精品解析：上海师范大学附属中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷

上师大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用集合符号表示：直线在平面上________． 2. 食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有________种． 3. 直线的倾斜角的大小为________． 4. 体积为的球的表面积是________． 5. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 6. 已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为_________． 7. 如图，直角梯形中，，该图形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为______． 8. 如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为______. 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 10. 如图，有一个无限延伸的大斜坡（没有边界，坡面可视为平面），大斜坡上方悬停着一个，小明拿出新型设备搜集到了大斜坡上三个点的坐标分别为、和，同时测得的坐标为，为了在最近距离观察，小明应该站在大斜坡上的哪个位置？________．（填坐标，为了简化模型，和小明都可视为点） 11. 已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 12. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（ ）种. A. 12 B. 16 C. 81 D. 256 14. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 以上都不对 三、解答题（本题共5大题，满分78分） 17. 已知直线与圆． （1）求直线到直线 的距离； （2）若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到平面PCF的距离. 19. 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值． 20. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用集合符号表示：直线在平面上________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中的线、面表示结合集合符号表示即可得结果. 【详解】若直线在平面上，则. 故答案为：. 2. 食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法原理得出结果即可. 【详解】第一步从食堂个门中一个门进，有种办法； 第二步，从另一个门出，有种办法；所以共有种不同的走法. 故答案为： 3. 直线的倾斜角的大小为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】可化为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故答案为：. 4. 体积为的球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积求出球的半径，继而根据球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】设球的半径为R，则， 故球的表面积是. 故答案为：. 5. 若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值. 【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为， 抛物线的准线，则， 所以. 故答案为：6 6. 已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 7. 如图，直角梯形中，，该图形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果. 【详解】直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体为圆台， 且该圆台上底面圆的面积为，下底面面积为， 圆台的高为， 因此，该几何体的体积为. 故答案为： 8. 如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，可得，进而可求表面积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 所以圆锥的表面积为 故答案为：. 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出底面的外接圆，圆心为，根据题意即可分析出答案． 【详解】作出底面的外接圆，圆心为， 由题意得，当直线过点，且最近接点时，与直线所成角最小，即与夹角最小， 因为，所以，所以，则也符合题意， 同理可得，， 所以满足题意得直线有，共6条， 故答案为：6． 10. 如图，有一个无限延伸的大斜坡（没有边界，坡面可视为平面），大斜坡上方悬停着一个，小明拿出新型设备搜集到了大斜坡上三个点的坐标分别为、和，同时测得的坐标为，为了在最近距离观察，小明应该站在大斜坡上的哪个位置？________．（填坐标，为了简化模型，和小明都可视为点） 【答案】 【解析】 【分析】把大斜坡视为平面，计算出该平面的法向量，再利用投影向量计算出点的坐标. 【详解】把大斜坡视为平面，设原点为O，平面的法向量， ，， ， ， 取，则，，即， 由于垂直于平面，从到平面上点的最短路径与平行，所以： 设 又因为在平面上，所以向量垂直于（平面上任一点与的连线与垂直）， 即：，又： 代入得：，即， ， ， ， 代入得：，， ， 故答案为： 11. 已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（ ）种. A. 12 B. 16 C. 81 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意知，每名学生都有种报名情况， 由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法有种. 故选：C. 14. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知这三个向量共面，这意味着集合中所有点均在同一个过原点的平面上,已知点，本题即寻找一个点，当时，由点和点确定的过原点的平面不包含点. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，无法推出，故B错误； 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当，能推出，故C正确； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误； 故选：C. 16. 如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥曲线中椭圆的由来即可得解. 【详解】因为为定值， 所以点的轨迹为以为旋转轴的圆锥侧面与平面的交线， 由题意知，平面与圆锥旋转轴的夹角为，圆锥母线与旋转轴的夹角为， 因为平面与圆锥旋转轴的夹角大于圆锥母线与旋转轴的夹角， 所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 三、解答题（本题共5大题，满分78分） 17. 已知直线与圆． （1）求直线到直线 的距离； （2）若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【答案】（1）； （2）圆心为，半径为． 【解析】 【分析】（1）将两条直线化简后，直接利用两条平行线间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出D,E,F的值，即可得到圆的方程，从而得到圆心半径. 【小问1详解】 将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为. 【小问2详解】 由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到平面PCF的距离. 【答案】（1）证明：取 中点 ，连接、， 由于 是 的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于 ，平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）设 是 的中点，连接， ，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点 到平面的距离为 ， 因为 平面 ，平面 ，所以， 由于，，所以四边形 是平行四边形， 由于 ，所以 ， 由于平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 19. 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 设“盾圆”D上的任意一点M的坐标为，． 当时，，， 即； 当时，，， 即． 所以为定值． 【解析】 【分析】(1)设椭圆的半焦距为，结合椭圆定义和条件列方程求可得椭圆方程； 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为6， 所以a＋c＝3， 因为椭圆与双曲线：有相同的焦点， 所以c＝1， 所以，． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 20. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 【答案】（1） 如图，因为，所以，连接， 因，，则为等边三角形， 又点为棱的中点，故，因平面， 故平面，因面，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设先证明和，由线线垂直推出平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）由（1）易得即为二面角的平面角，先证明平面，得到，在中，利用三角函数的定义和反三角函数即可求得； （3）根据（1）、（2）两题结论，易得，设，有，可得.过点作的垂线，垂足为，证明平面得到，借助于直角三角形求出，将上述结论代入中，整理成关于的正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，， 则即为二面角的平面角， 因为边长为2的等边三角形，则， 由，可得， 又，平面，故平面， 因平面，则， 在中，因， 则. 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 由（1）、（2）得：，因平面， 则得平面，又平面 则可得，且，设，则， 过点作的垂线，垂足为，因平面平面则， 因平面，故平面，所以， 在中，，在中，， 在中，， 在中，， 所以 （其中是锐角，满足）， 由题意，是线段上的一动点，且， 在中，，则 因，则，即， 故当时，即时， 取得最大值为. 21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $