精品解析：浙江省金华市义乌市绣湖中学2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试卷

2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试卷 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 13 2. 下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A. 某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B. 13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D. 这次数学考试乐乐能考满分 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 6. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 抛物线的开口方向是向_______． 12. 若把一个半径为5，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为____________． 13. 已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为______． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为______． 15. 如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点，若，则______． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）已知，求的值； （2）计算：． 18. 如图，在边长为1的的网格中，A，O是格点，以O为圆心，B、C是与网格线的交点．用无刻度的直尺在给定的网格中按要求依次完成画图并回答问题． （1）在图（1）中，作弦，使； （2）在图（2）中画弦，使弦平分；再在弧上找一点G，使． 19. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．合唱社团；B．足球社团；C．沙盘社团；D．文学社团，该校为了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次参与调查的学生共有 人，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“沙盘社团”所对应的百分比为 %，圆心角为 度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送到长为5米． （1）求新传送带的长度． （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？ 21. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 22. 西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 23. 将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． （1）求a，h，k的值； （2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 24. 已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点作，垂足为，交于点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试卷 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且， ∴的半径大于，直径大于， ∴的直径可能为， 故选：D． 2. 下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A. 某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B. 13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D. 这次数学考试乐乐能考满分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的概念可得答案． 【详解】解：A、某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖，属于随机事件，不符合题意； B、 一年有12个月，13名学生中至少有两人生日在同一个月是必然发生的，属于必然事件，符合题意； C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目，属于随机事件，不符合题意； D、这次数学考试乐乐能考满分，属于随机事件，不符合题意． 故选：B． 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 找到从几何体的上看所得到的图形即可． 【详解】解：这个“堑堵”的俯视图是A图， 故选：A． 4. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵高，， ∴， ∴， 故选D． 5. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：由在中，， 设，， 则， 则； 又， ； 故选：B． 6. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 7. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题由再建立方程即可． 【详解】解：由题意知米，， 而，即， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于F，先求出的长，再由等边三角形的性质得到的长，进而求出的长，再证明D、C、F三点共线，可求出，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于F， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴D、C、F三点共线， ∴， ∴， 故选：A． 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， 且，即， ∴离直线的距离最远，点离直线最近， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【详解】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 抛物线的开口方向是向_______． 【答案】下 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．直接根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：中，， ∴抛物线开口方向向下， 故答案为：下． 12. 若把一个半径为5，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥底面圆半径的计算，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图扇形弧长进行求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为r， 由题意得，， ∴， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故答案为：． 13. 已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， 于点， ， 在中，， ， 如图： 同理，可求得， 此时， 故的长是或， 故答案为：或． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 则的长为：， 故答案为： 15. 如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作于M，于N，连接，判定四边形是矩形，推出，，由A、B的坐标得到，，求出，，，由圆周角定理和等腰三角形的性质推出，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质推出，由勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：过P作于M，于N，连接， ， 四边形是矩形， ，， 点，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，关键是由垂径定理推出，由勾股定理求出的长． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，特殊角三角函数值的混合计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设 ，则 ，，（），然后代入即可求解； （）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可得到答案． 【详解】解：（）设，则，，（）， ∴ ； （） ． 18. 如图，在边长为1的的网格中，A，O是格点，以O为圆心，B、C是与网格线的交点．用无刻度的直尺在给定的网格中按要求依次完成画图并回答问题． （1）在图（1）中，作弦，使； （2）在图（2）中画弦，使弦平分；再在弧上找一点G，使． 【答案】（1） 解：如图所示，； ； （2） 解：如图所示，即为所求； 作法：①找中点：构造平行四边形，连接与网格交点，则该直线与交点N即为中点； ②连接并延长，交于点M； ③连接，则即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据所在格点以及圆的位置，竖占一格，横占四格与圆交点，同样方式构造即可； （2）由题意可知中点即为M，先利用平行四边形的性质找到中点，再利用垂径定理得到M，取下方两格的格点，圆与下方一格水平方向格线的交点，连接并延长与圆的交点为，则垂直平分，得到，根据等腰三角形的性质得到圆周角，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、网格作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．合唱社团；B．足球社团；C．沙盘社团；D．文学社团，该校为了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次参与调查的学生共有 人，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“沙盘社团”所对应的百分比为 %，圆心角为 度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）80， 补全条形统计图为： （2）30，108 （3） 【解析】 【分析】（1）由的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题； （2）用“沙盘社团”的人数除以总人数即可得解；由乘以的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人， 的人数为：（人， 图略； 故答案为：80； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“沙盘社团”所对应的百分比为； 圆心角， 故答案为：30；108； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种， 恰好选中甲和乙两名同学的概率为． 20. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送到长为5米． （1）求新传送带的长度． （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点A作交延长线于D，先解得到米，再解可得米； （2）先解得到米，再解可得米，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作交延长线于D， 在中，米， ∴米， 在中，， ∴米； 【小问2详解】 在中，米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴新旧货物传送带着地点B、C之间相距米． 21. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 22. 西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 【答案】鼓楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，先证明得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴鼓楼的高度为． 23. 将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． （1）求a，h，k的值； （2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】（1）； （2）开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 24. 已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点作，垂足为，交于点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， 为的直径，且， ， ，且， 又， ， ， ； （2） 是的切线，理由如下： 连接， 点在圆上， 是的半径， ， ， ，即，且， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由为的直径，且得，所以，且，由得，所以，即可得证； （2）连接，由题意得，所以可变形为，再结合，得，所以，由得，即可求解； （3）连接，，，设，则，，由，，再结合，求得，所以，，，，，又，且，所以，，由勾股定理得，，，求出，由得，即，解出，证明得，代入数据求出，最后根据，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，， 设，则，， ，， ， ， 又， ， ， ，， ，，， 又，且， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ， ， ， ，即， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，等弧对等角，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $