精品解析：贵州省毕节市实验高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

毕节市实验高级中学 2025年秋季期末考试 高一数学试卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设：，：关于的方程有1个实数解，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 8. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于轴对称 B. 函数且恒过定点 C. 已知命题：，则的否定为： D. 函数的单调递减区间为． 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为______rad. 13. ______． 14. 已知，且为锐角，则的值为_________． 四．解答题（本题共5小题，共77分，在答题卡的相应位置写出必要的解答过程） 15. 若是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象； （2）若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 16. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，，求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）判断函数在其定义域上的单调性（无需证明），并解不等式 18. 已知函数的最小正周期为π． （1）求函数的对称中心； （2）求函数的单调递减区间； （3）求不等式的解集． 19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金（单位：万元）是销售利润（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．；B．C．． （1）根据你所学习的一次函数、指数函数、对数函数的图象特征，请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①求出函数的解析式； ②如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？并判断总奖金能否超过销售利润的五分之一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 毕节市实验高级中学 2025年秋季期末考试 高一数学试卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合，然后由集合交集的定义求得结果. 【详解】∵，∴，∴， ∴， ∴. 故选：B. 2. 设：，：关于的方程有1个实数解，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据含参一元方程的根的个数求解的值，即可判断. 【详解】q：关于的方程有1个实数解， 则当时，方程为，解为符合题意； 当时，若方程有1个实数解，则，即； 所以：或 又“”是“或”的充分且不必要条件， 所以是的充分且不必要条件. 故选：A. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域并判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，, 所以，所以在上存在唯一零点. 故选：B 4. 已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象，得到，进而可求出，再根据图象，当时，函数取到最大值，得到，即可求出结果. 【详解】由图易知，，，得到， 又，，所以， 又由图知，，得到， 又，令，得到，所以， 故选：B. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可. 【详解】指数函数在上单调递减，因为， 所以，即； 对数函数在上单调递减，因为， 所以，即， 指数函数在上单调递增，因为，所以，即. 综上，. 故选：D. 6. 若偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再由偶函数的性质计算可得. 【详解】因为偶函数和奇函数满足, 所以，又， 所以. 故选：A 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 8. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵，∴，当且仅当时，取得最大值为，∵不等式恒成立，∴，解得 故选C 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于轴对称 B. 函数且恒过定点 C. 已知命题：，则的否定为： D. 函数的单调递减区间为． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断，判断A选项；令，由此确定出所过定点坐标，判断B选项；通过修改量词否定结论可得结果，判断C选项；由函数定义域及复合函数单调性得出函数递减区间，判断D选项. 【详解】对于A，对于函数上任意一点，其关于的对称点，在函数图象上，A选项正确； 对于B，令，则，，则函数恒过定点，B选项错误； 对于C，：，则的否定为：，C选项正确； 对于D，∵，即，所以， 所以函数的定义域为， 因为二次函数开口向下，对称轴为， ∴时，单调递增，即单调递增， 时，单调递减，即单调递减， ∴函数的单调递减区间为，D选项错误. 故选：AC. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意需满足函数为奇函数且在定义域上单调递减，根据各选项解析式一一判断即可. 【详解】对于（1）对于定义域内的任意，有，则为定义域内的奇函数； 对于（2）对于定义域内的任意，当时，有，则在定义域上单调递减； 对于A：的定义域为，为奇函数且在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故A正确； 对于B：的定义域为，， 所以为奇函数，又、均在上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故B正确； 对于C：的定义域为，且， 所以为奇函数， 但是，所以在定义域上不单调递减，故C错误； 对于D：定义域为， 当时，则， 当时，则， 又， 所以对均满足，所以为奇函数， 当时，则在上单调递减，且； 当时，则在上单调递减，且； 所以在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故D正确. 故选：ABD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为______rad. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入扇形面积公式，通过代数运算求解圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，面积为， 则，代入，，得， 解得. 故答案为： 13. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 14. 已知，且为锐角，则的值为_________． 【答案】##45° 【解析】 【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可． 【详解】为锐角，， ， ， 为锐角，， 故答案为：． 四．解答题（本题共5小题，共77分，在答题卡的相应位置写出必要的解答过程） 15. 若是定义在上的偶函数，当时，． （1）画出函数的图象； （2）若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由函数在的解析式结合偶函数的性质，即可画出函数图象； （2）求出函数的最小值，函数与有两个交点，通过函数图象即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以函数在上的函数图象如下： 因为函数是定义在上的偶函数，所以函数图象关于轴对称， 所以函数的图象如下： 【小问2详解】 由（1）可知，函数的最小值为， 方程有2个不同的实数解，即函数与有两个交点， 由下图可知，或. 16. 已知． （1）求的值； （2）若为第三象限角，，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由弦化切即可求得结果； （2）由诱导公式化简，然后由商数关系和平方和关系建立方程组，结合条件为第三象限角求得，即可求得的值． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ∵，且为第三象限角， ∴，则，即， ∴，即 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）判断函数在其定义域上的单调性（无需证明），并解不等式 【答案】（1）定义域为，奇函数 （2）函数在其定义域上是增函数， 【解析】 【分析】（1）由指数函数的性质求出函数的定义域，再由奇偶性的定义证明即可； （2）首先判断（证明）其单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为，，所以函数的定义域为； 是定义在上的奇函数，证明如下： 因为， 所以， 所以是定义在上的奇函数. 【小问2详解】 函数在其定义域上是增函数， 设， 则， 由，可得，即， 又，所以，即， 所以函数为上的增函数. 由，得， 因为函数为奇函数， 所以， 所以， 又函数在上是增函数， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 18. 已知函数的最小正周期为π． （1）求函数的对称中心； （2）求函数的单调递减区间； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最小正周期求得，从而求得函数解析式，由正弦函数对称中心求得函数的对称中心； （2）由正弦函数单调递减区间求得，函数的单调递减区间； （3）由正弦函数图象解不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 ， ， ∵函数最小正周期，∴，即， ∴， 令，则， ∴函数的对称中心. 【小问2详解】 令，则， ∴函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 ，即， ∴，∴， ∴， 不等式的解集为. 19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金（单位：万元）是销售利润（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．；B．C．． （1）根据你所学习的一次函数、指数函数、对数函数的图象特征，请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①求出函数的解析式； ②如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？并判断总奖金能否超过销售利润的五分之一． 【答案】（1）模型C. （2）①，②至少完成销售利润210万元.总奖金不能超过销售利润的五分之一. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的性质即可选择模型； （2）①根据题意列方程组解得参数值，即可求得函数解析式 ②令解对数不等式即可求得结果，列不等式，利用函数的交点及函数增长速度得到结论. 【小问1详解】 模型A：，为一次函数，匀速增长； 模型B：，为指数型函数，增长速度先慢后快； 模型C：，为对数型函数，增长速度先快后慢； 结合图像，所以模型C最符合题意. 【小问2详解】 ①由题意可知，函数图象经过点，， ∴，即，∴， ∴. ②令，则，∴， 即，∴， 所以至少完成销售利润210万元. 设，即， 当时，，， ∴函数与函数相交于点， 且函数比函数增长速度慢， ∴当时，函数在函数的下方， 即， 即不等式无解， 所以总奖金不能超过销售利润的五分之一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $