第10讲 一次函数应用问题(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

第10讲一次函数应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一次函数应用典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 一次函数实际应用问题 1.一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题． 2.在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式． 3.学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值． 常考题型：经济问题、工程问题、面积计算、方案问题、行程问题 知识点二 一次函数在几何中的应用（综合题） 1.函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． 2.数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 常考题型：平行四边形、菱形、矩形、梯形和一次函数结合. 一．题型一：经济问题（共5小题） 1．为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，我市对居民用水采用价格调控手段．如图是某户居民某月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数图象（水费按月结算）． 下列说法正确的有（　　）个． ①每月用水量0≤x≤12时，单价为3.5元/吨； ②当12＜x≤17时，水费y（元）与用水量x之间的关系式为y＝42+4.65x； ③每月用水量x＞17时，若水的单价为8元/吨，则m＝97.25； ④小明家因家庭装修11月的水费共125.25元，若图象中的m＝95.25元，则小明家11月份的用水量为26吨． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　 　 元． 3．在3月14日国际数学日到来之际，某校计划开展趣味数学活动，欲购买华容道板和魔方作为活动道具，A、B两家商店的优惠方案如下表： A商店 B商店 华容道板（标价） 30元/个 30元/个 魔方（标价） 10元/个 10元/个 优惠方案 所有商品9折出售 买2个华容道板送1个魔方 该校将购买华容道板40个，魔方若干（多于20个）． （1）当需要购买30个魔方时，若两种道具全部在B商店购买，则还需单独购买魔方多少个． （2）当购买魔方的数量是多少个时，单独在A商店或者B商店购买所有道具的总费用相同？ （3）假如你是购买道具的负责人，在购买两种活动道具的数量是（1）中的条件下，且可到两家商店自由选购，请你设计一种购买方案，使总费用最少，最少总费用是多少？ 4．元旦期间某游乐场的门票为10元/人，每天的支出费用为2000元．设每天有x人买门票进入该游乐场，每天的收入与支出的差额为y元． （1）请写出y与x之间的表达式，并列表表示当x的值分别为50，100，150，200，300时y的值； （2）请回答每天买门票进入游乐场的人数达到多少时，游乐场才不会亏损？ （3）若游乐场每天的盈利不少于3000元，则每天卖出的门票最少达到多少张？ 5．某体育用品商店售出某品牌的羽毛球拍和乒乓球拍，已知售出1副羽毛球拍和4副乒乓球拍的利润为80元，售出2副羽毛球拍和3副乒乓球拍的利润为85元． （1）售出每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的利润分别是多少元？ （2）该体育用品商店计划一次购进该品牌的羽毛球拍和乒乓球拍共50副，设购进羽毛球拍m（m为正整数，m＜50）副，这50副球拍售出后的总利润为w元． ①求w关于m的函数关系式； ②判断这50副球拍售出后的总利润能否达到900元，并说明理由． 二．题型二：方案问题（共4小题） 6．为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多40元，若购买5套队服与10个足球需花费1400元．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若学校购买100套队服和x（x＞10）个足球，到甲商场和乙商场购买装备所花的费用分别为y1，y2，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并判断当x＝60时，到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 7．为创建“绿色小区”，某物业计划分两次购进甲，乙两种花卉，第一次分别购进甲，乙两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进甲，乙两种花卉12株和5株，共花费265元．两次购进花卉的单价不变． （1）甲，乙两种花卉每株的价格分别是多少元？ （2）若该物业计划再购买甲，乙两种花卉共30株，其中购买甲种花卉m（8≤m≤15，且m为整数）株．购买花卉的总费用为W元，求出W关于m的函数解析式；并求出当m为何值时，购买花卉的总费用最少，最少费用为多少元？ 8．【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐A：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是0.1元； 套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.15元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐A的费用为yA（元），采用套餐B的费用为yB（元），通话时间为x（分钟），并分析得出yA（元）与x（分钟），yB（元）与x（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 （1）请直接写出yA（元）与x（分），yB（元）与x（分）之间的关系式． （2）当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）小刚的父母都选用了套餐B，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 9．某建筑公司现有A，B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如表． （1）设A工地租甲型车x台，租乙型车　 　 台；则B工地租甲型车　 　 台，租乙型车　 　 台（用含x的式子表示）； （2）设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围； （3）在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 甲型车租金 乙型车租金 A工地 800元/台 600元/台 B工地 600元/台 300元/台 三．题型三：工程问题（共4小题） 10．5月12日是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y1（人）与时间x（分钟）满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y2（人）与时间x（分钟）满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y2（人）和时间x（分钟）之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 11．根据全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工，已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 12．如图所示，AB，BO分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量y（t）与所用时间x（天）之间的函数图象，根据图像回答： （1）乙车间开始生产时，甲车间已生产了　 　 t； （2）甲车间每天生产　 　 t，乙车间每天生产　 　 t； （3）从乙车间开始生产到第　 　 天结束时，两车间生产的总产量相同； （4）第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 13．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB，AC． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在日前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用　 　 h； （2）求线段AB，AC对应的函数表达式； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，手机充满电正常使用4小时后，若接下来用快速充电器充电，则需要　 　 小时才能充满． 四．题型四：行程问题（共6小题） 14．张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500km，汽车出发前油箱中有油25L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以100km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．当0＜t＜2时，y（L）与t（h）之间的函数表达式为y＝﹣8t+25 B．途中加油21L C．汽车加油后还可行驶4h D．汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L 15．人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm 16．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 17．甲骑电动车，乙骑自行车从中山公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发地的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）求S甲与x之间的函数关系式． （2）图①中，交点M的实际意义为　 　 （叙述要包含点M的横、纵坐标）． （3）对比图①、图②可知a＝　 　 ，b＝　 　 ． （4）在甲的运动过程中，直接写出甲出发　 　 h时，甲、乙两人路程差为4km． 18．在某校举办的机器人模拟救援赛中，甲、乙两款机器人在550m的直线跑道上运动．他们从跑道的同一端出发，沿直线跑到终点．甲比乙先出发，且速度保持不变，甲出发16秒后乙才出发，行走一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知机器人甲、乙行走的路程y（米）与行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示． （1）m＝　 　 ； （2）求线段BC所在直线的函数表达式； （3）当机器人乙追上甲时，乙行走的时间是多少？ 19．越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为　 　 分钟． 五．题型五：其他问题（共6小题） 20．如图是测量浮力的实验装置：下方是装着水的烧杯，上方用弹簧测力计挂着一个圆柱体铁块，把这个铁块匀速地往下放，直到它完全浸没在水里．已知该圆柱体铁块的重力G为10N，高度为5cm，下降的速度为每秒0.5cm．小刚记录了“从铁块刚好碰到水面，到完全浸没在水里”这段时间内，弹簧测力计的示数F（单位：N）和所用时间t（单位：s）的部分对应数据，如表： t/s 0 2 4 6 8 … F/N 10 9.7 9.4 9.1 8.8 … （1）观察表中数据，推测弹簧测力计示数F（N）与圆柱体铁块浸入水中的时间t（s）之间是否满足一次函数关系，若是，请求出函数解析式，若不是，请说明理由； （2）当圆柱体铁块完全浸没在水里时，求此时弹簧测力计示数F（N）； （3）若弹簧测力计示数不低于9N，求圆柱体铁块没入水中的深度的取值范围． 21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体试验．测得成人服药后3小时，血液中药物浓度达到最高值9微克，毫升，随后血液中的药物浓度开始下降，服药后11小时，血液中药物浓度为1微克/毫升．在药物浓度上升阶段和下降阶段，血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）均满足一次函数关系，如图所示． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 22．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高y（cm）与指距x（cm）满足一次函数y＝kx+b（k≠0），当人的身高为160cm时，指距为20cm；当人的身高为169cm时，指距为21cm． （1）请求出人的身高y（cm）与指距x（cm）满足的函数关系式． （2）篮球运动员姚明的身高为226cm，则据此估计他的指距是多少cm？（结果精确到0.1cm）． 23．在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高x/cm 160 161 162 … 标准体重y/kg 54 54.9 55.8 … （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差5cm，求他们的标准体重相差多少kg？ 24．某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量V1（单位：L）和乙装置的浇水量V2（单位：L），部分数据如表： t/min 0 5 10 20 30 40 50 60 … V1/L 0 m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 … V2/L 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … （1）补全表格，m的值为　 　 （结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画V1与t，V2与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： ①若甲装置比乙装置早启动了15分钟，则甲装置启动　 　 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为　 　 L（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水　 　 L（结果保留小数点后一位）． 25．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v（km/h）是行驶时间t（h）的函数，求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间t（h） 平均速度v/（km/h） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过80km/h，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 六．题型六：创新题型（共4小题） 26．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①v与t之间的关系可以近似地用　 　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用　 　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） 【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度向前匀速直线运动．当t＝10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为　 　 cm． 27．浮箭漏（如图①）由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 … 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 … （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的函数，请结合表格数据，求出该函数表达式； （3）应用上述得到规律计算：如果本次实验供水时间是12h，那么箭尺读数为多少厘米？ 28．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 （1）小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出y与x之间的函数关系式； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为66厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 29．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： t（min） 0 1 2 3 4 观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8 【建立模型】 小组讨论发现：“t＝0，h＝10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务1：利用t＝0，h＝10；t＝1时，h＝9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“t＝0，h＝10”和“t＝2，h＝8.1”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣0.95t；利用“t＝0，h＝10”和“t＝3，h＝6.7”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣1.1t；利用“t＝0，h＝10”和“t＝4，h＝5.8”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣1.05t． 把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如表： t（min） 0 1 2 3 4 观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8 h＝10﹣0.95t 10 9.05 8.1 7.15 6.2 h＝10﹣1.1t 10 8.9 7.8 6.7 5.6 h＝10﹣1.05t 10 8.95 7.9 6.85 5.8 对于h＝10﹣0.95t，计算w＝（10﹣10）2+（9.05﹣9）2+（8.1﹣8.1）2+（7.15﹣6.7）2+（6.2﹣5.8）2＝0.365，同理，h＝10﹣1.1t的w值为0.14，h＝10﹣1.05t的w值为0.065． 任务2：（1）计算任务1得到的函数表达式的w值； （2）写出你认为最优的函数表达式：　 　 ． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系． 七．题型七：一次函数与几何问题（共4小题） 30．若函数与y轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为10，则点M的坐标__________． 31．已知一次函数y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为24，求b的值． 【难度】★★ 32．如图所示，直线l1的解析表达式为y=－3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C （1）求点D的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积 （4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 33．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化?若没有变化，求出点E的坐标；若没有变化，请说明理由．A B C D E 0 x y 34．如图，一次函数与坐标轴交于A、B两点，且点P是坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形．（1）求∠ABO的大小；（2）求出P点的坐标． 1．如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的是　 　 （填序号）． 2．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 　 　 ． 3．已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s（千米）与行走的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 　 　 千米． 4．用一根20米长的铁丝围成一个等腰三角形，设它的底边长为y米，腰长为x米，则y与x之间的函数关系式为 　 　 （写出自变量x的取值范围）． 5．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了　 　 千米． 1．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜90； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．4 B．3 C．2 D．1 3．甲、乙两车沿着相同路线从A地前往B地，两车行驶的路程y（km）与甲车出发后的时间t（h）的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（　　） A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/h C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达B地 4．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而y（千米）行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（　　） ①A、B两地间的距离是400千米； ②甲车行驶2.5小时后到达配货站C； ③乙车的速度为80千米/小时； ④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 5．某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 　 　 ． 6．如图，OA，BA分别表示甲乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中S与t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快 　 　 米． 7．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为　 　 元． 8．某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高　 　 元． 9．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　 　 b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 10．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 11．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于40%．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 12．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是他们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是　 　 ，定义域是　 　 ； （2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，乙车的行驶速度的速度是　 　 ； （3）在（2）的条件下，当甲车出发　 　 小时，甲乙两车相距180千米． 13．利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：m＝﹣2t+96． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示. 任务1 经计算得，当0＜t≤20时，y关于t的函数关系式为　 　 ；则当21≤t≤40时，y关于t的函数关系式为　 　 ． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 14．如图，一次函数与正比例函数的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于，且OA=AB，△OAB的面积为6． （1）求两函数的解析式； （2）若，直线BM与AO交于P，求P点的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由． F 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲一次函数应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 （一次函数应用解析版） 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一次函数应用典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 一次函数实际应用问题 1.一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题． 2.在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式． 3.学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值． 常考题型：经济问题、工程问题、面积计算、方案问题、行程问题 知识点二 一次函数在几何中的应用（综合题） 1.函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． 2.数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 常考题型：平行四边形、菱形、矩形、梯形和一次函数结合. 一．题型一：经济问题（共5小题） 1．为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，我市对居民用水采用价格调控手段．如图是某户居民某月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数图象（水费按月结算）． 下列说法正确的有（　　）个． ①每月用水量0≤x≤12时，单价为3.5元/吨； ②当12＜x≤17时，水费y（元）与用水量x之间的关系式为y＝42+4.65x； ③每月用水量x＞17时，若水的单价为8元/吨，则m＝97.25； ④小明家因家庭装修11月的水费共125.25元，若图象中的m＝95.25元，则小明家11月份的用水量为26吨． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象可以求出0≤x≤12时，单价为3.5元/吨，可以判断①；用待定系数法求出当12＜x≤17时y与x的函数解析式可以判断②；若水的单价为8元/吨时求出x＞17时y与x的函数解析式可以判断③；用待定系数法求出当x＞17时y与x的解析式，再把y＝125.25代入解析式求出x即可判断④． 【解答】解：∵42÷12＝3.5， ∴每月用水量0≤x≤12时，单价为3.5元/吨，故①正确； 当12＜x≤17时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 把（12，42）和（17，65.25）代入解析式得： ， 解得， ∴当12＜x≤17时，设y与x的函数解析式为y＝4.65x﹣13.8，故②错误； 当x＞17时，若水的单价为8元/吨， 则y＝65.25+8（x﹣17）＝8x﹣70.75， ∴当x＝21时，m＝8×21﹣70.75＝97.25，故③正确； 由图象可知，小明家11月份的用水量超过17吨， 设当x＞17时，y与x的解析式为y＝ax+n， 把（17，65.25）和（21，95.25）代入解析式得： ， 解得， ∴当x＞17时，y与x的解析式为y＝7.5x﹣62.25， ∴当y＝125.25时，7.5x﹣62.25＝125.25， 解得x＝25， ∴小明家11月份的用水量为25吨．故④错误． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是掌握待定系数法求出分段函数解析式． 2．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　8　 元． 【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，比较y值大小即可． 【解答】解：设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝10x（0≤x≤2）； 当x≥2时，将（2，20）、（4，36）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝8x+4（x≥2）； 当x＝1时，y＝10x＝10， 当x＝6时，y＝52， 10×6﹣52＝8（元）． 故答案为：8． 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键． 3．在3月14日国际数学日到来之际，某校计划开展趣味数学活动，欲购买华容道板和魔方作为活动道具，A、B两家商店的优惠方案如下表： A商店 B商店 华容道板（标价） 30元/个 30元/个 魔方（标价） 10元/个 10元/个 优惠方案 所有商品9折出售 买2个华容道板送1个魔方 该校将购买华容道板40个，魔方若干（多于20个）． （1）当需要购买30个魔方时，若两种道具全部在B商店购买，则还需单独购买魔方多少个． （2）当购买魔方的数量是多少个时，单独在A商店或者B商店购买所有道具的总费用相同？ （3）假如你是购买道具的负责人，在购买两种活动道具的数量是（1）中的条件下，且可到两家商店自由选购，请你设计一种购买方案，使总费用最少，最少总费用是多少？ 【分析】（1）根据B商店的优惠方案，求出购买40个华容道板时赠送魔方的个数，用30减去赠送的魔方的个数即为还需单独购买的魔方的个数； （2）列代数式表示出A、B商店所需费用，根据两个商店所需总费用相等列方程求解； （3）最佳方案是在B商店购买40个华容道板，获赠20个魔方，在A商店购买剩余10个魔方，根据两个商店的优惠方案计算出所需费用即可． 【解答】解：（1）∵买40个华容道板，B商店买2送1， ∴可获赠魔方40÷2＝20个， ∵需购买30个魔方， ∴还需单独购买30﹣20＝10个； （2）设购买魔方x（x＞20）个， A商店总费用：（40×30+10x）×0.9＝1080+9x， B商店总费用：40×30+10（x﹣40÷2）＝1200+10（x﹣20）＝10x+1000， 解方程：1080+9x＝10x+1000， 解得：x＝80 答：当购买80个魔方时，两商店总费用相同； （3）方案：在B商店购买40个华容道板，获赠20个魔方，在A商店购买剩余10个魔方， 总费用：40×30+10×10×0.9＝1200+90＝1290（元）， 答：最少总费用为1290元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式．解决本题的关键是根据两个商店的优惠方案列代数式表示出在两个商店购买道具所需要的费用，再根据费用之间的关系列方程求解． 4．元旦期间某游乐场的门票为10元/人，每天的支出费用为2000元．设每天有x人买门票进入该游乐场，每天的收入与支出的差额为y元． （1）请写出y与x之间的表达式，并列表表示当x的值分别为50，100，150，200，300时y的值； （2）请回答每天买门票进入游乐场的人数达到多少时，游乐场才不会亏损？ （3）若游乐场每天的盈利不少于3000元，则每天卖出的门票最少达到多少张？ 【分析】（1）读懂题意，按题意列一次函数解析式，画表格． （2）按（1）表格中数据，得到y值大于0时就不会亏损了，相应的x的值就是每天买门票进入游乐场的人应达到的数量； （3）盈利不少于3000元即y≥3000，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）y＝10x﹣2000； x 50 100 150 200 300 y ﹣1500 ﹣1000 ﹣500 0 1000 （2）由（1）可知，每天买门票进入游乐场的人超过200人时，y的值大于0，游乐场才不会亏损． 答：每天买门票进入游乐场的人数达到200时，游乐场才不会亏损； （3）游乐场每天的盈利不少于3000元， 即y≥3000， 即10x﹣2000≥3000， 解得x≥500， ∴每天卖出的门票最少达到500张． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键要掌握一次函数的概念和性质，会列表格表示函数的对应值． 5．某体育用品商店售出某品牌的羽毛球拍和乒乓球拍，已知售出1副羽毛球拍和4副乒乓球拍的利润为80元，售出2副羽毛球拍和3副乒乓球拍的利润为85元． （1）售出每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的利润分别是多少元？ （2）该体育用品商店计划一次购进该品牌的羽毛球拍和乒乓球拍共50副，设购进羽毛球拍m（m为正整数，m＜50）副，这50副球拍售出后的总利润为w元． ①求w关于m的函数关系式； ②判断这50副球拍售出后的总利润能否达到900元，并说明理由． 【分析】（1）设售出每副羽毛球拍的利润是x元，售出每副乒乓球拍的利润是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进羽毛球拍m（m为正整数，m＜50）副，则购进乒乓球拍（50﹣m）副，0＜m＜50，根据（1）中所求利润列函数关系式即可； ②求出当w＝900时m的值，进而判断即可． 【解答】解：（1）设售出每副羽毛球拍的利润是x元，售出每副乒乓球拍的利润是y元， 依题意得：， 解得：， 答：售出每副羽毛球拍的利润是20元，售出每副乒乓球拍的利润是15元； （2）①设购进羽毛球拍m（m为正整数，m＜50）副，则购进乒乓球拍（50﹣m）副， ∵m为正整数，m＜50， ∴0＜m＜50， ∵售出每副羽毛球拍的利润是20元，售出每副乒乓球拍的利润是15元， ∴w＝20m+15（50﹣m）＝20m+750﹣15m＝5m+750； ②当w＝5m+750＝900时， 解：得m＝30， ∵m＝30为正整数，且在0＜m＜50范围内， ∴这50副球拍售出后的总利润能达到900元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程或一次函数解析式． 二．题型二：方案问题（共4小题） 6．为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多40元，若购买5套队服与10个足球需花费1400元．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？ （2）若学校购买100套队服和x（x＞10）个足球，到甲商场和乙商场购买装备所花的费用分别为y1，y2，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并判断当x＝60时，到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【分析】（1）依据题意，设每个足球的价格为x元，由每套队服比每个足球多40元，则每套队服的价格为（x+40）元，从而5（x+40）+10x＝1400，进而计算可以得解； （2）依据题意，由学校购买100套队服，甲商场优惠方案：每购买十套队服，送一个足球，购买队服超过80套，足球打八折．购买100套队服满足优惠条件，从而分别求出y1和y2，然后代入x＝60进行比较即可得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个足球的价格为x元， ∵每套队服比每个足球多40元， ∴每套队服的价格为（x+40）元． ∴5（x+40）+10x＝1400， ∴x＝80， ∴每套队服的价格：80+40＝120（元）． 答：每套队服的价格是120元，每个足球的价格是80元； （2）由题意，∵学校购买100套队服，甲商场优惠方案：每购买十套队服，送一个足球， ∴购买100套队服可赠送足球数量：100÷10＝10个． ∵x＞10， ∴需要额外购买的足球数量为（x﹣10）个， ∴y1＝100×120+80（x﹣10），则y1＝80x+11200（x＞10）； ∵购买队服超过80套，足球打八折．购买100套队服满足优惠条件，足球单价变为：80×0.8＝64元， ∴y2＝100×120+64x＝64x+12000（x＞10）； ∴当x＝60时，比较两家商场费用将x＝60分别代入y1、y2的关系式：y1＝80×60+11200＝16000元，y2＝64×60+12000＝15840元， ∵15840＜16000，即y2＜y1， ∴当x＝60时，到乙商场购买更合算． 答：费用关系式：y1＝80x+11200（x＞10），y2＝64x+12000（x＞10）；当x＝60时，到乙商场购买更合算． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 7．为创建“绿色小区”，某物业计划分两次购进甲，乙两种花卉，第一次分别购进甲，乙两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进甲，乙两种花卉12株和5株，共花费265元．两次购进花卉的单价不变． （1）甲，乙两种花卉每株的价格分别是多少元？ （2）若该物业计划再购买甲，乙两种花卉共30株，其中购买甲种花卉m（8≤m≤15，且m为整数）株．购买花卉的总费用为W元，求出W关于m的函数解析式；并求出当m为何值时，购买花卉的总费用最少，最少费用为多少元？ 【分析】（1）设甲种花卉每株的价格x元，乙种花卉每株的价格y元，根据第一次分别购进甲，乙两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进甲，乙两种花卉12株和5株，共花费265元；两次购进甲，乙两种花卉的单价不变，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种花卉的数量为m株，则购买乙种花卉的数量为（30﹣m）株，结合（1）结论，列出一次函数表达式，再根据一次函数的性质并结合m的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：（1）设甲种花卉每株的价格x元，乙种花卉每株的价格y元， 由题意得：， ∴， 答：甲种花卉每株的价格20元，乙种花卉每株的价格5元； （2）设购买甲种花卉的数量为m株，则购买乙种花卉的数量为（30﹣m）株， 由题意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150， ∵15＞0， ∴W随m的增加而增加， ∵8≤m≤15，且m为整数， ∴当m＝8时，W取得最小值，此时W＝15×8+150＝270， ∴当m为8时，购买花卉的总费用最少，最少费用为270元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据题意，正确列出一次函数表达式． 8．【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐A：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是0.1元； 套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.15元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐A的费用为yA（元），采用套餐B的费用为yB（元），通话时间为x（分钟），并分析得出yA（元）与x（分钟），yB（元）与x（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 （1）请直接写出yA（元）与x（分），yB（元）与x（分）之间的关系式． （2）当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）小刚的父母都选用了套餐B，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【分析】（1）根据题意直接写出yA（元）与x（分），yB（元）与x（分）之间的关系式； （2）令yA＝yB，解方程即可； （3）当x＝300时，y＝45，根据小刚父母的消费情况与45比较即可判断． 【解答】解：（1）根据题意得：yA＝15+0.1x；yB＝0.15x； ∴yA（元）与x（分）之间的关系式为yA＝15+0.1x；yB（元）与x（分）之间的关系式为yB＝0.15x； （2）令yA＝yB，则15+0.1x＝0.15x， 解得x＝300， 答：当通话时间为300分钟时，两种套餐费用相同； （3）当x＝300时，y＝45， 令yA＞yB，则15+0.1x＞0.15x， 解得x＜300； 当x＜300时，y＜45， ∴选择套餐B更省钱； 令yA＜yB，则15+0.1x＜0.15x， 解得x＞300， 当x＞300时，y＞45； ∵小刚母亲每月花费小于45元， ∴选择B套餐更划算； ∵小刚父亲每月花费大于45元， ∴选择B套餐不划算． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式． 9．某建筑公司现有A，B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如表． （1）设A工地租甲型车x台，租乙型车　（12﹣x）　 台；则B工地租甲型车　（10﹣x）　 台，租乙型车　（8+x）　 台（用含x的式子表示）； （2）设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围； （3）在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 甲型车租金 乙型车租金 A工地 800元/台 600元/台 B工地 600元/台 300元/台 【分析】（1）根据A工地需要12台，B工地需要18台，设A工地租甲型车x台，则租乙型车（12﹣x）台，B工地租甲型车（10﹣x）台，租乙型车（8+x）台； （2）根据公司每天的总租金＝A，B两个工地租用甲、乙型车的费用之和列出函数解析式，再根据每个工地租车数≥0，求出自变量的取值范围即可； （3）根据函数的性质求最值，并得出租车方案． 【解答】解：（1）根据题意得：A工地租甲型车x台，租乙型车（12﹣x）台，则B工地租甲型车（10﹣x）台，租乙型车（8+x）台， 故答案为：（12﹣x）；（10﹣x），（8+x）； （2）根据题意得：y＝800x+600（12﹣x）+600（10﹣x）+300（8+x） ＝800x+7200﹣600x+6000﹣600x+2400+300x ＝﹣100x+15600， ∵， ∴0≤x≤10， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣100x+15600（0≤x≤10）； （3）由（2）可知，﹣100＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝10时，y最小，最小值为14600， ∴该公司A工地租甲型车10台，乙型车2台；B工地租乙型车18台每天总租金最少，最少租金是14600元． 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题和一元一次不等式组的应用，根据题意列出函数式以及根据题意列出不等式结合自变量的取值范围确定方案是解题关键． 三．题型三：工程问题（共4小题） 10．5月12日是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y1（人）与时间x（分钟）满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y2（人）与时间x（分钟）满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y2（人）和时间x（分钟）之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【分析】（1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为y人，当0≤x≤5时，则y＝18 x，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设直线的解析式为y＝kx， 将（5，40）代入得，40＝5k，解得k＝8， ∴y＝8x； 当5＜x≤15时，设直线的解析式为y＝ax+b， 将（5，40）和（15，0）代入得，，解得， ∴y＝﹣4x+60； 综上，； （2）设楼梯口的总人数为y人， 当0≤x≤5时，y＝10x+8x＝18x， 令y＞70，则18x＞70， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 11．根据全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工，已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 【分析】（1）根据总费用＝甲工程队的费用+乙工程队的费用求解即可； （2）甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为（10﹣x）千米，根据计划工期10个月列不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为（10﹣x）千米， 根据题意可得，w＝80x+60（10﹣x）＝20x+600（0≤x≤10），∴w与x的函数表达式为w＝20x+600（0≤x≤10）； （2）根据题意可得：10， 解得：x≥6， 由（1）知w＝20x+600， ∴w随着x的增大而增大， ∴当x＝6时，w取得最小值， w最小＝20×6+600＝720， 故甲工程队需改造6千米才能使完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为720万元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，（1）根据总费用＝甲工程队的费用+乙工程队的费用求解是解题的关键，（2）找准等量关系，正确列出不等式是解题的关键． 12．如图所示，AB，BO分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量y（t）与所用时间x（天）之间的函数图象，根据图像回答： （1）乙车间开始生产时，甲车间已生产了　400　 t； （2）甲车间每天生产　10　 t，乙车间每天生产　30　 t； （3）从乙车间开始生产到第　20　 天结束时，两车间生产的总产量相同； （4）第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 【分析】（1）根据函数图象进行求解即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）根据函数图象进行求解即可； （4）先利用待定系数法求解即可，把x＝30代入（4）中所求关系式中进行求解即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知，乙车间开始生产时，甲车间已生产了400t， 故答案为：400； （2）（600﹣400）÷20＝200÷20＝10（t），600÷20＝30（t）， ∴乙车间每天生产30t，甲车间每天生产10t； 故答案为：10，30； （3）由函数图象可知，两车间生产的总产量相同，是乙车间开始生产到第20天结束时， 故答案为：20； （4）设y甲＝kx+b，y乙＝k1x， ∴， 20k1＝600， ∴， k1＝30， ∴y甲＝10x+400，y乙＝30x； 当x＝30时，y甲＝10×30+400＝700，y乙＝30×30＝900， ∴第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是700t，900t． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，求一次函数关系，一次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 13．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB，AC． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在日前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用　4　 h； （2）求线段AB，AC对应的函数表达式； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，手机充满电正常使用4小时后，若接下来用快速充电器充电，则需要　1　 小时才能充满． 【分析】（1）利用快速充电器比普通充电器少用时间＝用普通充电器将其充满电所需时间﹣用快速充电器将其充满电所需时间，即可求出结论； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），根据点A，B的坐标，利用待定系数法，即可求出线段AB对应的函数表达式；设线段AC对应的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），根据点A，C的坐标，利用待定系数法，即可求出线段AC对应的函数表达式； （3）计算出还需电量，结合AB的斜率计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得：6﹣2＝4（h）， ∴快速充电器比普通充电器少用4h． 故答案为：4； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（0，20），B（2，100）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴线段AB对应的函数表达式为y＝40x+20（0≤x≤2）； 设线段AC对应的函数表达式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（0，20），C（6，100）代入y＝mx+n得：， 解得：， ∴线段AC对应的函数表达式为yx+20（0≤x≤6）； （3）该手机正常使用时耗电量为每小时10%，手机充满电正常使用4小时后剩余电量＝100%﹣4×10%＝60%， 还需补充电量＝100%﹣60%＝40%， 快速充电器的充电速度为40%/h， ∴所需时间1h． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 四．题型四：行程问题（共6小题） 14．张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500km，汽车出发前油箱中有油25L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以100km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．当0＜t＜2时，y（L）与t（h）之间的函数表达式为y＝﹣8t+25 B．途中加油21L C．汽车加油后还可行驶4h D．汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L 【分析】根据函数图象中的数据，可以写出当0＜t＜2时，y（L）与t（h）之间的函数表达式，从而可以判断A；根据函数图象中的数据，可以计算出途中加油的升数，从而可以判断B；根据函数图象中的数据，可以计算出汽车加油后还可行驶的时间，从而可以判断C；根据题意和函数图象中的数据，可以计算出汽车到达乙地时油箱中的剩余油量，从而可以判断D． 【解答】解：由图象可得， 当0＜t＜2时，y（L）与t（h）之间的函数表达式为yt+25＝﹣8t+25，故选项A不符合题意； 途中加油30﹣9＝21（L），故选项B不符合题意； 汽车加油后还可行驶：3030÷8＝3.75（小时），故选项C符合题意； 汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为：30﹣（500﹣100×2）÷1006（L），故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 15．人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得y1，y2各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项． 【解答】解：结合图象可知，， 小A比小I早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当x＝15秒时，y2＝0；当x＝17秒时，y2＝30厘米， ∴小I提速前的速度是（厘米/秒）， ∵小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍． ∴小I提速后速度为30厘米/秒， 故选项B正确，不符合题意； ∴提速后小I行走所用时间为：， ∴m＝17+14＝31（秒）， ∴A（31，310）， ∴小A的速度为（厘米/秒）， ∴n45（秒）， 故选项C错误，符合题意； 设OD段对应的函数表达式为y1＝k1x（k1≠0），将点（45，450）代入， 得450＝45k1， 解得k1＝10 ∴y1＝10x， 当0≤x≤15时，小A和小I之间距离最大值为10×15＝150（厘米）； 当15≤x≤17时，设y2＝k2x+b2（k2≠0），将（15，0），（17，30）代入， 得， 解得， ∴此阶段有y2＝15x﹣225， ∴小A和小I之间距离y1﹣y2＝10x﹣（15x﹣225）＝﹣5x+225； 当x＝15时，y1﹣y2取最大值，最大值为﹣75+225＝150（厘米）； 设BC段对应的函数表达式为y2'＝k3x+b3（k3≠0），将（17，30），（31，450）代入， 得， 解得， ∴此阶段有y2'＝30x﹣480； 当17≤x＜31时，小A和小I之间距离y1﹣y2'＝10x﹣（30x﹣480）＝﹣20x+480； 当x＝17时，y1﹣y2取最大值，最大值为﹣20×17+480＝140（厘米）； 当31≤x＜45时，小A和小I之间距离最大值为450﹣310＝140（厘米）； 综上所述，从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150厘米， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． 16．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案． 【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt， 把（5，300）代入可求得k＝60， ∴y甲＝60t， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n， 把（1，0）和（4，300）代入可得，解得， ∴y乙＝100t﹣100， 令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5， 即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，y甲＝60t＝50，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则y甲﹣y乙＝60t﹣（100t﹣100）＝50，解得； 当乙追上甲后，令y乙﹣y甲＝50，100t﹣100﹣60t＝50， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t＝250， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 17．甲骑电动车，乙骑自行车从中山公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发地的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）求S甲与x之间的函数关系式． （2）图①中，交点M的实际意义为　乙出发（或甲出发时，在距中山公m处，甲追上乙　 （叙述要包含点M的横、纵坐标）． （3）对比图①、图②可知a＝　10　 ，b＝　1.5　 ． （4）在甲的运动过程中，直接写出甲出发　h或0.6h．　 h时，甲、乙两人路程差为4km． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）交点M的实际意义是甲追上乙，根据题意和图象中的数据即可求解； （3）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，再分别得到a、b的值； （4）由图象可知甲乙相距4km有三种情况，然后分别计算三种情况下甲出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）设y ＝kx+b， 则， 解得， ∴S甲与x之间的函数关系式为S甲＝25x﹣12.5； （2）设乙出发xh后甲追上乙， 10x＝25（x﹣0.5）， ∴x， 10x， ∴交点M的坐标为（，）， 交点M的实际意义是乙出发（或甲出发时，在距中山公m处，甲追上乙； 故答案为：乙出发（或甲出发时，在距中山公m处，甲追上乙； （3）甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h）， 乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， ∴a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10，1.5； （4）设甲出发th时，则乙行驶的时间为（t+0.5）h， 当0≤t时，即甲出发后到追上乙前， 10（t+0.5）﹣25t＝4， ∴th； 当时，即甲追上乙后到甲到达终点前， 25t﹣10（t+0.5）＝4， ∴th； 当t＞1时，即甲到达终点后， 25﹣10（t+0.5）＝4， ∴x＝2， ∴甲出或0.6h时，甲、乙两人路程差为4km． 故答案为：h或0.6h． 【点评】本题考查一次函数的应用，函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 18．在某校举办的机器人模拟救援赛中，甲、乙两款机器人在550m的直线跑道上运动．他们从跑道的同一端出发，沿直线跑到终点．甲比乙先出发，且速度保持不变，甲出发16秒后乙才出发，行走一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知机器人甲、乙行走的路程y（米）与行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示． （1）m＝　28　 ； （2）求线段BC所在直线的函数表达式； （3）当机器人乙追上甲时，乙行走的时间是多少？ 【分析】（1）求出机器人甲的速度，再用308除以甲的速度即可求出m的值； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据相遇时甲、乙路程相等列出方程，解方程求出x的值，再减去16即可． 【解答】解：（1）机器人甲的速度为550÷50＝11（m/s）， ∴m28， 故答案为：28； （2）设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把（18，50）和（28，550）代入解析式得：， 解得， ∴线段BC所在直线的函数表达式为y＝50x﹣850； （3）设机器人乙在机器人甲出发x秒时追上机器人甲， 则11x＝50x﹣850， 解得x， ∴乙行走的时间是16（s）， ∴当机器人乙追上甲时，乙行走的时间是秒． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 19．越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）b＝　15　 ，m＝　200　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为　17.5或20　 分钟． 【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度＝路程÷时间，即可求出m的值； （2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）1500÷150＝10（分钟）， 10+5＝15（分钟）， （3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）， 即a＝10，b＝15，m＝200， 故答案为：15；200； （2）线段BC所在直线的函数解析式为y＝1500+200（x﹣15）＝200x﹣1500； 线段OD所在的直线的函数解析式为y＝120x， ∴， ∴， ∴3000﹣2250＝750（米）， 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米； （3）根据题意得：|200x﹣1500﹣120x|＝100， 解得：，x2＝20， 故答案为：17.5或20． 【点评】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组． 五．题型五：其他问题（共6小题） 20．如图是测量浮力的实验装置：下方是装着水的烧杯，上方用弹簧测力计挂着一个圆柱体铁块，把这个铁块匀速地往下放，直到它完全浸没在水里．已知该圆柱体铁块的重力G为10N，高度为5cm，下降的速度为每秒0.5cm．小刚记录了“从铁块刚好碰到水面，到完全浸没在水里”这段时间内，弹簧测力计的示数F（单位：N）和所用时间t（单位：s）的部分对应数据，如表： t/s 0 2 4 6 8 … F/N 10 9.7 9.4 9.1 8.8 … （1）观察表中数据，推测弹簧测力计示数F（N）与圆柱体铁块浸入水中的时间t（s）之间是否满足一次函数关系，若是，请求出函数解析式，若不是，请说明理由； （2）当圆柱体铁块完全浸没在水里时，求此时弹簧测力计示数F（N）； （3）若弹簧测力计示数不低于9N，求圆柱体铁块没入水中的深度的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，并验证； （2）先求出当圆柱体铁块完全浸没在水里时的时间t，再把t的值代入（1）中解析式求出F即可； （3）先根据F≥9求出t的取值范围，再求圆柱体铁块没入水中的深度的取值范围． 【解答】解：（1）由表中数据可知，弹簧测力计示数F（N）与圆柱体铁块浸入水中的时间t（s）之间满足一次函数关系， 设F与t之间的函数解析式为F＝kt+b， 把t＝0时F＝10和t＝2时，F＝9.7代入解析式得：， 解得， ∴F＝﹣0.15t+10， 验证：当t＝4时，F＝﹣0.15×4+10＝﹣0.6+10＝9.4； 当t＝6时，F＝﹣0.15×6+10＝﹣0.9+10＝9.1； 当t＝8时，F＝﹣0.15×8+10＝﹣1.2+10＝8.8； ∴F与t之间的函数解析式为F＝﹣0.15t+10； （2）当圆柱体铁块完全浸没在水里时t10， ∴当t＝10时，F＝﹣0.15×10+10＝8.5， ∴当圆柱体铁块完全浸没在水里时，弹簧测力计示数F（N）为8.5N； （3）当F≥9时，即﹣0.15t+10≥9， 解得t， ∴0≤t， 设圆柱体铁块没入水中的深度为hcm， ∵h＝0.5t， ∴0≤h≤0.5， ∴圆柱体铁块没入水中的深度的取值范围为0≤h． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出一次函数解析式． 21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体试验．测得成人服药后3小时，血液中药物浓度达到最高值9微克，毫升，随后血液中的药物浓度开始下降，服药后11小时，血液中药物浓度为1微克/毫升．在药物浓度上升阶段和下降阶段，血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）均满足一次函数关系，如图所示． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）依据由题，令y＝3，结合（1）的解析式，分别求出x的值，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∴9＝3k， ∴k＝3． ∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为y＝3x； 当3＜x≤11时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， ∴， ∴， ∴当3＜x≤11时，y与x的函数关系式为y＝﹣x+12． 综上，血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为y＝3x，下降阶段y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+12． （2）由题意，结合（1），令y＝3， 当y＝3x＝3时，x＝1；当y＝﹣x+12＝3，则x＝9， ∴9﹣1＝8． ∴血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 22．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高y（cm）与指距x（cm）满足一次函数y＝kx+b（k≠0），当人的身高为160cm时，指距为20cm；当人的身高为169cm时，指距为21cm． （1）请求出人的身高y（cm）与指距x（cm）满足的函数关系式． （2）篮球运动员姚明的身高为226cm，则据此估计他的指距是多少cm？（结果精确到0.1cm）． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把y＝226代入解析式求出x即可． 【解答】解：（1）把x＝20，y＝160和x＝21，y＝169代入y＝kx+b， 则， 解得， ∴人的身高y（cm）与指距x（cm）满足的函数关系式为y＝9x﹣20； （2）当y＝226时，9x﹣20＝226， 解得x＝2727.3， ∴估计他的指距是27.3cm． 【点评】本题考查了一次函数的应用，求出一次函数解析式是解题的关键． 23．在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高x/cm 160 161 162 … 标准体重y/kg 54 54.9 55.8 … （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差5cm，求他们的标准体重相差多少kg？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出y和x之间的函数关系式； （2）根据小军和小明的身高相差5cm，设小军的身高为x1cm，则小明的身高为（x1+5）cm，然后根据一次函数表达式分别表示出小军和小明的标准体重，再表示出他们的标准体重差，最后化简即可获解． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）， 由题意可得： ∴ 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝0.9x﹣90； （2）解：不妨设小军的身高为x1cm， ∴小军的标准体重y1＝0.9x1﹣90， 小明的标准体重y2＝0.9（x1+5）﹣90＝0.9x1+4.5﹣90， ∴y2﹣y1＝0.9x1+4.5﹣90﹣（0.9x1﹣90）＝4.5． ∴他们的标准体重相差4.5kg． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 24．某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量V1（单位：L）和乙装置的浇水量V2（单位：L），部分数据如表： t/min 0 5 10 20 30 40 50 60 … V1/L 0 m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 … V2/L 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … （1）补全表格，m的值为　0.5　 （结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画V1与t，V2与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： ①若甲装置比乙装置早启动了15分钟，则甲装置启动　19或55　 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为　1.9或5.5　 L（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水　0.5　 L（结果保留小数点后一位）． 【分析】（1）根据当t＝10时，V1＝1.0，当t＝20时，V2＝2.0，V1与t是正比例函数，求出解析式即可； （2）根据画函数图象方法步骤即可； （3）①根据题意将V1图象向上平移1.5个单位，然后观察图象即可； ②观察图象即可． 【解答】解：（1）∵当t＝10时，V1＝1.0，当t＝20时，V2＝2.0， ∴V1与t是正比例函数， 设V1＝kt， ∴1.0＝10k，解得：k＝0.1， ∴V1＝0.1t， 当t＝5时，V1＝0.1×5＝0.5， 故答案为：0.5； （2）如图， （3）①∵甲装置比乙装置早启动了15min，如图， 根据图象可知，甲装置启动19或55min时，两台装置的浇水量相同，约为1.9或5.5L， 故答案为：19或55，1.9或5.5， ②在①的条件下，根据图象可知，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水0.5L． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v（km/h）是行驶时间t（h）的函数，求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间t（h） 平均速度v/（km/h） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过80km/h，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【分析】（1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）将50分钟换算成小时并代入v与t之间的函数关系式，求出对应v的值即可； （3）将v与t之间的函数关系式代入v≤80，列关于t的一元一次不等式并求解即可． 【解答】解：（1）根据表格中变量的变化规律可知： vt＝30， ∴v与t之间的函数表达式为v． （2）当时，v36． 故小汽车的平均速度是36km/h． （3）根据题意得， 解得t， 小时＝22.5分钟．故行驶时间应不少于22.5分钟． 【点评】本题考查反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意写出v与t之间的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 六．题型六：创新题型（共4小题） 26．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①v与t之间的关系可以近似地用　一次　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用　二次　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） 【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度向前匀速直线运动．当t＝10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为　65　 cm． 【分析】【猜想】利用描点法解答即可； 【检验】利用待定系数法解答即可； 【应用】根据追及关系列关系式，结合t＝10，从而计算可以得解． 【解答】解：【猜想】， ①观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征； ②y与t的关系结合图象判断为二次函数． 故答案为：①一次；②二次； 【检验】求v与t的函数关系式： 设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入， 可得，解得，所以v＝﹣0.5t+12， 验证：当t＝8时，v＝﹣0.5×8+12＝8，与表格数据一致； 求y与t的函数关系式： 设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入， ∴， ∴， ∴y＝﹣0.25t2+12t， 验证：当t＝12时，y＝﹣0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致； 【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车， 此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离）， 由y＝﹣0.25t2+12t， 可得﹣0.25t2+12t＝s+3t， 整理得s＝﹣0.25t2+9t， ∴当t＝10时，s＝﹣0.25×102+9×10＝65（cm）． ∴A，B两点间的距离为65cm． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 27．浮箭漏（如图①）由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 … 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 … （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的函数，请结合表格数据，求出该函数表达式； （3）应用上述得到规律计算：如果本次实验供水时间是12h，那么箭尺读数为多少厘米？ 【分析】（1）由表格描点，连线即可； （2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式； （3）求出x＝12时y的值，然后计算即可． 【解答】解：（1）描点，并连线，如图： （2）由（1）中图象知，该函数是一次函数， 设解析式为y＝kx+b（k≠0）， 当x＝0，y＝6，x＝2，y＝18， 则有， 解得， ∴一次函数解析式为y＝6x+6， 当y＝120时，x＝19， 函数解析式为y＝6x+6（0≤x≤19）． （3）当x＝12时，即y＝6×12+6＝78， 答：供水时间是12h，那么箭尺读数为78厘米． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． 28．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 （1）小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出y与x之间的函数关系式； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为66厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出x值即可求解． 【解答】解：（1）小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，则函数为一次函数， 设y与x之间的函数关系式y＝kx+b， 由题意可得：， 解得， ∴y＝6x+6． （2）当y＝66时，66＝6x+6， ∴x＝10， 则8+10＝18， ∴下午6点． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． 29．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： t（min） 0 1 2 3 4 观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8 【建立模型】 小组讨论发现：“t＝0，h＝10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务1：利用t＝0，h＝10；t＝1时，h＝9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“t＝0，h＝10”和“t＝2，h＝8.1”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣0.95t；利用“t＝0，h＝10”和“t＝3，h＝6.7”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣1.1t；利用“t＝0，h＝10”和“t＝4，h＝5.8”这两组数据得到函数表达式为：h＝10﹣1.05t． 把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如表： t（min） 0 1 2 3 4 观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8 h＝10﹣0.95t 10 9.05 8.1 7.15 6.2 h＝10﹣1.1t 10 8.9 7.8 6.7 5.6 h＝10﹣1.05t 10 8.95 7.9 6.85 5.8 对于h＝10﹣0.95t，计算w＝（10﹣10）2+（9.05﹣9）2+（8.1﹣8.1）2+（7.15﹣6.7）2+（6.2﹣5.8）2＝0.365，同理，h＝10﹣1.1t的w值为0.14，h＝10﹣1.05t的w值为0.065． 任务2：（1）计算任务1得到的函数表达式的w值； （2）写出你认为最优的函数表达式：h＝10﹣1.05t ． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系． 【分析】任务1：用待定系数法求出一次函数表达式； 任务2：（1）利用方差计算公式求出h＝﹣t+10对应的w值； （2）通过比较方差确定最优函数表达式； 任务3：根据函数表达式可知，水面变化105cm时间变化1min． 【解答】解：任务1：设一次函数解析式是h＝kt+b（k≠0）， ∵t＝0，h＝10，t＝1时，h＝9， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式是h＝﹣t+10； 任务2：（1）当t＝0时，h＝﹣t+10＝10， 当t＝1时，h＝﹣t+10＝9， 当t＝2时，h＝﹣t+10＝8， 当t＝3时，h＝﹣t+10＝7， 当t＝4时，h＝﹣t+10＝6， ∴w＝（10﹣10）2+（9﹣9）2+（8﹣8.1）2+（7﹣6.7）2+（6﹣5.8）2＝0.14， （2）由题意可知：对于h＝10﹣0.95t， w＝（10﹣10）2+（9.05﹣9）2+（8.1﹣8.1）2+（7.15﹣6.7）2+（6.2﹣5.8）2＝0.365． h＝10﹣1.1t的w值为0.14， h＝10﹣1.05t的w值为0.065， 其中h＝10﹣1.05t对应的w值最小为0.065， 即h＝10﹣1.05t的偏差最小， ∴h＝10﹣1.05t为最优函数表达式； 故答案为：h＝10﹣1.05t 任务3：∵h＝10﹣1.05t为最优函数表达式， ∴水面变化1.05cm时间变化1min． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、方差的计算，解决本题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式，根据方差判断最优函数表达式． 七．题型七：一次函数与几何问题（共4小题） 30．若函数与y轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为10，则点M的坐标__________． 【答案】（5，-9）或（-5，1）． 【解析】以为△AOM底，可求得高为5，即点的横坐标为±5，代入解析式得点M的坐标 为（5，-9）或（-5，1）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解． 31．已知一次函数y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为24，求b的值． 【答案】±． 【解析】一次函数图像与轴的交点坐标为（，0），与轴的交点坐标为（0，），那么三角形的面积，解得：=±． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解． 32．如图所示，直线l1的解析表达式为y=－3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C （1）求点D的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积 （4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出 点P的坐标． 【答案】（1）（1，0）；（2）；（3）；（4）P（6，3）． 【解析】（1）令y=－3x+3=0，解得：； （2）通过（4，0）、（3，），可求； （3）（2，-3），． （4）令=3，解得：，所以P（6，3）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意面积的准确求解． 33．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化?若没有变化，求出点E的坐标；若没有变化，请说明理由． 【答案】（1）全等；（2）不变， （0，）． 【解析】（1）在△和△中，，所以△≌△（SAS）；A B C D E 0 x y （2）∵△≌△，∠BAD=∠BOC=60°， 又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°， ∴Rt△中，=2，∴=， ∴点的位置不会发生变化，∴（0，）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用． 34．如图，一次函数与坐标轴交于A、B两点，且点P是坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形．（1）求∠ABO的大小；（2）求出P点的坐标． 【答案】（1）60°；（2）（-，0）、 （3，0）、（0，-3）、（0，3+2）、 （0，3-2）、（0，1）． 【解析】（1）由，可得：（0，3）、（，0），所以=3，=， 所以=2，所以30°，60°； （2）当时，（-，0）、 （3，0）、（0，-3）； 当时，（0，3+2）、（0，3-2）； 当时，（0，1）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意等腰的分类讨论． 1．如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的是　①③④　 （填序号）． 【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 乙晚出发1小时，故①正确； 乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误； 甲的速度是12÷3＝4千米/小时，故③正确； 乙先到达B地，故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 y＝﹣50x+27500　 ． 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【解答】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：y＝500x+550（50﹣x）＝﹣50x+27500， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+27500． 故答案为：y＝﹣50x+27500． 【点评】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s（千米）与行走的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 　　 千米． 【分析】根据图分别求出甲乙两人行走时的路程与时间的关系一次函数，设s＝kt+b，甲走的是C路线，乙走的是D路线，C、D线均过（2，4）点，且分别过（0，0），（0，3），很容易求得，要求他们三小时后的距离即是求当t＝3时，sC与sD的差． 【解答】解：由题，图可知甲走的是C路线，乙走的是D路线， 设s＝kt+b①， 因为C过（0，0），（2，4）点， 所以代入①得：k＝2，b＝0， 所以sC＝2t． 因为D过（2，4），（0，3）点， 代入①中得：k，b＝3， 所以sDt+3， 当t＝3时，sC﹣sD＝6． 故答案为： 【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，中档题很常见的题型． 4．用一根20米长的铁丝围成一个等腰三角形，设它的底边长为y米，腰长为x米，则y与x之间的函数关系式为 y＝20﹣2x（5＜x＜10）　 （写出自变量x的取值范围）． 【分析】根据题意可以写出y与x的函数关系式，再根据三角形三边关系，可以得到相应的不等式组，然后求解即可． 【解答】解：由题意可得， y＝20﹣2x， ∵， 解得5＜x＜10， 故答案为：y＝20﹣2x（5＜x＜10）． 【点评】本题考查一次函数的应用、等腰三角形、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 5．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了　500　 千米． 【分析】根据题意，可以得到某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）函数关系式，然后将y＝90代入函数解析式，求得相应的x的值，即可解答本题． 【解答】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）函数关系式是y＝kx+b， ，得， 即某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）函数关系式是y＝﹣0.12x+150， 当y＝90时，90＝﹣0.12x+150，得x＝500， 故答案为：500． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 1．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据蜡烛剩余的长度＝总长度﹣燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象． 【解答】解：由题意，得 y＝30﹣5t， ∵y≥0，t≥0， ∴30﹣5t≥0， ∴t≤6， ∴0≤t≤6， ∴y＝30﹣5t是降函数且图象是一条线段． 故选：B． 【点评】本题考查了蜡烛剩余的长度＝总长度﹣燃烧的长度关系的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键． 2．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（　　） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜90； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可； ②求出甲的速度，从而求出相遇时间，再根据乙离开起点的路程＝乙的速度×相遇时间计算即可； ③分别计算乙到达终点前、后，两人相距32米时对应的时间，从而得到甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围即可； ④根据开始计时甲离终点的距离﹣甲的速度×乙到达终点的时间列式计算即可． 【解答】解：乙的速度为400÷80＝5（米/秒）， ∴①正确； 甲的速度为12÷3＝4（米/秒）， 则乙出发后12÷（5﹣4）＝12（秒）相遇，此时乙离开起点的路程为5×12＝60（米）， ∴②不正确； 当乙到达终点前，两人相距32米时，得（5﹣4）（x﹣12）＝32， 解得x＝44， 当乙到达终点后，两人相距32米时，得400﹣12﹣4x＝32， 解得x＝89， ∴甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89， ∴③不正确； 乙到达终点时，甲距离终点还有400﹣12﹣4×80＝68（米）， ∴④正确． 综上，正确的个数是2． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 3．甲、乙两车沿着相同路线从A地前往B地，两车行驶的路程y（km）与甲车出发后的时间t（h）的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（　　） A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/h C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达B地 【分析】AB．分别根据速度＝路程÷时间计算即可； C．设在甲车出发x小时后两车相遇，利用路程＝速度×时间，根据两车相遇时各自的路程相等列关于x的一元一次方程并求解即可； D．观察图象判断即可． 【解答】解：甲车的平均速度为300÷5＝60（km/h）， ∴A正确，不符合题意； 乙车的平均速度为300÷（4﹣1）＝100（km/h）， ∴B正确，不符合题意； 设在甲车出发x小时后两车相遇， 则60x＝100（x﹣1）， 解得x＝2.5， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇， ∴C错误，符合题意； 乙比甲车先到达B地， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 4．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而y（千米）行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（　　） ①A、B两地间的距离是400千米； ②甲车行驶2.5小时后到达配货站C； ③乙车的速度为80千米/小时； ④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【分析】依据题意，由图象可知，x＝0时y＝400，由题意知，当x＝2时，甲车到达C地，当x在2﹣2.5时，乙车单独开往B地，然后进行求解即可判断①②③；依据题意，分甲乙在C地相遇之前与之后两种情况求解，进而可以判断④． 【解答】解：由题意，由图象可知，x＝0时y＝400，由题意知，当x＝2时，甲车到达C地，当x在2﹣2.5时，乙车单独开往B地， ∴A、B两地间的距离是400千米，乙车的速度为80（千米/时），故①正确，③正确． 由题意，甲车出发2小时至配货站C，故②正确． 设直线AC为y＝kx+b， 将（2，40）、（0，400）代入，得， ∴． ∴y＝﹣180x+400（0≤x≤2）． ∴在C地相遇之前，将y＝220代入y＝﹣180x+400得，220＝﹣180x+400，解得x＝1， ∴x＝1时，两车相距220千米， 在C地相遇之后， ∵1﹣0.5＝0.5，2.5+0.5＝3， ∴x＝3时，甲车从C地出发开往B地，甲乙相距40千米， ∵5， ∴当甲乙再次相距400千米时，x＝5， 甲车从C地出发开往B地的过程中，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（3，40）、（5，400）代入，得，解得， ∴y＝180x﹣500（3≤x≤5）． ∴将y＝220代入y＝180x﹣500得，220＝180x﹣500，解得x＝4， ∴x＝4时，两车相距220千米， 综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米，故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息． 5．某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 y＝2.4x+6.8　 ． 【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的付费得出． 【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8． 故答案为：y＝2.4x+6.8． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过3千米的付费． 6．如图，OA，BA分别表示甲乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中S与t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快 　1.5　 米． 【分析】根据图形分别求得二人的速度，相减后即可确定正确的选项． 【解答】解：观察图象知：甲跑64米用时8秒，速度为8m/s， 乙行驶52米用时8秒，速度为6.5m/s， 速度差为8﹣6.5＝1.5m/s， 故答案为1.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 7．某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为　30.8　 元． 【分析】设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，根据题意列出方程组，利用待定系数法求得解析式，然后把x＝10代入即可求得． 【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价， 设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2.4x+6.8， ∴出租车行驶了10千米则y＝2.4×10+6.8＝30.8（元）， 故答案为30.8． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会待定系数法确定函数解析式，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型， 8．某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高　8　 元． 【分析】设yA＝kAx，yB＝kBx+20，求得x＝500时，kB﹣kA，然后x＝300求得结果． 【解答】解：设yA＝kAx，yB＝kBx+20， 当x＝500时，yA＝yB，即500kA＝500kB+20， ∴kB﹣kA， 当x＝300时，yB﹣yA＝300kB+20﹣300kA＝300（kB﹣kA）+20＝8， ∴如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高8元， 故答案为：8． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确的识别图象是解题的关键． 9．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　10　 b＝　15　 ，m＝　200　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度＝路程÷时间，即可求出m的值； （2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 【解答】解：（1）1500÷150＝10（分钟）， 10+5＝15（分钟）， （3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）． 故答案为：10；15；200． （2）BC段关系式为：y1＝200x﹣1500， OD段关系式为：y2＝120x， 相遇时，即y1＝y2，即120x＝200x﹣1500 解得：x＝18.75 此时：y1＝y2＝2250 距离图书馆：3000﹣2250＝750（米） 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）当y1﹣y2＝100时，解得x＝20 当y2﹣y1＝100时，解得x＝17.5 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米． 【点评】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式；（3）结合（2）找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程 10．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）根据函数图象中的数据，可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值，然后再说明a的实际意义即可； （3）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b， ， 解得， 即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）由图象可得， 甲的工作效率为120÷3＝40（个/时）， a＝120+40×（8﹣4）＝280， 即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件； （3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480， 解得c＝7， 即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于40%．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋（800﹣x）双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【解答】解：（1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋（800﹣x）双，根据题意得： y＝250x+300（800﹣x）＝﹣50x+240000， 由题意可得：x≥800×40%， 即x≥320， ∴y＝﹣50x+240000（320≤x≤800）， （2）∵y＝﹣50x+240000（320≤x≤800）中，﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝320时，获得利润最大，且最大值为： y＝﹣50×320+240000＝224000（元）， 800﹣320＝480（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． 12．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是他们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是y＝﹣90x+900　 ，定义域是　5≤x≤10　 ； （2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，乙车的行驶速度的速度是　60　 ； （3）在（2）的条件下，当甲车出发　或或　 小时，甲乙两车相距180千米． 【分析】（1）设出一次函数解析式，代入图象上的两个点（5，450），（10，0），即可解答； （2）把x＝6代入（1）中的函数解析式，求得路程（甲、乙距A城的距离），进一步求得速度即可解答； （3）分三种情况讨论：①在甲车到达B城前，②在甲车从B城返回时，③甲车到达B城后停留1小时过程中，分别求解即可． 【解答】解：（1）设甲车返回过程中y与x之间的函数解析式y＝kx+b， 由条件可得， 解得， ∴y＝﹣90x+900，函数的定义域为5≤x≤10； 故答案为：y＝﹣90x+900；5≤x≤10； （2）当x＝6时，y＝﹣90×6+900＝360， 乙车的行驶速度（千米/小时）； 故答案为：60； （3）分三种情况讨论： ①在甲车到达B城前，设甲车出发t小时，即0＜t≤4时，甲乙两车相距180千米，此时甲车速度为450÷4＝112.5（千米/小时），乙车速度为60千米/小时， 则112.5t﹣60t＝180， 解得：小时； ②在甲车从B城返回时，设甲车出发t小时，即5＜t≤10时，甲乙两车相距180千米，乙车行驶的路程为60t千米，甲车离A城的路程为﹣90t+900千米， 则|﹣90t+900﹣60t|＝180， 解得：（不合题意，舍去）或小时， ③甲车到达B城后停留1小时过程中，设甲车出发t小时，即 4＜t≤5时，甲乙两车相距180千米，乙车行驶的路程为60t千米， 则450﹣60t＝180， 解得：小时， 综上，当甲车出发小时或小时或小时，甲乙两车相距180千米． 故答案为：或或． 【点评】此题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求函数解析式，以及基本数量关系：路程÷时间＝速度，解答时注意数形结合． 13．利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：m＝﹣2t+96． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示. 任务1 经计算得，当0＜t≤20时，y关于t的函数关系式为　　 ；则当21≤t≤40时，y关于t的函数关系式为　　 ． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【分析】任务1：分别利用待定系数法求解即可； 任务2：分别令，，解方程即可； 任务3：设前20天的销售利润为P1元，后20天的销售利润为P2元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质分别求出最大值即可． 【解答】解：任务1：当0＜t≤20时，设y关于t的函数关系式为y＝kt+b，由题意可得： ， 解得：， ∴； 当20＜t≤40时，设y＝mt+n，由题意可得： ， 解得：， ∴； 故答案为：，； 任务2：①当0＜t≤20时，令， 解得：t＝4， ②当20＜t≤40时，令， 解得：t＝28， ∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元； 任务3：设前20天的销售利润为P1元，后20天的销售利润为P2元， ①由题意得：， ∴当t＝18时，P1取最大值450， 即当0＜t≤20时，第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578元； ②， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为t＝42， ∴当20＜t≤40时，P2随t的增大而减小， ∴当t＝21时，P2取最大值405， 即当20＜t≤40时，第21天的日销售利润最大，最大日销售利润是405元； 综上，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，关键是能够根据题意分两种情况列出函数关系式． 14．如图，一次函数与正比例函数的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于，且OA=AB，△OAB的面积为6． （1）求两函数的解析式； （2）若，直线BM与AO交于P，求P点的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】（1）正比例函数，一次函数；（2）（3，2）； （3）（1，0）或（11，0）． 【解析】（1）过作⊥y轴，可求得=3，，F 所以（-3，-2），所以正比例函数解析式为， 由（-3，-2）、， 可求得一次函数解析式为； （2）由、， 可求得直线的解析式为． 令=，解得：，所以（3，2）； （3）过点A作AF⊥x轴于点F，则， 设，当，解得：； 当，解得：， 综上，E点的坐标为（1，0）或（11，0）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意对面积的分类讨论． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $