二次函数专题研究2026年九年级中考数学复习

《二次函数》专题研究 典型例题1已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 典型例题2（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 典型例题3在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 典型例题4如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点． (1)求a，b的值； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值． 变式1已知二次函数与一次函数（a为常数）． (1)若，则这两个函数的图象的公共点的个数为（   ）． A．0个    B．1个    C．2个    D．1个或2个 (2)若，求证：当时，． (3)当时，，直接写出a的取值范围． 变式2.已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 变式3.已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； (2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； (3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 变式4.从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 变式5.如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 二次函数专题研究答案 1．(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 2． （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 3．(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 4．(1) (2) (3)，S的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出，则，的中点坐标为，根据垂直平分，则直线经过的的中点，即直线经过点，据此求出直线解析式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可； （3）求出直线的解析式为；过点P作轴交于F，连接，根据，可得，则；设，则，可得；则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴，的中点坐标为， ∵垂直平分， ∴， ∴直线经过的的中点，即直线经过点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∴ ， ， ∵， ∴当，即时，S有最大值，最大值为， ∴此时， ∴． 5．(1)C (2)证明见解析 (3)或 【分析】对于（1），将两个函数关系式联立，讨论一元二次方程根的判别式可得答案； 对于（2），先求出函数的对称轴是直线，且， 进而得出时y随着x的增大而减小，再根据当时，，可得答案； 对于（3），由（2）得函数的对称轴是直线，进而说明当时，y的最大值为负数，然后分两种情况：当时，在时取最大值，求出取值范围即可；当时，当时取最大值，可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴整理，得， ∴， ∴这两个函数的图象有两个公共点. 故选：C； （2）证明：令. ∵函数的对称轴是直线，且， ∴当时，y随着x的增大而减小. ∵当时，， ∴，则， ∴. 即当时，； （3）解：或. 由题意，（2）中函数的对称轴是直线， ∵当时，， ∴当时，y的最大值为负数， 当时， ∵， ∴在时取最大值. ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，在顶点处，即时取最大值， ∴， 解得， ∴. 综上所述，a的取值范围是或. 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合问题，二次函数的图象和性质，二次函数的最大值，解一元一次不等式，二次函数与一元二次方程，根据二次函数图象的性质讨论函数的最大值是解题的关键. 7．(1)； (2)①； (3)时，没有公共点；或1时，1个公共点；或且时，2个公共点． 【分析】（1）根据该函数的图象经过原点，以及经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的图象与性质，以及二次函数与轴的交点情况，逐个分析求解，即可解题； （3）联立与有：，整理得到，再结合一元二次方程根的判别式，分情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：该函数的图象经过原点，以及经过点和， ， 解得， ； （2）解：①由题知，则有，故，①正确； ②当时，，， ， . 当时，有， 即存在该函数图象与x轴无交点的情况，故②错误； ③当时，二次函数开口向下，y没有最小值，故③错误； ④ 整理得：， ∵， ∴, ， ∴时，方程有两个相等的实数根，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①； 故答案为：①； （3）解：联立与有：， 整理得， 当时，没有公共点； ，， ， 即， ， ， ， 则①或②， 解①得，该不等式组无解，解②得， 时，没有公共点； 当时，有1个公共点； 即， 解得或1， 或1时，1个公共点； 当时，有2个公共点； 即， 则③或④， 解③得，，解④得， 或且时，2个公共点． 综上所述，时，没有公共点； 或1时，1个公共点； 或且时，2个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数与的交点情况，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化成一般式，再计算，即可能得出结论； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，即可得出结论； （3）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的增减性质，由，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，函数图像与轴总有公共点． （2）证明：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入， ∴不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴ 当时，则 ∴， ∴ 当时，则 ∴ 综上，当时，，则的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，利用函数的对称性函数值大小，抛物线一般式化成顶点式，抛物线上点的坐标特征，抛物线的图象性质．熟练掌握抛物线与x轴交点和抛物线的图象性质是解题的关键． 9．(1)像到的距离为 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过点Q作，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，求解即可； （2）①结合（1）的知识点，运用尺规作角等于已知角即可； ②根据题意得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． 【详解】（1）解：过点Q作，垂足为N，如图所示： 根据题意得：， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴像到的距离为； （2）解：①根据（1）中可知，，过点的直线交于点，点即为的像， ∴以点为圆形，任意长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，在点处尺规作角等于得到垂直于的直线，且交射线于点，连接得到与平行直线m，则直线m与的一个交点为点P； ②根据题意得，如图所示，过点作于点，设与交于点，直线与交于点，则，四边形是矩形，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：． 10．（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $