7.3.2 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“离散型随机变量的方差”核心知识点，通过课前预习学案梳理知识脉络，以已学的随机变量期望为导入，搭建从集中趋势到离散程度的学习支架，帮助学生建立知识间的逻辑联系。 其亮点在于采用“课前预习-课堂互动-课后提升”三阶教学模式，课堂互动学案通过题型分析引导学生用数学思维推理方差计算原理，结合课时作业强化应用，培养数据观念与理性精神。学生能深化对随机变量波动性的理解，教师可系统推进教学，提升课堂效率。

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.掌握方差的性质以及两点分布的方差 3.会用方差解决一些实际问题 1.通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养 2.借助方差的性质及两点分布的方差解题，提高数学运算的素养 [情境引入] 1、 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境， 2、 且野生动物的种类和数量也大致相等，而 3、 两个保护区内每个季度发现违反保护条例 4、 的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.3 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的方差与标准差 1．定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P P1 p2 … pk … pn =，称为离散 型随机变量X的方差，有时也记作Var(X)；　eq \r(DX)　称为离散型随机变量X的标准差，记作σ(X)． 2．意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越　集中　；方差与标准差越大，随机变量的取值越　分散　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝　a2D(X)　. 离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？ 提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的． [知识点二]　两点分布的方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布， 则D(X)＝　p(1－p)　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．( × ) (2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．( × ) (3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平．( × ) (4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．( √ ) 2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　) A．2　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 解析：C　[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.] 3．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　________　. 解析：事件在一次试验中发生次数记为X，X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5. 答案：0.5 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为　________　. 解析：∵E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. ∴X的标准差为eq \r(DX)＝eq \r(3.56)＝eq \f(\r(89),5). 答案：eq \f(\r(89),5) 求离散型随机变量的方差、标准差 求离散型随机变量的方差、标准差 [例1]　已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P eq \f(1,7) eq \f(1,7) eq \f(1,7) eq \f(1,7) eq \f(1,7) eq \f(1,7) eq \f(1,7) 求E(X)、D(X)与σ(X)． [思路点拨]　充分利用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质求解，在应用方差的定义求解时，特别注意，(xi－E(X))2pi中的平方． 解：E(X)＝1×eq \f(1,7)＋2×eq \f(1,7)＋3×eq \f(1,7)＋4×eq \f(1,7)＋5×eq \f(1,7)＋6×eq \f(1,7)＋7×eq \f(1,7)＝(1＋2＋…＋7)×eq \f(1,7)＝4. D(X)＝(1－4)2×eq \f(1,7)＋(2－4)2×eq \f(1,7)＋(3－4)2×eq \f(1,7)＋(4－4)2×eq \f(1,7)＋(5－4)2×eq \f(1,7)＋(6－4)2×eq \f(1,7)＋(7－4)2×eq \f(1,7)＝(32＋22＋12＋0＋12＋22＋32)×eq \f(1,7)＝4.σ(X)＝eq \r(DX)＝2. 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 2．若两变量间存在关系，则在求解方差时，应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [变式训练] 1．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,2) eq \f(1,20) eq \f(1,10) eq \f(3,20) eq \f(1,5) ∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即为所求． 两点分布 [例2] 某运动员投篮命中率p＝0.6，求投篮一次时命中次数X的均值与方差； [思路点拨]　根据两点分布的均值和方差公式直接计算． 解：投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 此为两点分布，其中p＝0.6. ∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.6×0.4＝0.24. 　如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)． [变式训练] 2．设一随机试验的结果只有A和eq \x\to(A)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则ξ的方差D(ξ)等于(　　) A．m　　　　B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：D　[随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m ∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m. ∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．] 离散型随机变量方差的应用 [例3]　膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2. 表1　玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2　软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ [思路点拨]　在解决此类问题时，首先应列出分布列，使条件明朗化，然后计算数学期望进行比较，若期望相等，还需计算方差，看谁的稳定性强，一般地，方差越小，其稳定性越强． 解：玻璃底片测量结果的均值与方差为： E(X)＝13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.60＋13.7×0.15＋13.8×0.05＝13.6， D(X)＝(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.60＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＝0.07. 软片底片测量结果的均值和方差为： E(Y)＝13.3×0.05＋13.4×0.05＋13.5×0.15＋13.6×0.50＋13.7×0.15＋13.8×0.05＋13.9×0.05＝13.6， D(Y)＝(13.3－13.6)2×0.05＋(13.4－13.6)2×0.05＋(13.5－13.6)2×0.15＋(13.6－13.6)2×0.50＋(13.7－13.6)2×0.15＋(13.8－13.6)2×0.05＋(13.9－13.6)2×0.05＝0.016. ∵玻璃底片E(X)＝软片底片E(Y)，软片底片D(Y)<玻璃底片D(X)，∴软片底片测量的结果比较好． 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． 2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． 3．下结论．依据方差的几何意义做出结论． [变式训练] 3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲： 分数X 80 90 100 概率P 0.2 0.6 0.2 乙： 分数Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平． 解：甲同学成绩的均值与方差为： E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40. 乙同学成绩的均值与方差为： E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. ∵D(X)＜D(Y)， ∴甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大． 分布列、均值、方差综合题 [例4]　从4名男生和2名女生中任选3人观看第十四届国际泳联世界锦标赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． [思路点拨]　根据概率定义求出分布列，然后利用分布列与均值、方差等的关系求解． 解：(1)X可能的取值为0,1,2. P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2. ∴X分布列 (2)X的均值与方差为： E(X)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1， D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,5)＋(1－1)2×eq \f(3,5)＋(2－1)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5). (3)由(1)知“所求3人中女生人数X≤1”的概率为 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(4,5). X 0 1 2 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 1．均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析． 2．理解和处理数据，获得和解释结论，形成通过数据认识事物的思维品质，提升数据分析的数学核心素养． [变式训练] 4．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：(1)依据题意0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1， 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合(1)中ξ，η的分布列可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96. D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． [当堂达标] 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．] 2．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则D(X)等于(　　) A.eq \f(29,12) 　B.eq \f(121,144)　 C.eq \f(179,144) 　 D.eq \f(17,12) 解析：C　[E(X)＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝eq \f(29,12)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(179,144).] 3．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝　________　. 解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝9)＝eq \f(C\o\al(2,8)×C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15).P(X＝12)＝eq \f(C\o\al(1,8)×C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,15)，则E(X)＝6×eq \f(7,15)＋9×eq \f(7,15)＋12×eq \f(1,15)＝7.8，D(X)＝eq \f(7,15)×(6－7.8)2＋eq \f(7,15)×(9－7.8)2＋eq \f(1,15)×(12－7.8)2＝3.36. 答案：3.36 4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,3)，k＝3,6,9，则D(X)等于　________　. 解析：E(X)＝3×eq \f(1,3)＋6×eq \f(1,3)＋9×eq \f(1,3)＝6， D(X)＝(3－6)2×eq \f(1,3)＋(6－6)2×eq \f(1,3)＋(9－6)2×eq \f(1,3)＝6. 答案：6 5．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表： 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% (1)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率； (2)从8所学校中随机选出2所学校，记这2所学校中学生不及格的比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列； (3)设8所学校的学生中优秀比例的方差为seq \o\al(2,1)，良好及以下比例之和的方差为seq \o\al(2,2)，比较seq \o\al(2,1)与seq \o\al(2,2)的大小． 解：(1)8所学校中有4所学校的学生的健康测试成绩达到良好及以上的比例之和超过40%， 所以从8所学校中随机选出一所学校，该校为先进校的概率为eq \f(1,2). (2)8所学校中，学生不及格比例低于30%的学校有学校B，F，H，所以X的取值为0,1,2. P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq \f(5,14)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq \f(15,28)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq \f(3,28)，所以X的分布列为 (3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和Z＝1－Y，则D(Y)＝D(Z)，所以seq \o\al(2,1)＝seq \o\al(2,2). X 0 1 2 P eq \f(5,14) eq \f(15,28) eq \f(3,28) $