专题 7.8 相交线与平行线（4大几何模型7类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.8 相交线与平行线（4大几何模型7类题型） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【几何模型一】猪蹄型 1 ★【题型 1】猪蹄型模型的运用 2 ★★【题型 2】猪蹄型模型的运用 6 【几何模型二】铅笔型 10 ★【题型 3】铅笔型模型的运用 11 ★★【题型 4】铅笔型模型的运用 14 【几何模型三】前扬角型 17 ★★【题型 5】前扬角模型的运用 17 【几何模型四】后仰角模型 21 ★★【题型 6】后仰角模型的应用 22 ★★【题型 7】几何模型综合应用 26 二. 模型题专练 34 （一）单选题（10题） 34 （二）填空题（8题） 45 （三）解答题（4题） 52 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【几何模型一】猪蹄型 （1） 模型证明 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） （2） 拓展与延伸： （3） 拓展模型结论 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 ★【题型 1】猪蹄型模型的运用 【例题1】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）完成下列证明： 如图，已知，试探究之间的数量关系． 解：过点作． ∵， ∴（　　）， （　　） 又∵， （　　）， ． 【答案】平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的判定与性质解题的关键． 过点作，则，则，，再由以及等量代换求解即可． 【详解】解：过点作． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等） 又∵， （两直线平行，内错角相等）， ． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；． 【变式1】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【答案】互余，理由见详解 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余． 【详解】解：与互余，理由如下： 如图，作, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． ★★【题型 2】猪蹄型模型的运用 【例题2】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·山西大同·期中）如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【几何模型二】铅笔型 （一）模型证明 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 证明：过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） （二）拓展模型结论 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． ★【题型 3】铅笔型模型的运用 【例题3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 过点作，根据已知条件可得，根据平行线的性质求解即可； 【详解】过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案是． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，直线，与之间有一点P．数学小组长设计出以下问题：过点P画，同时画，分别交于点O，M，测得，，求的度数．请你试着解答． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 可得，则，，然后求出，的度数，再由． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ★★【题型 4】铅笔型模型的运用 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过M作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，关键是过M作，得到，由平行线的性质来解决问题． 【详解】解：过M作， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 根据图①，图②中，图③中，找出规律，得出图④中． 【详解】解：∵， ∴由图①； 图②中过点E作，    ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即， 同理可得图③，， ∴图4时，． 故选C． 【变式2】（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    【答案】/ 【分析】过C作，过D作，得到，由平行线的性质推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：过C作，过D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作，过D作，得到，由平行线的性质即可解决问题． 【几何模型三】前扬角型 （一）模型证明 结论：∠B=∠E+∠C 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） （二）模型结论 结论：∠B=∠BEC+∠C ★★【题型 5】前扬角模型的运用 【例题5】（23-24七年级下·西藏那曲·期末）如图，，则，，的关系是 .    【答案】 【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系． 【详解】解：过作，   ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·四川广元·期末）如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，掌握角度的相关计算是解题的关键． 由已知条件可得出判断，过点D作，由平行线的性质可得出②，设，，则，，可判断③④． 【详解】， ， ①正确； 过点D作， ， ， ，， ， 即， ∵，， ∴， ②正确． 设，，则，， 由②知， 作， ，， ， ，无法判断是否为， ③错误； ， ④正确． 综上所述，正确答案为①②④共3个． 故选：C． 【几何模型四】后仰角模型 （一）模型证明 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） （二）模型结论 结论：∠C=∠B+∠CEB ★★【题型 6】后仰角模型的应用 【例题6】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 【变式2】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． ★★【题型 7】几何模型综合应用 【例题7】（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 2. 模型题专练 （一）单选题（10题） 1．（23-24七年级下·云南红河·期末）如图，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ②， 由①+②得，， 故选：C． 2．（22-23七年级下·广西南宁·月考）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．过C点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解． 【详解】解：如图，过C点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·月考）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由得到，由得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）如图，，直线，被直线所截，，分别平分，交于点；，分别平分，交于点；，分别平分，交于点，……依此规律，得点，则 为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线．根据平行线以及角平分线找出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律是关键．根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴， 同理可得：， ， ， …， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（22-23七年级下·广东惠州·期中）①如图1，，则； ②如图2．，则； ③如图3，，则； ④如图4．，则． 以上结论正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出结论； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ②过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ③过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，即，故③正确； ④如图，过点P作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 7．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 8．（23-24七年级下·山东济南·月考）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图，先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图，过点作直线，由平行线的性质可得出，即得；④如图，根据平行线的性质得出，，再利用角的关系解答即可． 【详解】解：    ①如图，过点作直线， ， ， ，， ， ， 故①错误； ②如图， 是的外角， ， ， ， 即， 故②正确； ③如图，过点作直线， ， ， ，， ， 即， 故③错误； ④如图， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上结论正确的个数为， 故选：B． 9．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行线公理的应用，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质和平行公理得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，，即可得出，同理得出；；总结规律得出． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； 同理得：； ； …… ∴， 故选：C． 10．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． （二）填空题（8题） 11．（21-22七年级下·内蒙古乌海·期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案． 【详解】如下图所示，过点C作， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵，， ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∴， ∴在原图中， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 12．（23-24九年级下·上海·月考）如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到． 【详解】解：过F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（22-23七年级下·河北唐山·月考）如图，已知，点是直线，内部一点，连接， （1）若，，则 ； （2）若，，则 ．（用含，的式子表示） 【答案】 / 【分析】（1）根据平行线的判定及性质求解即可； （2）过点M作，利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）如图，过点作， ∵，∴． ∴，， ∴． 故答案为：； （2），，同理可得； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质探索角之间的关系，解题的关键是正确的作出辅助线． 15．（23-24七年级下·河南周口·月考）如图，，思考解决下列问题： （1） ； （2）试探究 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键， 分别过E、F…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有2个角时，根据两直线平行同旁内角互补，得出， 当有3个角时，过点E作直线平行于，同理可得， 当有4个角时，分别过点E、F作直线平行于， 同理可得， 根据规律，可得当有m个角时，． 故答案为：，． 16．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）把一块含角的直角三角尺（其中）按下图所示的方式摆放在两条平行线之间．    （1）如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 /60度 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案； （2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，再将进行替换即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．过点F作，过点E作，易证，推出，，根据题意得，再利用角度之间的和差即可解答． 【详解】解：过点F作，过点E作， ， ， ，， 直线平分，直线平分， ， ， ，， ，即， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． （三）解答题（4题） 19．（25-26七年级上·甘肃天水·期末） 【问题背景】已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 20．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 21．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 22．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.8 相交线与平行线（4大几何模型7类题型） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【几何模型一】猪蹄型 1 ★【题型 1】猪蹄型模型的运用 2 ★★【题型 2】猪蹄型模型的运用 6 【几何模型二】铅笔型 10 ★【题型 3】铅笔型模型的运用 11 ★★【题型 4】铅笔型模型的运用 14 【几何模型三】前扬角型 17 ★★【题型 5】前扬角模型的运用 17 【几何模型四】后仰角模型 21 ★★【题型 6】后仰角模型的应用 22 ★★【题型 7】几何模型综合应用 26 二. 模型题专练 34 （一）单选题（10题） 34 （二）填空题（8题） 45 （三）解答题（4题） 52 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【几何模型一】猪蹄型 （1） 模型证明 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） （2） 拓展与延伸： （3） 拓展模型结论 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 ★【题型 1】猪蹄型模型的运用 【例题1】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）完成下列证明： 如图，已知，试探究之间的数量关系． 解：过点作． ∵， ∴（　　）， （　　） 又∵， （　　）， ． 【答案】平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的判定与性质解题的关键． 过点作，则，则，，再由以及等量代换求解即可． 【详解】解：过点作． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等） 又∵， （两直线平行，内错角相等）， ． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；． 【变式1】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【答案】互余，理由见详解 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余． 【详解】解：与互余，理由如下： 如图，作, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． ★★【题型 2】猪蹄型模型的运用 【例题2】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·山西大同·期中）如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【几何模型二】铅笔型 （一）模型证明 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 证明：过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） （二）拓展模型结论 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． ★【题型 3】铅笔型模型的运用 【例题3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 过点作，根据已知条件可得，根据平行线的性质求解即可； 【详解】过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案是． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，直线，与之间有一点P．数学小组长设计出以下问题：过点P画，同时画，分别交于点O，M，测得，，求的度数．请你试着解答． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 可得，则，，然后求出，的度数，再由． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ★★【题型 4】铅笔型模型的运用 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过M作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，关键是过M作，得到，由平行线的性质来解决问题． 【详解】解：过M作， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 根据图①，图②中，图③中，找出规律，得出图④中． 【详解】解：∵， ∴由图①； 图②中过点E作，    ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即， 同理可得图③，， ∴图4时，． 故选C． 【变式2】（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    【答案】/ 【分析】过C作，过D作，得到，由平行线的性质推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：过C作，过D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作，过D作，得到，由平行线的性质即可解决问题． 【几何模型三】前扬角型 （一）模型证明 结论：∠B=∠E+∠C 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） （二）模型结论 结论：∠B=∠BEC+∠C ★★【题型 5】前扬角模型的运用 【例题5】（23-24七年级下·西藏那曲·期末）如图，，则，，的关系是 .    【答案】 【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系． 【详解】解：过作，   ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·四川广元·期末）如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，掌握角度的相关计算是解题的关键． 由已知条件可得出判断，过点D作，由平行线的性质可得出②，设，，则，，可判断③④． 【详解】， ， ①正确； 过点D作， ， ， ，， ， 即， ∵，， ∴， ②正确． 设，，则，， 由②知， 作， ，， ， ，无法判断是否为， ③错误； ， ④正确． 综上所述，正确答案为①②④共3个． 故选：C． 【几何模型四】后仰角模型 （一）模型证明 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） （二）模型结论 结论：∠C=∠B+∠CEB ★★【题型 6】后仰角模型的应用 【例题6】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 【变式2】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． ★★【题型 7】几何模型综合应用 【例题7】（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 2. 模型题专练 （一）单选题（10题） 1．（23-24七年级下·云南红河·期末）如图，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ②， 由①+②得，， 故选：C． 2．（22-23七年级下·广西南宁·月考）如图，，与相交于点C，且，，若，则n的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．过C点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解． 【详解】解：如图，过C点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·月考）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由得到，由得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）如图，，直线，被直线所截，，分别平分，交于点；，分别平分，交于点；，分别平分，交于点，……依此规律，得点，则 为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线．根据平行线以及角平分线找出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律是关键．根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴， 同理可得：， ， ， …， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（22-23七年级下·广东惠州·期中）①如图1，，则； ②如图2．，则； ③如图3，，则； ④如图4．，则． 以上结论正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出结论； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ②过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ③过点E作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∴，即，故③正确； ④如图，过点P作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 7．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 8．（23-24七年级下·山东济南·月考）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图，先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图，过点作直线，由平行线的性质可得出，即得；④如图，根据平行线的性质得出，，再利用角的关系解答即可． 【详解】解：    ①如图，过点作直线， ， ， ，， ， ， 故①错误； ②如图， 是的外角， ， ， ， 即， 故②正确； ③如图，过点作直线， ， ， ，， ， 即， 故③错误； ④如图， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上结论正确的个数为， 故选：B． 9．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行线公理的应用，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质和平行公理得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，，即可得出，同理得出；；总结规律得出． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； 同理得：； ； …… ∴， 故选：C． 10．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． （二）填空题（8题） 11．（21-22七年级下·内蒙古乌海·期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案． 【详解】如下图所示，过点C作， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵，， ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∴， ∴在原图中， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 12．（23-24九年级下·上海·月考）如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到． 【详解】解：过F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（22-23七年级下·河北唐山·月考）如图，已知，点是直线，内部一点，连接， （1）若，，则 ； （2）若，，则 ．（用含，的式子表示） 【答案】 / 【分析】（1）根据平行线的判定及性质求解即可； （2）过点M作，利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）如图，过点作， ∵，∴． ∴，， ∴． 故答案为：； （2），，同理可得； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质探索角之间的关系，解题的关键是正确的作出辅助线． 15．（23-24七年级下·河南周口·月考）如图，，思考解决下列问题： （1） ； （2）试探究 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键， 分别过E、F…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有2个角时，根据两直线平行同旁内角互补，得出， 当有3个角时，过点E作直线平行于，同理可得， 当有4个角时，分别过点E、F作直线平行于， 同理可得， 根据规律，可得当有m个角时，． 故答案为：，． 16．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）把一块含角的直角三角尺（其中）按下图所示的方式摆放在两条平行线之间．    （1）如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 /60度 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案； （2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，再将进行替换即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．过点F作，过点E作，易证，推出，，根据题意得，再利用角度之间的和差即可解答． 【详解】解：过点F作，过点E作， ， ， ，， 直线平分，直线平分， ， ， ，， ，即， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． （三）解答题（4题） 19．（25-26七年级上·甘肃天水·期末） 【问题背景】已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 20．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 21．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 22．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $