北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题

通州区2025—2026学年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集为，集合，，则（） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 设为等差数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. 32 D. 50 4. 已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. “”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 8. 已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列：，，…，，，，设（，），若或2，则满足条件的不同数列的个数为（） A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 10. 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 13. 有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为______；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为______. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为______. 15. 已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：侧面为矩形； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别是的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）若为坐标原点，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，（，异于点），直线，分别与直线交于点，.试判断四边形是否为平行四边形，并说明理由. 20. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使，求的取值范围； （3）若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 21. 已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. （1）若（），写出集合； （2）若（），且（），求的最小值. （3）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 通州区2025—2026学年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年1月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：连接，交于，连接， 由三棱柱的定义可知为平行四边形， 所以有为的中点，又因为为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）的分布列如下表所示： （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）是平行四边形，理由如下： 设直线方程为，设， 联立方程组，整理得， ，即， 所以，， 因为，可得，， 所以， 因为，所以，设， 则， 所以， 同理 可得 ， 因为 ，所以， 所以中点是， 又因为中点是，所以四边形是平行四边形. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 【21题答案】 【答案】（1）； （2）当为偶数时，；当为奇数时，； （3） 设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $