专题01二次函数（期末知识清单，含13常考3易错7技巧题型清单）九年级数学上学期浙教版

该初中数学二次函数专题知识清单系统整合了13个核心知识模块，涵盖概念、表达式、图象性质、变换及几何综合等范畴，搭建了从基础定义到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型示例+易错突破”三维架构呈现体系，如用表格对比三种表达式适用条件，以“左加右减”口诀简化平移规律，培养学生几何直观与模型意识。专项设计易错点题型及“审设列解检”应用步骤，助力学生高效掌握，教师可直接用于专题教学或分层辅导。

专题01 二次函数（13知识&13题型&3易错&7方法清单） 【清单01】二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 【清单02】二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 【清单03】 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【清单04】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单05】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 【清单06】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单07】 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 【清单08】 二次函数图像与各系数之间关系 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 【清单09】二次函数与方程不等式关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单10】 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 【清单11】.二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 【清单12】几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 【清单13】.存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江·月考）已知是二次函数，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽淮北·月考）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【题型二】二次函数的图像与性质 【例2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）对于二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【变式2-1】（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（），且．若点在该函数图象上，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2-4】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 【题型三】二次函数图像的绘制 【例3】（25-26九年级上·天津·月考）已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当时，y的取值范围为________； (4)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则m的取值范围为________． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【变式3-2】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 【题型四】二次函数图像的平移 【例4】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）把二次函数 的图象向右平移4个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南开封·月考）把抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的解析式为 ． 【变式4-4】（25-26九年级上·福建莆田·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 【题型五】二次函数与一次函数/反比例函数图像的判断 【例5】（25-26九年级上·全国·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【题型六】二次函数的图像与系数的关系 【例6】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 【变式6-3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有 ． 【题型七】求二次函数的解析式 【例7】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【变式7-2】25-26九年级上·浙江衢州·月考）已知抛物线经过点，． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)当时，求x的取值范围． 【题型八】二次函数的图像与x轴交点问题 【例8】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）若抛物线与轴有交点，则 ． 【变式8-1】（25-26九年级上·上海·月考）已知二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【变式8-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【题型九】二次函数与二次方程的综合 【例9】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是 ． 【变式9-4】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（，为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 ． 【题型十】二次函数与坐标轴的交点坐标 【例10】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线经过，解答下列问题： (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，的取值范围是___________． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与x轴的交点坐标； (3)当时，x的取值范围是______． 【变式10-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 【题型十一】二次函数与不等式综合 【例11】（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ；不等式的解集是 ；不等式的解集是 ． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式11-3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察图象，写出不等式的解集． 【题型十二】二次函数的一般应用 【例12】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）已知一个矩形的周长为．将该矩形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体．设矩形的一条边长为． (1)用含的代数式表示矩形的另一边长； (2)设旋转后形成的圆柱的侧面积为，求关于的函数表达式； (3)求该圆柱侧面积的最大值，并指出此时矩形的长和宽各为多少． 【变式12-2】（25-26九年级上·天津北辰·月考）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜羊羊”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜羊羊”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围___________； (2)求该网店每天销售吉祥物“喜羊羊”的利润（元）的最大值． 【变式12-4】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 (1)求关于的函数表达式． (2)当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【变式12-5】（25-26九年级上·广西崇左·月考）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【题型十三】抛物线图形及运动轨迹类的应用 【例13】（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【变式13-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）掷实心球是某市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．小祎在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市初中学业水平体育与健康学科投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少?请说明理由．（） 项目 分数成绩 20分 19分 18分 17分 16分 15分 14分 13分 12分 11分 原地掷实心球（米） 男生 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 10.10 9.70 9.30 8.90 8.50 女生 9.10 8.70 8.30 7.90 7.50 7.10 6.70 6.30 5.90 5.50 【变式13-3】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 【变式13-4】（25-26九年级上·广西南宁·月考）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【变式13-5】（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【题型一】对二次函数图像特点不熟导致翻折问题出错 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【题型二】缺乏数形结合能力导致动点的函数图像问题出错 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三】对二次函数的性质理解不全导致性质综合题出错 【例3】（25-26九年级上·江苏南京·月考）设二次函数（是实数）． (1)甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗说明理由． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． (3)已知二次函数的图象经过和两点（是实数），当时，求证：． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东泰安·月考）已知二次函数（a为常数，且）， (1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． (3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 【题型一】二次函数与线段周长综合 【例1】（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． (1)①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； (2)过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在线段上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【变式1-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【题型二】二次函数与面积综合 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，另一交点为，与轴的交点坐标为． (1)求出，的值； (2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； (3)点是抛物线上一点，且，直接写出点的坐标． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线L与y轴交于点M，顶点，，与x轴交于B，C两点． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)连接，，，在抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏连云港·月考）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【题型三】二次函数与角度综合 【例3】（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，抛物线的函数表达式为，抛物线经过点且与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型四】二次函数与特殊三角形综合 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【变式4-1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 【题型五】二次函数与四边形综合 【例5】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【题型六】二次函数与相似三角形综合 【例6】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式6-1】（2021·贵州铜仁·三模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【题型七】二次函数与圆综合 【例7】（2025·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（   ） A． B． C．1 D． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数（13知识&13题型&3易错&7方法清单） 【清单01】二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 【清单02】二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 【清单03】 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【清单04】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单05】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 【清单06】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单07】 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 【清单08】 二次函数图像与各系数之间关系 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 【清单09】二次函数与方程不等式关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单10】 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 【清单11】.二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 【清单12】几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 【清单13】.存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 【题型一】二次函数的概念 【例1】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中）进行判断． 【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的一般形式为，其中a为二次项系数，直接比较各选项中的系数即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意 C. 二次项系数是，不符合题意；     D. 二次项系数是，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江·月考）已知是二次函数，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数．根据二次函数的定义，函数表达式应为 （其中 ），故需满足指数为2且系数不为0． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 指数部分，且系数 ． 解得， ∴． 当时，成立． ∴ 的值为 ． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽淮北·月考）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 【题型二】二次函数的图像与性质 【例2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）对于二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值及增减性． 由二次项系数判断开口方向；根据顶点式确定对称轴与最值；结合对称轴分析增减性． 【详解】解：对于二次函数． A、 ，图象开口向上，此选项不符合题意； B、顶点坐标为，函数最小值为1，此选项不符合题意； C、对称轴为，开口向上，故当时，随的增大而减小，此选项不符合题意； D、图象的对称轴为直线，并非，此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过把二次函数配成顶点式，直接得到顶点坐标即可． 【详解】解：把二次函数配成顶点式为， ∴顶点坐标为， 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（），且．若点在该函数图象上，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数开口向下及抛物线与轴交点的位置关系，判断函数值的正负对应自变量的范围. 【详解】解： 二次函数 中 且 ， 抛物线开口向下，与轴交点坐标是和， 当 或 时，， 当 时，， 点 在图象上， ， 若，则 或 ，故选项 A 和 B 错误； 若，则 ，故选项 D 正确； 若，，可能大于，也可能小于，故选项 C 错误. 故选：D． 【变式2-4】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的顶点式 ，分析开口方向、顶点坐标、增减性和最值． 【详解】解：∵ 是顶点式，其中 ，，， ∴ ，开口向上，故A错误； 顶点坐标为 ，故B错误； 对称轴为 ，开口向上，∴当 时， 随 增大而增大，故C错误； 当 时， 有最小值 ，故D正确． ∴选D． 【题型三】二次函数图像的绘制 【例3】（25-26九年级上·天津·月考）已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当时，y的取值范围为________； (4)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则m的取值范围为________． 【答案】(1)直线， (2)见详解 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）由（2）得对称轴为直线，顶点坐标为；再分别算出当和时对应的函数值，再进行比较大小，即可作答． （4）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表如下： … 0 … … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）解：由（1）得函数的对称轴为直线，顶点坐标为 由（2）的函数图像，得出函数开口方向向上， 在处有最小值，且， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵， 当时，y的取值范围为． （4）解：∵点和都在此函数的图像上， 由函数图像可知， 当时，或． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示． （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 【变式3-2】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：列表， 如图： （3）解：根据图象可知：在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 【题型四】二次函数图像的平移 【例4】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）把二次函数 的图象向右平移4个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“二次函数图象的平移”，掌握“上加下减解析式，左加右减自变量”的口诀是解题关键， 根据二次函数图象平移的性质，向右平移4个单位长度，即开口方向不变，顶点坐标向右平移4个单位长度，利用顶点式计算即可，也可根据口诀计算． 【详解】∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴向右平移4个单位长度后，所得图象的顶点坐标为， ∴所得图象的表达式为， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，涉及知识点：二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”法则．根据平移方向，对函数表达式中的自变量和常数项进行相应变换；解题关键是准确应用平移法则，易错点是混淆“左加右减”的操作对象（是对自变量x进行加减）．解题思路：先按“左加”处理向左平移1个单位，再按“下减”处理向下平移2个单位，得到新的抛物线表达式． 【详解】解：∵将二次函数向左平移1个单位，得； 再向下平移2个单位，得． ∴平移后的表达式为， 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式，即． 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南开封·月考）把抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．解决问题的关键是熟练掌握平移变化的规律：左加右减，上加下减． 根据抛物线先向左平移1个单位，得到括号内加1；再向上平移2个单位，得到括号外加2．即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，得：； 再向上平移2个单位长度，得：， 故答案为：． 【变式4-4】（25-26九年级上·福建莆田·月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 根据抛物线平移的规律，即可求解． 【详解】解：原抛物线为，向右平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得， 故答案为：． 【题型五】二次函数与一次函数/反比例函数图像的判断 【例5】（25-26九年级上·全国·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值； 根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式5-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【题型六】二次函数的图像与系数的关系 【例6】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，会根据图象获取所需要的信息是解答本题的关键．根据对称轴，开口方向判断①，根据时的函数图象判断②，根据时的函数图象判断③，根据对称性求得函数的图象与轴的另一个交点为，进而根据函数图象在轴上方部分判断④． 【详解】解：根据图象可知： ①抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴，则， ∴，故①正确； ②函数的图象过点，则， 又，则，即；故②正确； ③∵时，，代入，则，即，故③错误， ④∵函数的图象过点，对称轴为直线， ∴函数的图象与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故④正确， ∴正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误； ∴当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 【变式6-3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 【题型七】求二次函数的解析式 【例7】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）利用待定系数解答，即可求解； （2）先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据该抛物线的开口向上，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入解析式， 得， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； （2）解：当时，， 解得：或， 由图可得，该抛物线的开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 【变式7-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的对称性和增减性，求二次函数的最值，是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴的两个交点，设解析式为，再将代入求解； （2）求出抛物线的顶点坐标，找出最大值，再由对称性求出或时的y值，即得． 【详解】（1）设二次函数解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，y最大值为4； 当或时，， ∴当时，． 【变式7-2】25-26九年级上·浙江衢州·月考）已知抛物线经过点，． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数解析式的确定，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可； 【详解】（1）解：把点和点坐标代入得： 根据题意得， 解得． ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得，， 由二次函数图象可得， ∴当或时，； 【题型八】二次函数的图像与x轴交点问题 【例8】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）若抛物线与轴有交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，二次函数的定义． 根据二次函数的定义求出，进而判断此时抛物线与轴是否存在交点即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， 即，或， ∴， 此时， 此时，即抛物线与轴有交点， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·上海·月考）已知二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】由于二次函数的顶点在 轴上，则顶点的纵坐标为零，根据顶点坐标公式列方程求解． 【详解】二次函数 的顶点纵坐标为 ，其中 ，，． 代入得 ．令其等于零， 有 ， 即 ， 解得 ． 故答案为 ． 【变式8-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的联系，将二次函数图象与轴的交点情况，对应其解析式转化为一元二次方程后的实数根情况是解题关键． 二次函数图象与轴有交点，则等价于对应的一元二次方程有实数根，即判别式大于或等于零，列方程即可求解． 【详解】解：令，得方程， 判别式． 二次函数的图象与轴有交点， ，得，即， 解得． 故答案为：． 【题型九】二次函数与二次方程的综合 【例9】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图像与坐标轴的交点，对称轴的特点是关键． 根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可． 【详解】解：二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴， ∴与轴的另一个交点是， ∴关于的一元二次方程的解是， 故选：A． 【变式9-1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【变式9-2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据函数图像求一元二次方程的根． 根据对称轴得到关于直线的对称点为，结合函数图像作答即可． 【详解】解：由图可知对称轴为直线， 则关于直线的对称点为， 可知的根是，． 故答案为：，． 【变式9-4】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（，为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为， ，解得． ∴二次函数为． 当时，取得最大值4． 当时，； 当时，； 时，． 关于的一元二次方程在的范围内有解， 即直线与函数在内有交点， 的取值范围是． 故答案为：． 【题型十】二次函数与坐标轴的交点坐标 【例10】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，，求出对应的x、y的值，即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴二次函数图象与x轴交于，， 当时，， ∴二次函数图象与y轴交于， ∴二次函数图象与坐标轴交点的坐标，，． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线经过，解答下列问题： (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式转化为顶点式即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式，求出的值即可求解； （）利用二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴抛物线， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； （3）解：由（）可知，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当，函数值最小，最小值为， 当时，函数值最大，最大值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与x轴的交点坐标； (3)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)，； (3)或． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）利用配方法把一般式配成顶点式； （2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （3）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：； （2）当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，； （3）抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为，， 当或时，， 即当时，x的取值范围是或 故答案为：或 【变式10-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标． （1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解； （2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 【题型十一】二次函数与不等式综合 【例11】（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ；不等式的解集是 ；不等式的解集是 ． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解：∵ ∴    ∵如图；与关于y轴对称，抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点，   ∴，即 ∴ 故答案为：. 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 【变式11-3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察图象，写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点，点，代入抛物线，然后利用待定系数法确定解析式即可． （2）求得方程的两个根，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线与方程的根，不等式的解集确定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点，代入抛物线， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 解得， 故不等式的解集为或． 【题型十二】二次函数的一般应用 【例12】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 【变式12-1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）已知一个矩形的周长为．将该矩形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体．设矩形的一条边长为． (1)用含的代数式表示矩形的另一边长； (2)设旋转后形成的圆柱的侧面积为，求关于的函数表达式； (3)求该圆柱侧面积的最大值，并指出此时矩形的长和宽各为多少． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，此时矩形的长和宽均为． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、代数式等： （1）根据题意即可求得答案； （2）分两种情况：当以边长为的边所在直线为旋转轴时，当以边长为的边所在直线为旋转轴时； （3）根据题意可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为，据此即可求得答案． 【详解】（1）根据题意可知矩形另一边长为． （2）当以边长为的边所在直线为旋转轴时 ，即． 当以边长为的边所在直线为旋转轴时 ，即． 综上所述，关于的函数表达式为． （3）根据题意可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值，此时矩形的长和宽均为． 【变式12-2】（25-26九年级上·天津北辰·月考）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】(1)； (2)当为或时，劳动基地的面积为 (3)196；160 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）篱笆总长，的长为，则，边长为正数，故且，即可得； （2）根据题意列一元二次方程，求解即可； （3）设，则，矩形的面积为，可得，依据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；； （2）解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为； （3）解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜羊羊”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜羊羊”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围___________； (2)求该网店每天销售吉祥物“喜羊羊”的利润（元）的最大值． 【答案】(1) (2)8750 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）根据销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数关系式，根据单个销售利润不低于10元，且不高于25元，求出的取值范围； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，； ，即； 故答案为：； （2）解：由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，最大，为． 【变式12-4】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 (1)求关于的函数表达式． (2)当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当元时利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，明确题意、正确列出函数解析式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求关于的函数表达式即可； （2）先根据题意列不等式求得x的取值范围，再列出获得的利润与x的函数解析式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设，分别把代入得：，解得：， ． （2）解：由题意得：， 由题意可得： ， 当时，元． 答：每台售价定为45元时利润最大，最大利润为元． 【变式12-5】（25-26九年级上·广西崇左·月考）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【答案】超速了 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，再把代入，把求出的与进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入 得 解得 ∴函数关系式为 将代入，则 整理得， 解得 (负值已舍去)， ∵， ∴超速． 【题型十三】抛物线图形及运动轨迹类的应用 【例13】（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）先求出M，N，P的坐标，由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得，则即抛物线解析式为，即可解答； （2）将代入（2）中的函数式求y的值，再与5m进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据矩形的长为12，宽为3，可得，， 根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6， 结合隧道最大高度为6，即：； 由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得， ∴即抛物线解析式为：， 整理成一般式为：； （2）能通过，理由如下： 过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动， 根据（1）可知，抛物线的对称轴为， ∵车的宽度为4米， ∴货车最左侧边缘的点的横坐标为， 即当x=4时，， ∵， ∴货车能通过． 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【答案】(1) (2)该隧道限高米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，然后设该二次函数的表达式为，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求得点，然后代入，求得其函数值，即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，， 不妨设该二次函数的表达式为，代入点， 得 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． ∴该隧道限高（米）． 答：该隧道限高米． 【变式13-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）掷实心球是某市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．小祎在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市初中学业水平体育与健康学科投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少?请说明理由．（） 项目 分数成绩 20分 19分 18分 17分 16分 15分 14分 13分 12分 11分 原地掷实心球（米） 男生 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 10.10 9.70 9.30 8.90 8.50 女生 9.10 8.70 8.30 7.90 7.50 7.10 6.70 6.30 5.90 5.50 【答案】(1) (2)该生得分为19分，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数顶点坐标为且经过， 设函数解析式为，把代入上式得： ， 解得：； ∴函数表达式为：； （2）解：该生得分为19分，理由： 由（1）得，令，则， 解得：，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【变式13-3】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 【答案】(1) (2)需要后退的距离为 【分析】本题考查二次函数的顶点式和实际应用，利用顶点式的性质确定函数参数是解题关键． （1）由二次函数顶点式的性质，顶点对应最大高度，故；再代入出手点求解，从而确定函数关系式． （2）先计算时的篮球高度，与乙的最大摸高比较，判定不能接到后，令求解，计算与原位置的距离差，确定后退的距离． 【详解】（1）解：已知篮球飞行的轨迹满足二次函数顶点式． 二次函数顶点对应篮球飞行的最大高度， ， 函数式化为， 篮球出手时的坐标为，将其代入函数式： 可得，即， 移项计算得： ， 解得． 函数关系式为． 答：． （2）解：判断能否接到： 乙在的位置，最大摸高为， 将代入函数关系式：， ， 乙原地接不到篮球． 计算后退距离： 令，代入函数关系式： ， 移项化简： ，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 乙原位置为， 需后退的距离为． 答：需要后退的距离为． 【变式13-4】（25-26九年级上·广西南宁·月考）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 【变式13-5】（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 【题型一】对二次函数图像特点不熟导致翻折问题出错 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解． 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图象有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点． 故选：D． 【题型二】缺乏数形结合能力导致动点的函数图像问题出错 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，分段求出函数解析式，利用解析式判断图象是解题的关键； 本题应分两段进行解答，①点在上运动，点在上运动，②点在上运动，点在上运动，依次得出与的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动， ∴点运动到点的时间为秒， 由题意得， ①当时，即点在上运动，点在上运动时，，，，为开口向上的抛物线的一部分； ②当时，即点在上运动，点在上运动时，，上的高为4，，为直线（一次函数）的一部分； 观察所给图象，选项D函数关系图正确； 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时；当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时， 进而得到，即得到点从点到点运动的时间为秒，得到点从点到点运动的时间为秒，即得，利用勾股定理求出再得到即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； 当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； ∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 【题型三】对二次函数的性质理解不全导致性质综合题出错 【例3】（25-26九年级上·江苏南京·月考）设二次函数（是实数）． (1)甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗说明理由． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． (3)已知二次函数的图象经过和两点（是实数），当时，求证：． 【答案】(1)乙求得的结果不对，理由见解析 (2)对称轴为直线，函数的最小值为 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将准确的用和表示出来是解题的关键． （1）将，代入求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为直线，当时，是函数的最小值； （3）将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 二次函数经过点，， ，， ， 当时，， 乙求得的结果不对； （2）解：对称轴为直线， 当时，是函数的最小值； （3）解：二次函数的图象经过和两点， ，， ， ， ，，且和不可以同时等于， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东泰安·月考）已知二次函数（a为常数，且）， (1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． (3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2)的值为或； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据交点确定不等式的解集，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，即可得的值，从而得二次函数解析式，求出二次函数与轴的交点坐标即可得到结论； （2）由二次函数解析式结合，可求出，代入，可求的值； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得，， ∴， 令，即， 解得，，， 又， ∴抛物线开口向下， ∴时，的取值范围为或； 故答案为：；或； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解：； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解：； 综上，的值为或； （3）解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上， ∴ ∴， ②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点， 将点代入，得， 解得，； 将代入得：， 解得，， 如图，此时抛物线与线段有两个交点， 综上，抛物线与只有一个交点时，或． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可； （3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可得，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴点P到对称轴的距离小于或等于点Q到对称轴的距离， ∴， 解得； （3）解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值p， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或 (3)当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了新定义，二次函数的其他应用，二次函数的图象性质，公式法进行解方程．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解“关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即当时，把代入，得，再解出或（舍去）；当时，把代入，得，或，即可作答． （3）理解题意，再进行分类讨论，当时，分析函数的图象性质，得有最大值为，最小值为；当时，则分析函数，则的最大值为，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵的函数称为二次函数的“关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式； （2）解：依题意，这个二次函数的“关联函数”的表达式：， 当时，把代入，得， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， ∴， ∴， 解得或； 综上：当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或； （3）解：∵二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式， ∵， 当时，则， ∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 在时，函数有最小值，且为， 在时，则， 在时，则， 综上：当时，则有最大值为，最小值为； 当时，则， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，函数有最大值，且为， 当时，则， 综上：当时，则的最大值为，最小值为； 综上：当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 【题型一】二次函数与线段周长综合 【例1】（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． (1)①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； (2)过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 【答案】(1)①2；②；③1， (2)线段的最大值为，点的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，并利用数形结合的思想． （1）①直接将点代入直线即可求解；②利用待定系数法即可求解；③将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）根据题意可设点的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入直线， 得 解得：， 故答案为：； ②由①得点 点，在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ③由②得 ， ∴抛物线解析式顶点坐标为， 故答案为：1，； （2）解：设点的横坐标为，其中， 点，点， ， ∵， 当时，最大，为， 此时点的坐标是，点Q的坐标是． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在线段上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值．将线段的最值转化为二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得的值，即可得抛物线的解析式；令，解方程即可求得的坐标； （2）线待定系数法求出直线的解析式，根据解析式分别表示两点的坐标，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可． 【详解】（1）解：∵拋物线过两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， 则抛物线解析式为； 令可得，， 解得：， ∵ 点在点的左侧， ∴点坐标为． （2）解：设直线解析式为， 把代入可得， 解得：， 则直线解析式为； ∵轴，点的横坐标为， ∴， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为． 【变式1-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【题型二】二次函数与面积综合 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，另一交点为，与轴的交点坐标为． (1)求出，的值； (2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； (3)点是抛物线上一点，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入点、的坐标即可解题； （2）根据二次函数的性质解题即可； （3）根据列方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； （2）解：由（1）得，函数解析式为， 整理得， 则该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：如图： 当时，， 解得：或， ∴； 由图可知， 其中， ∴有， 解得：， ∵点在抛物线上，抛物线顶点纵坐标为， ∴， 代入解析式有， 解得：或， ∴或． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线L与y轴交于点M，顶点，，与x轴交于B，C两点． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)连接，，，在抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线L的解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可得，则有直线的解析式为，设直线与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点G，求出，设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可设抛物线L的解析式为，把点M坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线L的解析式为； （2）解：存在， 由（1）可知：抛物线L的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 令时，则有， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点G，如图， ∴令时，则有，即， ∴， 设，则有， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或， ∴或． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏连云港·月考）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； （3）解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 【题型三】二次函数与角度综合 【例3】（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，抛物线的函数表达式为，抛物线经过点且与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、等腰三角形的判定、二次函数与角度综合、二次函数与一元二次方程的关系．理解二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）将点坐标代入抛物线解析式，解方程求的值以确定解析式； （2）先求抛物线对称轴与点坐标，再分点在对称轴左侧和右侧两种情况，利用角度相等的几何性质求点坐标． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．点的坐标为或，理由如下： 抛物线的对称轴为，如图， ，且点在抛物线上， 对点的位置进行分类讨论： 当点在抛物线对称轴的左侧时，此时， ∴， ， 点在直线上， 把代入抛物线，得， 解得，， 点的坐标为； 点在对称轴右侧时的情况，如图，延长交轴于点，此时， ∴， ， 设点坐标为， ，解得, 点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 点的坐标为，， 点坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 【题型四】二次函数与特殊三角形综合 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 【变式4-1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用待定系数法将、代入二次函数求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为，先求出，再计算，，，根据为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或， ， 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，，， 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与轴交点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先求出、的坐标，然后代入，求出、的值即可； （2）若是直角三角形，分两种情况讨论，或，利用直角的性质和构造相似三角形的方法分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 则； 令，则， ，， 把，坐标代入， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：当时，如图， ∵轴， ∴当时，轴， 即D纵坐标等于B点纵坐标， 当时，代入得： ， 解得， ∴； 当时， 作轴，轴， ∵， ∴， 又∵， ， 又∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 整理得 解得， 当时，代入， ∴； 综上所述D的坐标为或 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 【答案】(1)， (2)，M的坐标为 (3)1或2 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． 代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式； 设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积； 分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得， 故点， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 直线解析式为； （2）解：由题意，点， 则，，其中， ， 配方得， 当时，最大值为， ， 当最大时，最大，最大值为， 将代入，得， 故M的坐标为； （3）解：由（2）知，点，点，点， ， ， 当时，， 解得舍； 当时，， 解得不合题意舍， 当，， 解得舍去， 综上或 【题型五】二次函数与四边形综合 【例5】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【题型六】二次函数与相似三角形综合 【例6】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【变式6-1】（2021·贵州铜仁·三模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型七】二次函数与圆综合 【例7】（2025·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为，如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，根据轴对称的性质、坐标系内点坐标的规律、两点间距离公式可得 ；再结合勾股定理可得，整理后可得，然后说明，最后由并代入相关结论即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，， ∵，且A、B两点关于直线对称， ∴点在直线上， 设， ∵， ∴轴， ∴， 设且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，即， 由∵， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的性质、外接圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出，，用待定系数法求二次函数的解析式，并令，解方程即得； （2）设，则，，则，，由，得，求解方程即可； （3）在上取点D，使，连接，求出，由，，得，，，得，得，判断，得，    ，得，的最小值为，即得的最小值为． 【详解】（1）解：对， 令，则， 解得， 令，则， ∴，， 将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式：， 令，则， 解得或， ∴， （2）解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时， 整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：在上取点D，使，连接， 由（1）知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，∴， ∴， ∴    ， ∴， 当C，Q，D三点共线时，，取得最小值， 即取得最小值， ∴此时，取得最小值， 最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质和一次函数的图像和性质，解绝对值方程，分类讨论，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段性质，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $