专题 1.14 整式的乘法常考知识点与题型分类专题（7大考点17大题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.14 整式的乘法常考知识点与题型分类专题（7大考点17大题型） 目录 基础篇（夯实法则 + 基础计算） 2 【考点一】幂的运算 2 ★★题型 1：幂的运算法则辨析 2 ★★题型 2：幂的运算综合 3 ★★题型 3：幂的运算逆用 6 【考点二】整式的乘法 9 ★★题型 4：单项式乘以单项式（与幂的运算综合） 9 ★★题型 5：单项式乘以多项式 10 ★★题型 6：多项式乘以多项式 12 【考点三】乘法公式 14 ★★题型 7：乘法公式的辨析 14 ★★题型 8：利用乘法公式综合运算 16 【考点四】整式的除法 19 ★★题型 9：整式的乘除法运算辨析 19 ★★题型 10：整式的除法运算化简求值 21 培优篇（综合应用 + 拓展提升） 24 【考点五】幂的运算与逆运算 24 ★★题型 11：幂的运算化简求值 24 ★★★题型 12：幂的运算的逆运算 27 【考点六】整式的乘法 29 ★★题型 13：整式乘法运算化简求值 29 ★★★题型 14：整式乘法运算与几何面积问题 31 ★★★题型 15：整式乘法运算规律问题综合 35 【考点七】乘法公式 38 ★★★题型 16：乘法公式综合运算化简求值 38 ★★★题型 17：乘法公式与几何问题 42 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 基础篇（夯实法则 + 基础计算） 【考点一】幂的运算 ★★题型 1：幂的运算法则辨析 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，根据相关运算法则逐项计算，进而可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，整式的加法，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、 ，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算及幂的相关运算． 通过逐项计算验证即可． 【详解】解：对于A：∵ ，∴ ，错误，不符合题意； 对于B：∵ ，错误，不符合题意； 对于C：∵ 和 不是同类项，不能合并为 ，错误，不符合题意； 对于D：∵ ，又∵ ，∴ ，正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误； 故选：C． ★★题型 2：幂的运算综合 1．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、幂积的乘方、同底数幂的乘除等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可； （2）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)9 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方以及负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握这些法则，并能够灵活运用． （1）先进行乘方运算确定符号，再进行同底数幂的乘法，最后合并同类项． （2）分别计算各项(负指数、零指数、乘方)，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ★★题型 3：幂的运算逆用 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；将1.5化为分数，并利用积的乘方逆用法则化简即可. 【详解】解：原式 . 故选：B. 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用． 逆用同底数幂的除法得到，逆用幂的乘方得到，进而将代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 【考点二】整式的乘法 ★★题型 4：单项式乘以单项式（与幂的运算综合） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求解． （1）解： ； （2）解： ． ★★题型 5：单项式乘以多项式 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 解：原式 当时，原式． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ★★题型 6：多项式乘以多项式 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用多项式乘多项式的法则即可解答； （2）先提取第二个多项式中的负号，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，最后去括号即可解答； （3）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可解答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． （1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 4．（25-26八年级上·西藏林芝·期末）若，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及整体代入法．先将展开，再利用已知条件整体代入，即可求解的值． 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点三】乘法公式 ★★题型 7：乘法公式的辨析 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法和平方差公式． 逐一计算后判断即可． 解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·天津北辰·月考）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 平方差公式要求两个因式分别为和与差的形式，且项相同，选项B可化为完全平方式，不能运用平方差公式，即可解答． 解：平方差公式为， 选项A∶，符合公式； 选项B∶，为完全平方式，不符合公式； 选项C∶，符合公式； 选项D∶，符合公式； 故选B． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 4．（25-26八年级上·天津·月考）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式． 根据完全平方公式和平方差公式的运算法则逐一计算后判断即可． 解：A．，原计算错误； B．，原计算正确； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：B． ★★题型 8：利用乘法公式综合运算 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 解： 当，时， 原式 ． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧．淇淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由． 【答案】淇淇的说法正确，解答过程见解析. 【分析】先判断淇淇的说法正确，利用平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并，最后把代入计算即可． 淇淇的说法正确，解答过程如下： ． 当时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟记两个公式并灵活应用是解本题的关键． 4．（25-26八年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式              第一步                    第二步                      第三步                                 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 【答案】任务一：①，，②三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；任务二： 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握是解题的关键． 任务一：①第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； ②第三步去括号时出现错误； 任务二：正确去括号，合并同类项即可得出答案． 解：任务一：①第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为， 故答案为：； ②第三步开始出现错误，出现错误的原因括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 任务二： 解：原式 ， 故答案为：． 【考点四】整式的除法 ★★题型 9：整式的乘除法运算辨析 1．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误． 解： A选项：∵ ，满足题意要求； B选项：∵ ，不满足题意要求； C选项： ∵ ，不满足题意要求； D选项： ∵ ，不满足题意要求； 故选A． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式的计算，根据单项式除以单项式、积的乘方，多项式除以单项式法则分别计算即可判断． 解：A.，故原选项错误； B.，故原选项错误； C.，故原选项正确； D.，故原选项错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 4．（23-24七年级下·福建漳州·月考）下列运算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，逐项判断即可． 解：A．，原式计算正确，故该选项不符合题意； B．，原式计算错误，故该选项符合题意； C．，原式计算正确，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项不符合题意； 故选：B． ★★题型 10：整式的除法运算化简求值 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；0 【分析】本题考查了整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，正确计算是解题的关键． 先根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并同类项，最后算除法运算，并代值求解即可． 解：原式 ， 当，时， ． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算积的乘方，然后计算同底数幂相乘，单项式除以单项式，最后合并即可； （）首先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项法则进行化简，最后算多项式除以单项式即可． （1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式，多项式除以单项式进行化简整理，即可得， （2）因为，故，整理得，然后化简，代入数值计算，即可作答． （1）解： ； （2）解：由（1）得，， ， ， 化简得：； ∴， ． 4．（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘单项式，找出规律，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解题的关键． （1）通过观察规律，即可补全等式； （2）根据（1）的规律可知，第个单项式为，由此可确定第个单项式和第个单项式，然后代入进行计算即可． 解：（1）通过观察可以发现，任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式，计算的结果为定值， 故． （2）由（1）可知，第个单项式为， ，， ． 培优篇（综合应用 + 拓展提升） 【考点五】幂的运算与逆运算 ★★题型 11：幂的运算化简求值 1．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 解：原式 ． 当时，原式=． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 4．（25-26八年级上·四川眉山·月考）计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． （1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知（x，y是正整数），则 ． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂相乘，求代数式的值，由方程可得，并将转化为，从而简化表达式为，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：64． ★★★题型 12：幂的运算的逆运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． ， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． （1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 【考点六】整式的乘法 ★★题型 13：整式乘法运算化简求值 1．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答． （2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：； 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：． 故答案为：，，； （2）解： 当，时，原式． 3．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）（1）化简：； （2）设，是否存在实数，使得（1）中代数式能化简为？若能，请求出满足条件的的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能； 【分析】（1）根据多项式的混合运算法则化简即可； （2）直接将代入（1）中的化简结果，分析即可． 【详解】解：（1）原式＝ ＝； （2）∵， ∴， ∵代数式能化简为， ∴， 解得：， ∴（1）中代数式能化简为，满足条件的的值为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． ★★★题型 14：整式乘法运算与几何面积问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算以及一元一次方程的运用，根据题意正确列出等式是解答本题的关键． 设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：A． 2．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米；平方米． 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用． （1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可； （2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为平方米； （2）解： 平方米； 当时，原式（平方米）． 3．（25-26七年级上·全国·期中）计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)80 【分析】此题考查整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）大长方形面积减去小长方形面积即可； （2）将与的值代入即可求出值． 【详解】（1）解： ， 即阴影部分面积为：； （2）解：当时， 阴影部分面积为： ． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． 【答案】(1)； (2)图3的面积等于图4的面积的一半．理由见解析 (3)图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板的认识，面积的计算，根据题意得到正方形的边长是解题的关键． （1）根据题意可知，，，然后根据三角形和梯形的面积公式计算即可； （2）由（1）可知，，从而得到，然后利用三角形和平行四边形的面积公式，分别计算图形3和图形4的面积，即可得出结论； （3）根据七巧板的性质画出合适的图形即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴三角形的面积； 如图， 由题意可知，，， ∴， ∴图5、6所组成梯形面积； 故答案为：；． （2）解：图3的面积等于图4的面积的一半．理由如下， 由（1）可知，， ∴， ∴图3的面积， 图4的面积， ∴图3的面积等于图4的面积的一半． （3）解：如下图为所求， 这是一个“爱心”的形状，用简单的形状组合出了让人感到温暖的图形． ★★★题型 15：整式乘法运算规律问题综合 1．（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算： ． 【答案】1023 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据给定的等式规律得出，从而可得，本题中 ，，代入公式计算，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：根据给定的等式规律，， ∴， ∴， 故答案为：1023． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 根据，，，等的规律，可判断出的展开式，由此得出答案． 【详解】解：通过观察已给出的表达式， 可推出每下一阶的系数为它上方两个数之和， 故时，其系数为1，5，10，10，5，1， 时，其系数为1，6，15，20，15，6，1， 故， 故的系数为， 故选D． 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】(1)图见解析；验证见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示： ∵， 故也满足上述规律． （2）解：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 【考点七】乘法公式 ★★★题型 16：乘法公式综合运算化简求值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 【答案】(1)，9 (2)，59 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，代入数据进行求值即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项；将按照多项式乘以多项式展开，合并，根据结果中不含的二次项和一次项，求得和的值，从而问题可解． 【详解】（1）解：原式． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． ． ∵的结果中不含x的二次项和一次项， ∴，， 解得，． 当，时， 原式 ． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式乘法法则，合并同类项，完全平方公式的应用，幂的运算法则及方程的求解． （1）先将式子展开计算，再根据积中不含x和项求出m、n的值，最后代入式子求值； （2）先将式子化简，再将（1）中的m、n值代入求得． 【详解】（1）解：， 由积中不含x和项，得，， 解得：，， ∴原式． （2）解：原式 ， 由（1）知，， ∴原式． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 【详解】（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 【答案】（1）①和③；正确的解答过程见解析（2）（3）8 【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式和合并同类项法则找出错误的步骤，然后写出正确的解答过程即可； （2）直接利用整式的混合运算法则化简，进而利用整体代入计算得出答案； （3）先根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算求出，然后根据得到关于，的代数式；接着通过幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行化简，整体代入即可求解． 【详解】解：（1）①和③ 正确的解答过程如下： ． （2）∵， ∴， ∴． （3） ． ∵， ∴ 即， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． ★★★题型 17：乘法公式与几何问题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 根据题意，面积之差为117，即，结合，即，DG的长度恰为，根据平方差公式即可求出的值． 【详解】解：∵两正方形面积之差为117， ∴， ∵， ∴， ∵，将上述数值代入计算， 解出， 则的长度为， 故选C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或者 (2)25 (3) 【分析】（1）方法一：阴影部分是边长为的正方形，可直接用正方形面积公式表示； 方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，大正方形边长为，小长方形面积为． （2）利用（1）中得到的完全平方公式变形，代入已知条件计算； （3）设，，利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解：方法一： 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：． 方法二： 大正方形边长为，面积为， 四个小长方形总面积为， 因此阴影部分面积为：． 综上，阴影部分面积可表示为或者． （2）解：由（1），得． 代入，， 原式 ． （3）解：设，，则 已知，由完全平方公式：代入， ． ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景与代数变形，解题关键是通过几何图形面积的不同表示方法推导出完全平方公式的变形形式，并能灵活运用整体代入思想进行计算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.14 整式的乘法常考知识点与题型分类专题（7大考点17大题型） 目录 基础篇（夯实法则 + 基础计算） 2 【考点一】幂的运算 2 ★★题型 1：幂的运算法则辨析 2 ★★题型 2：幂的运算综合 3 ★★题型 3：幂的运算逆用 6 【考点二】整式的乘法 9 ★★题型 4：单项式乘以单项式（与幂的运算综合） 9 ★★题型 5：单项式乘以多项式 10 ★★题型 6：多项式乘以多项式 12 【考点三】乘法公式 14 ★★题型 7：乘法公式的辨析 14 ★★题型 8：利用乘法公式综合运算 16 【考点四】整式的除法 19 ★★题型 9：整式的乘除法运算辨析 19 ★★题型 10：整式的除法运算化简求值 21 培优篇（综合应用 + 拓展提升） 24 【考点五】幂的运算与逆运算 24 ★★题型 11：幂的运算化简求值 24 ★★★题型 12：幂的运算的逆运算 27 【考点六】整式的乘法 29 ★★题型 13：整式乘法运算化简求值 29 ★★★题型 14：整式乘法运算与几何面积问题 31 ★★★题型 15：整式乘法运算规律问题综合 35 【考点七】乘法公式 38 ★★★题型 16：乘法公式综合运算化简求值 38 ★★★题型 17：乘法公式与几何问题 42 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 基础篇（夯实法则 + 基础计算） 【考点一】幂的运算 ★★题型 1：幂的运算法则辨析 1．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ★★题型 2：幂的运算综合 1．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； ★★题型 3：幂的运算逆用 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）已知，则 ． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【考点二】整式的乘法 ★★题型 4：单项式乘以单项式（与幂的运算综合） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 3．（25-26八年级上·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． ★★题型 5：单项式乘以多项式 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 4．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ★★题型 6：多项式乘以多项式 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 4．（25-26八年级上·西藏林芝·期末）若，且，求的值． 【考点三】乘法公式 ★★题型 7：乘法公式的辨析 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津北辰·月考）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 4．（25-26八年级上·天津·月考）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． ★★题型 8：利用乘法公式综合运算 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 2．（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧．淇淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由． 4．（25-26八年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式              第一步                    第二步                      第三步                                 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 【考点四】整式的除法 ★★题型 9：整式的乘除法运算辨析 1．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·福建漳州·月考）下列运算中，错误的是(   ) A． B． C． D． ★★题型 10：整式的除法运算化简求值 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26八年级上·重庆江津·期末）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 4．（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 培优篇（综合应用 + 拓展提升） 【考点五】幂的运算与逆运算 ★★题型 11：幂的运算化简求值 1．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 2．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级上·四川眉山·月考）计算 (1)； (2)已知，，求 5．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知（x，y是正整数），则 ． ★★★题型 12：幂的运算的逆运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则 ． 2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【考点六】整式的乘法 ★★题型 13：整式乘法运算化简求值 1．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值 ． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）（1）化简：； （2）设，是否存在实数，使得（1）中代数式能化简为？若能，请求出满足条件的的值；若不能，请说明理由． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． ★★★题型 14：整式乘法运算与几何面积问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 3．（25-26七年级上·全国·期中）计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． ★★★题型 15：整式乘法运算规律问题综合 1．（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算： ． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【考点七】乘法公式 ★★★题型 16：乘法公式综合运算化简求值 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． ★★★题型 17：乘法公式与几何问题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $