精品解析：江西南昌中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

南昌中学高三月考数学试卷 （2026年1月） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：A 2. 若，则“”是复数“”为纯虚数（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若为纯虚数，，则有，解得. 所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故选：C 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 4. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解. 【详解】由题意得，所以， 所以. 故选：C. 5. 函数的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调区间，即可得到结果. 【详解】因为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减求解为，， 令，可得函数的一个减区间为，D选项为其子集. 故选：D 6. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为,由侧面展开图面积，再作出圆锥的轴截面，由时，面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则 ， 因为底面圆周上有两动点，，当时，则面积的最大， 最大值为. 故选：B. 7. 如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】 设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 8. 设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得. 【详解】令，得，，所以，， 又，所以，所以，， 所以，， 由题可得方程有2025个根， 即曲线与直线，在区间内共有2025个交点. 当时，， 当时，， 当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 10. 在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有（　　） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 存点P使得 D. 直线平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明直线与平面垂直，可得直线与直线垂直判定A；利用等体积法证明三棱锥的体积为定值判断B；由平面内以为直径的圆与无交点判断C；证明平面与平面平行，可得直线与平面平行判断D． 【详解】 对于A，在正方体中，平面，又，平面，则， 由正方形得，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，在正方体中，因为，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面， 所以平面，则P到平面的距离为定值， 所以为定值，故B正确； 对于C，因为，两平行线与间的距离为1，则平面内以为直径的圆与无交点，故为锐角，故C错误； 对于D，因为，，所以四边形为平行四边形，可得，同理可证， 因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面， 而平面，所以直线，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质. 函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果随机变量，且，那么的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以. 故答案为： 13. 在的展开式中，常数项为______. 【答案】1120 【解析】 【分析】将式子变形为，即可求解的通项，并求解其含的项，即可得解. 【详解】， 则展开式的通项为， 令，解得，所以常数项为. 故答案为：1120 14. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算即可. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以. 设，，则. 当时，，在上单调递增，在上单调递增， 所以，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因函数在上不单调，且，所以，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 17. 2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值． 【答案】（1）分布列见解析, （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，2，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望. （2）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值． 【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中， 年龄在的人数为人， 年龄在内的人数为人． 年龄在内的人数为人． 所以的可能取值为0，1，2． 所以， ， ， 所以的分市列为 0 1 2 ． （2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为， 所以， 所以． 设， 若，则，； 若，则，． 所以当时，最大，即当最大时，． 【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题. 18. 如图，已知直线，点.为直线上任意一点，过点且与垂直的直线交线段的垂直平分线于点，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为轴正半轴上的一点，过点的直线与曲线相交于两点，直线分别与曲线相交于异于的两点当直线的斜率都存在时，分别记为.若，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可； （2）先设直线与抛物线联立，结合三点共线得和，再计算出就可以得解. 【详解】（1）根据线段垂直平分线的性质，知 动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 故曲线的方程为 （2）设点， 直线 由消去，得. ， . 又 由三点共线，知， 即 化简，得. 显然即. 同理可得 又，由，有 故点的坐标为. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是定义的使用，二是计算要准确并且要注意化简的技巧. 19. 如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分. （1）在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上、下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长； （2）求的解析式； （3）已知，当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，分别为圆柱上、下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，连接，，，，在三角形中计算即可； （2）设为曲线上任意一点，由题意得，，得， 即，在截面圆中，即可求得； （3）由，得，令，得，利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 如图，设，分别为圆柱上、下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为， 因为为弧的中点，所以， 在中，，， 所以与圆柱的底面所成角的正切值为， 连接，，，， 由，得， 取的中点为，连接，则， 因为，， 所以， 由及，得G也是的中点， 所以. 【小问2详解】 由题意在图①中与圆柱底面平行的截面圆对应图②中的轴，为的中点， 如图， 设与该截面圆的交线为，过与平行的直线与的交点为， 由，且，得， 由题知平面与截面圆所成角为， 所以为二面角平面角， 所以，. 设为曲线上任意一点，过作截面圆的垂线，交该截面于点，过向引垂线，交于点，连接，，， 由题意得，， 由上可知， 所以， 在截面圆中，， 所以，所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 由， 得， 令， 设，则， 设，则. 当时，，，且等号不同时成立，则恒成立. 当时，，，则恒成立， 则在区间内单调递增， 又，， 所以存在，使得. 当时，，当时，， 又时，， 所以在区间内单调递减，在内单调递增， 又，所以当时，，当时，. 由，得， 又，，由，解得， 由，可得， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则的最大值为， 又时，，时，， 所以的取值范围是. 当，即时，恒成立， 当，即时，存在，使得，与矛盾. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学高三月考数学试卷 （2026年1月） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 5. 函数一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C D. 10. 在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有（　　） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点P使得 D. 直线平面 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果随机变量，且，那么的值为______． 13. 在的展开式中，常数项为______. 14. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 17. 2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值． 18. 如图，已知直线，点.为直线上任意一点，过点且与垂直直线交线段的垂直平分线于点，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为轴正半轴上的一点，过点的直线与曲线相交于两点，直线分别与曲线相交于异于的两点当直线的斜率都存在时，分别记为.若，求点的坐标． 19. 如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分. （1）在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上、下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长； （2）求的解析式； （3）已知，当时，，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $