精品解析：北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题

通州区2025—2026学年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集为，集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确集合的元素，再求出集合的补集，最后求交集即可得到答案. 【详解】已知全集为，集合，所以； 因为集合，则或. 所以. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法计算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】复数满足， 则， 则. 故选：C. 3. 设为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. 32 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列基本量的运算可得答案. 【详解】由  得：. 由于是等差数列，因此：. 由等差数列通项公式  及得： ，解得：. 于是：. 故选 ：A 4. 已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心坐标，可得圆心满足的条件，再用三角换元及辅助角公式可得距离的最小值. 【详解】设圆心为，因为圆经过，且半径为1，所以， 令，即. 所以圆心到直线的距离为 ，其中. 当且仅当时等号成立. 所以圆心到直线的距离的最小值为3. 故选：B 5. “”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数得出函数在上单调递减，进而根据有零点得出，最后应用集合间关系结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】因为函数，，所以在上单调递减， 当函数在上存在零点，则， 所以， 又因为是的真子集，所以“”是“函数在上存在零点”的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理，分别赋值和即可解得. 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①面面垂直则面面的法向量也垂直可得；对于②由条件可得或，再结合可判断；对于③由线线平行及面面平行的关系可判断；对于④：由和两种情况判断可得. 【详解】对于①：因为，，，所以直线的方向向量是平面的法向量，由两个平面垂直， 所以这两个平面的法向量也垂直，即这两条直线也垂直，故①正确； 对于②：由，，则或，而，则不能判断，所以②不正确； 对于③：若，，，则或，所以结论不一定成立，故③不正确； 对于④：，，若，则；若，则，所以④正确； 故选：D. 8. 已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则. 因为是的垂直平分线，所以，设. 则，代入抛物线方程可得：，即. 又因为. 所以，. 因此抛物线方程为. 故选：C 9. 已知数列：，，…，，，，设（，），若或2，则满足条件的不同数列的个数为（） A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】通过递推关系或，将转化为求7个和为12的1、2组合的个数，用组合数即可求得结果. 【详解】已知数列，且，，则. 因为（，），若或2， 所以. 设这7个差值中有个1和个2，且，解得，. 问题转化为在7个位置中选5个放2（其余放1）的组合数，即. 因此，满足条件的不同数列的个数为. 故选：B. 10. 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得出、的值，分析可知，确定角、的关系，结合诱导公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由题意可知，又因为，所以， 所以， 因为角为第四象限角，角为第一象限角，故， 所以. 故答案为：；. 13. 有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品，根据条件可求出，，再由全概率公式、条件概率和乘法公式，即可求解. 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由是奇函数且单调递增，可得，结合基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】已知函数，定义域为R， ，故为奇函数，且； 又，由于 ，且 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故对所有实数恒成立，因此在上单调递增. 由，得， 因单调递增，故，即，由可知. 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为： 15. 已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】分析出曲线关于原点对称，可知、也关于原点对称，可判断①；当时，求出关于的表达式，结合基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，可判断②；分析可知曲线关于直线、对称，求出曲线与这两条直线的四个交点围成的菱形的面积，可判断③；利用配方法得出，求出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为， 所以，即点在曲线上， 故曲线关于原点对称， 又因为函数为奇函数，点、是直线与曲线的交点， 故点、关于原点对称， 所以，，总有，①对； 对于②，当时，曲线的方程为， 联立可得， 可得，即， 所以， 若取最大值，必有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即， 故，②错； 对于③，在曲线上取点，该点关于直线的对称点为， 因为，即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 点关于直线的对称点为， 因为，故曲线关于直线对称， 由基本不等式可得， 即，当且仅当或时，等号成立， 所以， 取点、， 所以 ， 同理可得，所以， 故曲线是以点、为焦点的椭圆， 设曲线交直线于、两点， 联立可得，此时， 设曲线交直线于、两点，联立可得， 故， 易知四边形为菱形，该菱形的面积为， 故曲线所围成区域的面积大于菱形的面积， 即曲线所围成区域的面积不为，③错； 对于④，当时，曲线的方程为， 则，可得，解得， 当时，，总有，④对. 故答案为：①④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据余弦定理可得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以 ， 因为、，则，所以，可得，故. 【小问2详解】 因为，，由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， 故的面积为. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：侧面为矩形； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过连接交于点，利用中位线定理证明，从而证得线面平行； （2）选择条件①时，可得，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角公式计算正弦值，选择条件②利用线面垂直可证得，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角公式计算正弦值. 【小问1详解】 证明：连接，交于，连接， 由三棱柱的定义可知为平行四边形， 所以有为的中点，又因为为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 选择条件① 因为为矩形，为矩形，所以. 又因为，所以. 如图建立空间直角坐标系，则. 所以. 设平面的法向量为，则即 令，则.于是. 设直线与平面所成角为，则 选择条件② 因为， 所以. 因为， 所以平面. 所以. 以下同条件①. 18. 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，结合二项分布的期望公式可得出的值； （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布，计算得出，求出，结合二次函数的单调性可得出、、、的大小关系. 【小问1详解】 记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. 【小问2详解】 由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别是的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）若为坐标原点，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，（，异于点），直线，分别与直线交于点，.试判断四边形是否为平行四边形，并说明理由. 【答案】（1）； （2）是平行四边形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设，由直线方程为，联立方程组，利用韦达定理得，，联立求得的坐标，再根据对角线互相平分得出四边形是平行四边形. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，是的左、右顶点，且， 可得，解得，则， 所以椭圆的方程为， 【小问2详解】 设直线方程为，设， 联立方程组，整理得， ，即， 所以，， 因为，可得，， 所以， 因为，所以，设， 则， 所以， 同理 可得 ， 因为 ，所以， 所以中点是， 又因为中点是，所以四边形是平行四边形. 20. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使，求的取值范围； （3）若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解； （2）先求出的单调区间，进而求出的最小值为，再结合条件可得，再求解不等式，即可求解； （3）利用（2）中的结果，将问题转化成证明对任意，，当时，不等式恒成立，构造函数，利用导数，求出其在区间上的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 21. 已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. （1）若（），写出集合； （2）若（），且（），求的最小值. （3）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 【答案】（1）； （2）当为偶数时，；当为奇数时，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出即可； （2）分为偶数和为奇数时讨论即可； （3）设，分析有，三式相加再根据数的性质即可证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． 【小问3详解】 设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025—2026学年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集为，集合，，则（） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 设为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. 32 D. 50 4. 已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. “”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 8. 已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列：，，…，，，，设（，），若或2，则满足条件的不同数列的个数为（） A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 10. 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 13. 有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为______. 15. 已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：侧面为矩形； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别是的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）若为坐标原点，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，（，异于点），直线，分别与直线交于点，.试判断四边形是否为平行四边形，并说明理由. 20. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使，求的取值范围； （3）若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 21. 已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. （1）若（），写出集合； （2）若（），且（），求的最小值. （3）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $