特 征 性 质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 时，增 增 增 时，减 时，减 时，减 定点 (1,1)和(0,0) (1,1) 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 一、对数运算 1对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式logambn＝logab化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 二、对数式比较大小的方法 1、若底数相同，则可由对数函数的单调性直接判断； 2、若底数不同，真数相同，则可以利用函数图象法比较，或取倒数比较；当底数为真数的因数且真数的因数中除底数外都相同时可以转化为同真数比较大小，如与可化为与之后再比较； 3、若底数与真数都不同时，我们常借助中间值（如-1,0,1等）来比较。 4、图象法：在坐标系中画出图象找到每个数的相应位置，然后进行比较； 5、作差或作商进行比较大小：。 三、对数型复合函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 四、指对幂比较大小 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 考点一 对数运算 【例1-1】计算 （1） . （2） （3）. 【例1-2】已知，则（      ） A．25 B．5 C． D． 考点二 对数函数 【例2-1】函数的定义域是____________． 【例2-2】函数单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【例2-3】函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式2-4】设函数则满足的取值范围是（ ） A． [-1,2] B．[0,2] C．[1,+） D．[0,+） 考点三 对数型复合函数的值域 【例3】已知函数且. （1）当时，求的值域； （2）若在上的最大值大于，求的取值范围. 【变式3】已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 考点四 幂函数 【例4-1】下列幂函数中，定义域为的是（       ） A． B． C． D． 【例4-2】设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【变式4】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________. 考点五 指对幂比较大小 【例5】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知，则（ ） A． B． C． D． 1.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数。当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )() A. B. C. D. 2.设，，，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 3.设，，，则( ) A. B. C. D. 4.如图是幂函数的部分图象，已知取，，，这四个值，则与曲线，，，相对应的依次为（       ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5. 设函数，则( ) A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减 6. 若，则( ) A. B. C. D. 7. 若，则( ) A. B. C. D. 8.函数为奇函数，则实数__________． 9.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 ． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题6：对数运算与对数函数、幂函数 知识点一 对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点二 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点三 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 函 数 特 征 性 质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 时，增 增 增 时，减 时，减 时，减 定点 (1,1)和(0,0) (1,1) 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 一、对数运算 1对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式logambn＝logab化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 二、对数式比较大小的方法 1、若底数相同，则可由对数函数的单调性直接判断； 2、若底数不同，真数相同，则可以利用函数图象法比较，或取倒数比较；当底数为真数的因数且真数的因数中除底数外都相同时可以转化为同真数比较大小，如与可化为与之后再比较； 3、若底数与真数都不同时，我们常借助中间值（如-1,0,1等）来比较。 4、图象法：在坐标系中画出图象找到每个数的相应位置，然后进行比较； 5、作差或作商进行比较大小：。 三、对数型复合函数的值域 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 四、指对幂比较大小 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 考点一 对数运算 【例1-1】计算 （1） . （1） =2 （2） （2）原式= . （3）. （3） . 【例1-2】已知，则（    C   ） A．25 B．5 C． D． 因为，，即，所以．故选：C. 考点二 对数函数 【例2-1】函数的定义域是____________． 【答案】 【例2-2】函数单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【例2-3】函数的值域为（   A    ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示： 由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C. 【变式2-2】已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（     ） A． B． C． D． 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得，；取特殊点，，．选A． 【变式2-3】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式2-4】设函数则满足的取值范围是（ ） A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+） D．[0,+） 【答案】D 考点三 对数型复合函数的值域 【例3】已知函数且. （1）当时，求的值域； （2）若在上的最大值大于，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由得：，则的定义域为；当时，，当时，（当且仅当时取等号），，则的值域为. （2）；令， 则在上单调递减，在上单调递增，又，，，的值域为；当时，，，解得：（舍）；当时，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为. 【变式3】已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设，，，所以，即，解得， 所以，解得，即；（2）由（1）得，当，， 所以函数可转化为，，当时，取最小值为， 当或时，取最大值为，即当时，取最小值为， 当或时，取最大值为，即函数的值域为. 考点四 幂函数 【例4-1】下列幂函数中，定义域为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【例4-2】设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【变式4】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________. 【详解】函数过定点， 如图： 考点五 指对幂比较大小 【例5】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式5】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，所以， ，所以.故选：A 1.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数。当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( C )() A. B. C. D. 2.设，，，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 答案：D 解：因为，，， 所以。故选D。 3.设，，，则( ) A. B. C. D. 答案：A解：因为，， 所以。故选A。 4.如图是幂函数的部分图象，已知取，，，这四个值，则与曲线，，，相对应的依次为（       ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 5. 设函数，则( ) A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减 答案：D 解：由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除A和C；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B；当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 6. 若，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解：由得：，令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，C和D无法确定。故选A。 7. 若，则( ) A. B. C. D. 答案：B解：设，则为增函数， 因为， 而 所以，即， 所以，故选B。 8.函数为奇函数，则实数__________． 函数为奇函数 即 则，即 ，则： 则：当时，，则定义域为：且 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意 当时，，满足题意 9.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】由题意，令，解得或， 故函数的定义域为， ，得， 令，则， 根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间， 由二次函数的性质，的增区间为， 所以函数的单调递增区间为.故答案为：. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $