4.7 公因数和最大公因数（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

课题 4.7 公因数和最大公因数 授课者： 课型：新授 课时：第1课时 一、教材内容分析： 以学生熟悉的因数概念为基础，通过具体数对（如8和12）的因数分析，引导学生逐步构建公因数与最大公因数的概念体系。教材设计体现"实例探究-概念形成-方法多元"的教学路径，先让学生分别列出8和12的所有因数，通过直观对比发现公有因数，自然引出"公因数"的定义，进而聚焦"最大公因数"这一核心概念；在教学策略上，教材不仅呈现传统的列举法，还引入集合图表示公因数的包含关系，更通过分解质因数的方法展示求最大公因数的算理本质，体现算法多样化思想；最后通过层次分明的练习设计，帮助学生巩固概念并发现特殊数对（如互质数、倍数关系）的最大公因数特点，培养学生观察归纳和灵活解决问题的能力。 二、学情分析： 学生已掌握因数的概念和找一个数的因数的方法，具备学习公因数知识的基础，但在理解"两个数公有的因数"这一交叉概念时仍存在思维难度。虽然能通过列举法找到公因数，但容易遗漏因数导致求解不完整；对集合图这种新的数学表示方式较为陌生，难以理解其包含关系；特别是在学习分解质因数方法时，由于质因数分解技能不熟练，往往在寻找公有质因数时出现遗漏。教学中需通过大量的数对对比练习和直观图示，帮助学生在操作中建构概念，实现从单一数的因数向两个数的公因数的认知跨越。 三、核心素养目标： ①情境与问题：通过学号游戏和集合图操作的情境，引导学生发现两个数公有因数的现象，提出“如何找到两个数的公因数和最大公因数”的探究问题 ②知识与技能：掌握公因数和最大公因数的概念，理解其意义，能熟练运用列举法、筛选法、分解质因数法等多种方法求两个数的最大公因数 ③思维与表达：能够通过集合图分析、方法探究和逻辑推理，用数学语言清晰阐述公因数的求法和最大公因数的确定过程 ④交流与反思：在小组合作探究公因数方法的过程中，分享不同的解题策略，反思各种方法的适用性和效率 思政元素： 在数学概念探究中培养严谨求实的科学态度，通过团队合作渗透协作共享精神 四、教学重难点： 教学重点：理解公因数和最大公因数的概念，掌握求最大公因数的基本方法 教学难点：理解公因数与最大公因数的关系，能根据数字特点灵活选择合适的方法求最大公因数 五、教学准备：学号卡片、集合图教具、任务单、多媒体课件展示公因数求法 六、学习活动设计： 教学环节一：情境导入，发现问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 在前面我们学习了因数的有关知识，那我们利用因数的相关知识来玩个游戏。 活动一：有趣的学号。 出示游戏规则：老师随机抽取学号，被抽到学号的同学起立，并大声说出学号的因数。 活动二：贴一贴。 黑板上出示8的因数和12的因数两个集合圈 1.课件出示活动要求：请学号是8和12的因数的同学将学号牌贴在黑板上相应的集合圈中。 2.学号1，2，4在犹豫，说一说，你们出现了什么困难？ 教师根据学生回答 小结：1，2，4是8的因数，又是12的因数，它们是8和12公有的因数。 活动一：有趣的学号。 学生根据活动要求进行游戏。 预设：例如我的学号是9，9的因数是1，3，9。 活动二：贴一贴。 学生按要求进行活动。 1.预设：学号8贴在8的因数集合圈内；学号3、6、12贴在12的集合圈内；学号1，2，4出现问题，不知道该贴哪里。 2.预设：1，2，4既是8的因数，又是12的因数，贴在8的因数下面，12里面就不全了；贴在12的因数下面，8的因数又不全了。 巩固复习因数有关知识，培养学生的数感，激发学习兴趣。 初步感受公因数的意义。 教学环节二：引导合作，探究问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 活动一：合作探究学习集合图表示公因数。 1.你能想个办法，帮帮1，2，4，让他们既能满足在8的因数集合图里，又能满足在12的因数集合图里吗？小组讨论交流想法。 教师根据学生回答，调整黑板上的集合图。 2.这样这两个集合图就分成了三部分。那你们知道，这三部分分别表示什么意思吗？ 3.你能尝试着把这个集合图填写完整吗？完成任务单一。 教师根据学生汇报对第二种方法进行引导纠正。 教师小结并揭示概念：1，2，4是8和12的公有的因数，叫作它们的公因数。其中4是它们的最大公因数。 4.你能根据自己的理解，来说一说什么是公因数，最大公因数吗？ 活动二：探究求最大公因数的方法。 1.课件出示教科书P60例2（任务单二）。 2.怎样求18和27的最大公因数？ 请同学们小组合作交流，完成任务单二。 3.教师根据学生汇报及时给予点评纠正并课件出示相应的方法。 列举法。先把两个数的因数列举出来，再把他们相同的因数圈出来。 筛选法：先列举出18的因数，从中筛选出27的因数。 或者先列举出27的因数，从其中筛选出18的因数。 分解质因数法：先把18和27分别分解质因数，再把公有的质因数相乘，就是18和27的最大公因数。 4.教师介绍短除法。 教科书P61中的“你知道吗？”还给我介绍了一种短除法，请同学们自己阅读学习。 活动三：探究规律。 观察刚才我们找的8和12的公因数，最大公因数。公因数和最大公因数之间，有什么关系？ 知道了两个数的最大公因数，我们可以通过列举最大公因数的因数来找两个数的公因数。 活动一：合作探究学习集合图表示公因数。 1.学生小组讨论交流，调整集合图。 预设：学生可能说将两个集合图移动交叉，重合的部分就是两个数的公因数，没有重合的部分是这两个数独有的因数。 2.学生独立思考，并回答。 预设：最左边部分表示8独有的因数，最右边部分表示12独有的因数，中间重叠部分表示8和12的公有的因数。 3.学生填写任务单一并展示汇报任务单一。 预设1：将1，2，4填在重合部分，8填在左边空白部分，3，6，12填在右边空白部分。 预设2：将1，2，4填在重合部分，1，2，4，8填在左边空白部分，1，2，3，4，6，12填在右边空白部分。 4.学生独立思考并尝试描述公因数、最大公因数的定义。 预设：几个数公有的因数叫作它们的公因数，其中最大的公因数，叫作它们的最大公因数。 活动二：探究求最大公因数的方法。 1.学生小组合作，交流找18和27的最大公因数的方法，并填写任务单。 任务单二。 怎样求18和27的最大公因数？把你的方法记录在下面的横线上。 你的方法：_______________ 2.展示汇报 预设：（1）列举法 18和27的最大公因数是9。 （2）筛选法 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 18和27的最大公因数是9。 （3）分解质因数法。 18和27的最大公因数：3×3=9 3.学生自主阅读学习，理解短除法。 预设：短除法实际是分解质因数的简便书写形式。 活动三：探究规律。 学生回顾总结，讨论交流公因数和最大公因数的关系。 预设：公因数是最大公因数的因数。 进一步理解掌握公因数，最大公因数的意义，渗透集合思想，培养观察、分析、比较、优化，概括的能力，体会数学简洁性。 掌握求两个数的最大公因数的方法，培养学生方法的多样化，提高数感。 培养学生观察分析，发现总结的能力，提升数感。 教学环节三：辅导练习，解决问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 1.基础练习 找出下面每组数的最大公因数。你发现了什么？ 4和8 12和36 1和7 8和9 5和11 12和35 2.变式练习 找出下面各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 8/9（ ） 18/27（ ） 6/15（ ） 20/24（ ） 22/77（ ） 15/25（ ） 36/54（ ） 28/49（ ） 3.提升练习 写出两个数，使它们的最大公因数是1。 （1）两个数都是质数：（ ）和（ ） 两个数都是合数：（ ）和（ ） 一个质数，一个合数： （ ）和（ ） 1.基础练习 引导学生观察每组数的特点，发现总结规律。 如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数。 如果a是b的倍数，那么它们的最大公因数是b。 如果两个数互质，那么它们的最大公因数就是1。 2.变式练习 引导学生去观察分子、分母的特点，判断是否成倍数关系，互质关系。不属于这两种情况用列举法、筛选法、短除法等方法去求。 3.提升练习 引导学生总结常见的最大公因数是1的情况。 培养学生观察分析，总结规律的能力，进一步培养数感。 培养学生灵活运用知识求最大公因数的能力，培养数感。 培养学生综合运用知识解决问题的能力，进一步培养数感。 教学环节四：引导反思，提升问题 教师活动 学生活动 设计意图 二次备课 本节课我们研究了公因数和最大公因数，你有哪些收获？ 教师根据学生汇报，课件呈现本节课的知识点。 学生小组分享交流本节课的收获并展示汇报 预设：知道了公因数和最大公因数的定义，并且学会了找两个数的公因数，最大公因数的方法。 还知道了用集合图表示两个数的公因数，感受到了数学的简洁美。 进一步理解巩固公因数、最大公因数的意义，掌握求最大公因数的方法。 七、作业设计： 基础作业：完成简单的求最大公因数练习，如找出每组数的最大公因数，巩固概念和方法 巩固作业：解决需要应用公因数的实际问题，如分数化简中找分子分母的最大公因数，进行知识应用 提升作业：完成复杂的公因数应用问题，如写出满足特定条件的两个数，进行知识的综合运用和推理 八、板书设计： 因数和最大公因数 方法：列举法 筛选法 分解质因数法 短除法 九、教学反思与改进： 成功之处：本节课通过学号游戏有效激发了学生的学习兴趣，学生在集合图操作中积极参与公因数的发现，能熟练应用多种方法求最大公因数。小组合作有效促进了方法的多样化，学生能清晰表达公因数的概念。 不足之处：部分学生对公因数与最大公因数的关系理解不够深入，在复杂情境中方法选择不够灵活。个别学生在集合图表示上存在困难。 改进措施：增加更多公因数关系的直观演示，通过对比案例强化理解；设计方法选择的专项训练，提高应用能力；提供更多生活化案例，增强知识的实用性和趣味性。 学科网（北京）股份有限公司 $