7.3.2 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，系统阐述方差与标准差的定义、意义及性质，包括Y=aX+b时D(Y)=a²D(X)的推导，明确两点分布的方差公式D(X)=p(1-p)，承接前期分布列与期望知识，构建从平均水平到波动程度的完整知识支架。 资料以野生动物保护区管理水平评定为情境引入，通过对比分析、实例计算（如两种底片测量结果比较）培养数学抽象与数据分析素养。课中例题结合生活场景助教师引导学生理解方差意义，课后分层练习（预习自测、当堂达标等）帮助学生巩固计算与应用，有效提升用数学语言解决实际问题的能力。

7．3.2　离散型随机变量的方差 课程标准 素养解读 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.掌握方差的性质以及两点分布的方差 3.会用方差解决一些实际问题 1.通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养 2.借助方差的性质及两点分布的方差解题，提高数学运算的素养 [情境引入] 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.3 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的方差与标准差 1．定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P P1 p2 … pk … pn ＝ 型随机变量X的方差，有时也记作Var(X)；　　称为离散型随机变量X的标准差，记作σ(X)． 2．意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越　集中　；方差与标准差越大，随机变量的取值越　分散　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝　a2D(X)　. 离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？ 提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的． [知识点二]　两点分布的方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布， 则D(X)＝　p(1－p)　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．(×) (2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．(×) (3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平．(×) (4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．(√) 2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　) A．2　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 解析：C　[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.] 3．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　________　. 解析：事件在一次试验中发生次数记为X，X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5. 答案：0.5 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为　________　. 解析：∵E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. ∴X的标准差为＝＝. 答案： 　　　求离散型随机变量的方差、标准差 [例1]　已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P 求E(X)、D(X)与σ(X)． [思路点拨]　充分利用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质求解，在应用方差的定义求解时，特别注意，(xi－E(X))2pi中的平方． 解：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝(1＋2＋…＋7)×＝4. D(X)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＋(7－4)2×＝(32＋22＋12＋0＋12＋22＋32)×＝4.σ(X)＝＝2. 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 2．若两变量间存在关系，则在求解方差时，应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [变式训练] 1．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， ∴或即为所求． 　　　两点分布 [例2] 某运动员投篮命中率p＝0.6，求投篮一次时命中次数X的均值与方差； [思路点拨]　根据两点分布的均值和方差公式直接计算． 解：投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 此为两点分布，其中p＝0.6. ∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.6×0.4＝0.24. 　如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)． [变式训练] 2．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m　　　　　　　　 B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：D　[随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m ∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m. ∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．] 　　　离散型随机变量方差的应用 [例3]　膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2. 表1　玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2　软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ [思路点拨]　在解决此类问题时，首先应列出分布列，使条件明朗化，然后计算数学期望进行比较，若期望相等，还需计算方差，看谁的稳定性强，一般地，方差越小，其稳定性越强． 解：玻璃底片测量结果的均值与方差为： E(X)＝13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.60＋13.7×0.15＋13.8×0.05＝13.6， D(X)＝(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.60＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＝0.07. 软片底片测量结果的均值和方差为： E(Y)＝13.3×0.05＋13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.50＋13.7×0.15＋13.8×0.05＋13.9×0.05＝13.6， D(Y)＝(13.3－13.6)2×0.05＋(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.50＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＋(13.9－13.6)2×0.05＝0.016. ∵玻璃底片E(X)＝软片底片E(Y)，软片底片D(Y)<玻璃底片D(X)，∴软片底片测量的结果比较好． 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． 2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． 3．下结论．依据方差的几何意义做出结论． [变式训练] 3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲： 分数X 80 90 100 概率P 0.2 0.6 0.2 乙： 分数Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平． 解：甲同学成绩的均值与方差为： E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40. 乙同学成绩的均值与方差为： E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. ∵D(X)＜D(Y)， ∴甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大． 　　　分布列、均值、方差综合题 [例4]　从4名男生和2名女生中任选3人观看第十四届国际泳联世界锦标赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． [思路点拨]　根据概率定义求出分布列，然后利用分布列与均值、方差等的关系求解． 解：(1)X可能的取值为0,1,2. P(X＝k)＝，k＝0,1,2. ∴X分布列 X 0 1 2 P (2)X的均值与方差为： E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. (3)由(1)知“所求3人中女生人数X≤1”的概率为 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 1．均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析． 2．理解和处理数据，获得和解释结论，形成通过数据认识事物的思维品质，提升数据分析的数学核心素养． [变式训练] 4．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：(1)依据题意0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1， 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合(1)中ξ，η的分布列可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96. D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． [当堂达标] 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．] 2．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　　) A. 　B.　 C. 　D. 解析：C　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.] 3．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝　________　. 解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝. P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36. 答案：3.36 4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9，则D(X)等于　________　. 解析：E(X)＝3×＋6×＋9×＝6， D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6. 答案：6 5．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表： 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% (1)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率； (2)从8所学校中随机选出2所学校，记这2所学校中学生不及格的比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列； (3)设8所学校的学生中优秀比例的方差为s，良好及以下比例之和的方差为s，比较s与s的大小． 解：(1)8所学校中有4所学校的学生的健康测试成绩达到良好及以上的比例之和超过40%， 所以从8所学校中随机选出一所学校，该校为先进校的概率为. (2)8所学校中，学生不及格比例低于30%的学校有学校B，F，H，所以X的取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和Z＝1－Y，则D(Y)＝D(Z)，所以s＝s. [基础过关] 1．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A.　 　B.　 C.　 　D. 解析：B　[由分布列的性质得x＋y＝0.5， 又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.] 2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 解析：D　[E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.] 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的方差为(　　) A．D(X)＝1 B．D(X)＝ C．E(X)＝ D．E(X)＝1 解析：A　[抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列为 X 1 －1 P 0.5 0.5 所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.] 4．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0<p1<p2<，则(　　) A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 解析：A　[根据已知得ξi(i＝1,2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，因为0<p1<p2<，所以E(ξ1)＝p1<p2＝E(ξ2)，D(ξ1)－D(ξ2)＝p1－p－(p2－p)＝(p1－p2)[1－(p1＋p2)]，已知p1<p2，p1＋p2<1，所以D(ξ1)－D(ξ2)<0，即D(ξ1)<D(ξ2)．] 5．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表，则(　　) X －1 0 1 P A.P(X＝0)＝　　 B．E(X)＝－ C．D(X)＝ D．D(X2)＝ 解析：ABD　[由X的分布列可知P(X＝0)＝，所以A正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， 所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝，所以B正确，C不正确； 因为P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝， 所以E(X2)＝，所以D(X2)＝2×＋2×＝，所以D正确．故选ABD.] 6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是(　　) X x Y P y X A.存在x，y∈(0,1)，E(X)> B．对任意x，y∈(0,1)，E(X)≤ C．对任意x，y∈(0,1)，D(X)≤E(X) D．存在x，y∈(0,1)，D(X)> 解析：BC　[依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy， 又2xy≤＝，所以E(X)≤， 当且仅当x＝y＝时取等号，∴A错误，B正确； D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx， ∵0<x<1，∴－1<2x－1<1，∴0<(2x－1)2<1， ∴D(X)<yx，即D(X)<E(X)，∴C正确； ∵D(X)＝(1－2x)2yx<xy≤＝， 当且仅当x＝y＝时取等号．∴D错误． 故选BC.] 7．阿尔法围棋(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款D级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为X千元，则D(X)＝　______　. 解析：依题意可知，X的可能取值为0,2,5,10，则P(X＝0)＝C3＝，P(X＝2)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝10)＝C3＝，所以E(X)＝0×＋2×＋5×＋10×＝，又E(X2)＝02×＋22×＋52×＋102×＝，所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. 答案： 8．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝　________　，b＝　________　. X －1 0 1 2 P a b C 解析：由题意知解得 答案：　 9．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为　________　，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为　________　. 解析：“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为P＝＝. 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为2××＝.“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 答案：　 10．已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384. (2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536. 11．已知X的分布列如下. X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1， 故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. (3)E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2， D(Y)＝16D(X)＝11. [能力提升] 12．有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y. 求：(1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的数学期望与方差． 解：(1)X的取值为0,1,2,4. P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝； P(X＝4)＝＝. (2)X的分布列如下： X 0 1 2 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. 13．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差． 解析：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数n＝C＝20，这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数，”A1表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名数学老师”，A1，A2互斥，且A＝A1∪A2，P(A1)＝＝＝，P(A2)＝＝，∴选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为P＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝； (2)由于从6名老师中任选3名的结果为C，从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为CC(m＝0,1,2)，那么6名中任选3人，恰有m名数学老师的概率为P(X＝m)＝，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案：(1) (2)E(X)＝1，D(X)＝ [素养培优] 14．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D＋D＝2·D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3×(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)． 所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3. 学科网（北京）股份有限公司 $