精品解析：重庆2026届高三一模数学试卷

数学 数学共4页，满分150分．时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集为，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 4. 已知椭圆的离心率，则其焦距为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 5. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面平面 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 10. 已知函数和均为上的偶函数，则（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________． 13. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 14. 在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为___________；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足：，且． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，求的最大值． 16. 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． （1）记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； （2）记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 17. 已知中，内角的对边分别为，有． （1）证明：； （2）若，是边上一点，且，求． 18. 已知点，是直线上的一点，过作的垂线，线段的垂直平分线交于点．当在上运动时，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）证明：直线是的切线； （3）已知圆的圆心在第一象限内，与有唯一的公共点，且与轴相切于点，求圆的方程． 19. 某学校天文社团设计了一种航天伴飞卫星，大致原理为：如图建立直角坐标系，在原点处沿轴正方向发射一枚火箭，火箭升空速度为每秒1单位．在点处放置一枚伴飞卫星（视作质点），当火箭升空时，伴飞卫星随火箭同时升空，且逆时针匀速绕火箭螺旋转动，运行一圈所需时间为秒，其沿轴正方向的速度与火箭相同． （1）求经过5秒，此时伴飞卫星的坐标； （2）在伴飞卫星运行过程中，求直线与平面所成角的取值范围； （3）若在轴上点处同时发射一枚监测卫星（视作质点），其速度大小和运行方向与火箭相同，若监测卫星和伴飞卫星在运行过程中所成直线与不垂直，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 数学共4页，满分150分．时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意与共轭复数的性质求出对应复数，进而求解即可. 【详解】因为，所以，则， 可得，故B正确. 故选：B 2. 已知全集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A 3. 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 【答案】C 【解析】 【分析】由抽样比即可计算求解. 【详解】由题可得抽样比为. 所以小学教师应抽取人. 故选：C. 4. 已知椭圆的离心率，则其焦距为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列关于方程组求出c，即可由焦距定义求解. 【详解】由题意可得， 所以椭圆焦距为. 故选：C 5. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解. 【详解】， ， ， . 故选：A. 6. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面平面 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，A选项，求平面的法向量，判断是否平行于平面； B选项，分别求平面和平面的法向量，判断两个平面是否平行；C选项，求平面的法向量，判断是否垂直于平面；D选项，求平面和平面的法向量，判断平面是否垂直于平面. 【详解】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误. 故选：B. 【点睛】 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】充分条件是指如果A成立，则B一定成立；必要条件是指如果B成立，则A一定成立，要判断“”是“”什么条件，需要分别判断充分性和必要性是否成立. 【详解】判断充分性：充分性是指由“”能否推出“”. 当时，例如，此时成立， 此时，取，满足， 取，此时成立， 此时，取，，不满足， 这说明当时，不一定得出，所以充分性不成立. 判断必要性：必要性是指由“”能否推出“”. 取，此时，满足，但是 这说明当“”时，不能一定得出“”，所以必要性不成立. 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8. 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数在区间上有且只有一个零点转化为方程在上有且只有一个解，然后分别分析函数与的性质，通过图象的交点情况来确定的取值范围. 【详解】函数在区间上有且只有一个零点， 在区间上有且只有一个解， 在区间上有且只有一个解， 设，， 则问题转化为与的图象在上有且只有一个交点， 的最小正周期为， 在内，的图象为一个周期内的图象， ，， 当时，即时，是单调递增函数； 当时，即时，是单调递减函数； 当时，即时，是单调递增函数； ，， 的图象是将函数的图象向右平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 与的图象在上有且只有一个交点， 或或或， 无解； 解，即，又，解得； 解，即，又，解得， 解，又，解得， 综上可得，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数和均为上的偶函数，则（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据偶函数的性质求出 的表达式，再逐一分析选项：选项A，通过求导判断函数 的单调性；选项B，根据基本不等式判断 的取值范围；选项C和D，分别计算 ，，并与 进行比较即可. 【详解】因为 得：， 又因为 ，代入得：， 整理移项：， 因为 ， 当时， ，此时， 经验证，此表达式在时也成立，故， 所以， 即 . 选项A：因为，所以， 当 时，，故 ，因此 在 单调递增，A正确. 选项B：因为， 由均值不等式 ，令 ， 则，所以， 当且仅当 即 时取等号，故 ，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：因为， 所以，则显然二者不相等，D错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量垂直的性质判断是否存在点使；对于选项B，通过联立直线与双曲线方程求出的坐标，进而判断与是否相等；对于选项C，根据直线斜率与角的关系判断是否等于；对于选项D，利用三角形面积公式和三角函数公式判断的面积是否等于. 【详解】对于选项A，双曲线的左右顶点分别为，， 的渐近线方程为， 设，为在第一象限内的一点，，， 线段与的渐近线分别相交于两点，不妨设在直线上， 在直线上，设，则， 若，则，，， 而，，则， 故不存在点，使得，故选项A错误； 对于选项B，直线的方程为， 直线和联立，得到， 解得，，， ， 直线和联立，得到，解得， ，， ， ， ， ，，， ， 故选项B正确； 对于选项C，，为在第一象限内的一点， ， ， 在双曲线上，，， ， ， ，故选项C正确； 对于选项D，，， ， ，， ， ， ， ，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解. 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 13. 若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正三角形求出圆锥的高，利用圆的面积公式求出圆锥的底面面积，利用圆锥的体积公式求出该圆锥的体积. 【详解】圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形， 设这个三角形为，，底面圆， ， 底面圆的面积， 则该圆锥的体积为. 故答案为：. 14. 在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为___________；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，利用等差数列得到三角形的个数为，将代入得解； 若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，至少需要种不同的颜色． 【详解】在矩形内部（不包含矩形边界）有个点， 将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域， 设三角形的个数为， 当时，在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，这个点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，即这个点和矩形的四个点构成个的满足条件的三角形，即； 当时，第二个点是在满足第一个点的三角形中的一个三角形内部，这个点和这个三角形的三个点构成三个满足条件的三角形，同时去掉这个点所在的大三角形，故； 同理，，故构成等差数列，首项为，公差为， 故 则三角形的个数为， 则当时，三角形的个数为； 若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色， 如果用2种颜色，则同色且同色，且两色相异，则必定与中某块同色， 与题设不合； 如果用3种颜色， 假设在号区域内涂红色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂黑色， 在号区域内涂红色，则在号区域内不能涂红色和黑色，只能涂第三种颜色， 假设在号区域内涂蓝色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂红色， 故至少需要种不同的颜色． 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足：，且． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用等比数列的前项和公式结合二次函数的图像求解. 【小问1详解】 是等比数列，，且， ，，； 【小问2详解】 ，， ， ， 设， 转化为， 对称轴为，，开口向下， 当时，；当时，； ， 比较的所有取值中，离对称轴最近， 当，即时，取最大值， 且最大值. 16. 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． （1）记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； （2）记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下表所示： 0 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）分别按照，，求出概率，根据互斥事件概率的加法公式，可得的值. （2）的可能取值为，分别求出相应的概率，列出的分布列，根据数学期望的公式求出的值. 【小问1详解】 的取值为3,2,0,对应的概率分别为，，. 的取值为2,0，对应的概率分别为，. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，只有满足， 此时概率为. 根据互斥事件概率的加法公式，可得. 【小问2详解】 的可能取值为0,2，3，4，5. . . . . . 的分布列如下表所示： 0 2 3 4 5 可得. 17. 已知中，内角的对边分别为，有． （1）证明：； （2）若，是边上一点，且，求． 【答案】（1）， ， ， ， ，， 又因为，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式求解； （2）由结合余弦定理得到，由得到，由，求出和，由得到，在中，利用正弦定理得到，代入数值计算出，代入数值计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， ，， ，， 在中，，， 在中，，， ， . 18. 已知点，是直线上的一点，过作的垂线，线段的垂直平分线交于点．当在上运动时，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）证明：直线是的切线； （3）已知圆的圆心在第一象限内，与有唯一的公共点，且与轴相切于点，求圆的方程． 【答案】（1） （2）设，则的中点坐标为， ， 因为直线是的垂直平分线，所以直线的斜率为. 根据点斜式方程可得直线的方程为，即， 将代入，得 则，，则直线与抛物线有且只有一个交点， 即直线是抛物线的切线. （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求解； （2）设，求出的中点坐标，利用斜率公式求出 ，因为直线是的垂直平分线，所以直线的斜率为.根据点斜式方程求出直线的方程，直线和抛物线联立方程组，得到关于的一元二次方程，计算，得到直线与抛物线有且只有一个交点，即直线是抛物线的切线. （3）因为圆与轴相切于点，且圆心在第一象限内，所以可设圆的圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，联立，经过计算得到①，因为圆与抛物线有唯一公共点，所以①方程有且只有一个解，设，，由①方程有且只有一个解，得到有唯一的零点，且该零点为的极值点，即，计算出的值，故而求得圆的方程. 【小问1详解】 已知点，直线，过作的垂线， 线段的垂直平分线交于点, 根据垂直平分线的性质可知， 即点到点的距离等于点到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为，则，解得 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为圆与轴相切于点，且圆心在第一象限内， 所以可设圆的圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为， 联立，由解得， 将代入， 得到， 展开并整理得①， 因为圆与抛物线有唯一公共点，所以①方程有且只有一个解， 设， ， ①方程有且只有一个解， 有唯一的零点，且该零点为的极值点， ，， ，， ， ， ， ，， ，，， ，，，， ， 圆的方程为. 【点睛】 19. 某学校天文社团设计了一种航天伴飞卫星，大致原理为：如图建立直角坐标系，在原点处沿轴正方向发射一枚火箭，火箭升空速度为每秒1单位．在点处放置一枚伴飞卫星（视作质点），当火箭升空时，伴飞卫星随火箭同时升空，且逆时针匀速绕火箭螺旋转动，运行一圈所需时间为秒，其沿轴正方向的速度与火箭相同． （1）求经过5秒，此时伴飞卫星的坐标； （2）在伴飞卫星运行过程中，求直线与平面所成角的取值范围； （3）若在轴上点处同时发射一枚监测卫星（视作质点），其速度大小和运行方向与火箭相同，若监测卫星和伴飞卫星在运行过程中所成直线与不垂直，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）火箭沿轴正方向的速度为1个单位/秒，秒后火箭位置为，伴飞卫星绕火箭逆时针匀速旋转周期为秒，利用角速度公式求出.伴飞卫星在平面内绕轴的旋转半径为1，初始位置，沿轴速度与火箭相同，利用任意角的三角函数的定义求出秒后的坐标为.将秒代入的坐标得解. （2）求出，平面的法向量为，与平面所成的角为，利用向量的数量积求出，通过计算得到，即可得解. （3）秒后，求出，，由无解可得在上无解，构造函数，，结合导数按照a的范围分类讨论即可求解. 【小问1详解】 伴飞卫星在平面上的射影的轨迹为圆， 由点运行一图所需时间为，且的起始位置为， 设运行时间为，故，所以， 故经过5秒后，的坐标为； 【小问2详解】 ，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ， 令，可得当时，，故，可得， 故直线与平面所成角的取值范围为； 【小问3详解】 则的坐标是，则与不能垂直， 即无解，即在上无解， 当时，不符合题意．令函数， ①当时，，故符合题意； ②当时，，记，则， （i）当时，， 故在单调递增，故当时，即， 故在单调递增，故， 所以在没有零点，符合题意． （ii）当时，当时，存在，使得， 且当时，单调递减，故， 即时，，故在单调递减，， 又，所以， 由零点存在性定理知在上有零点，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $