专题04相似三角形（期末复习知识清单）九年级数学上学期浙教版

该初中数学相似三角形专题知识清单全面梳理了9大知识范畴，涵盖比例线段、黄金分割、相似三角形判定与性质、位似等内容，搭建从基础概念理解到综合问题解决的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+方法总结”构建完整体系，标注比例性质“内项积等于外项积”、相似判定“夹角条件”等重难点，设计13类题型及变式训练，培养推理能力与模型意识，助力学生自主梳理知识，教师可精准开展分层教学。

专题04 相似三角形（9知识&13题型&5方法清单） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【题型一】比例的性质 【例1】（25-26九年级上·湖南娄底·月考）若，则 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）若且，则 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）若则 ． 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知，则 ． 【题型二】比例线段 【例2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【变式2-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则d的值是 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【题型三】黄金分割 【例3】（25-26九年级上·浙江温州·月考）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【题型四】平行线截得的成比例线段 【例4】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【题型五】相似三角形的判定 【例5】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，求证：． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【变式5-4】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【题型六】相似三角形的动点问题 【例6】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【变式6-1】（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【变式6-3】（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【题型七】相似三角形的性质 【例7】（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知 ，和分别是边、的对应高线．若，则与的相似比是（） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式7-3】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． 【变式7-5】（25-26九年级上·四川成都·月考）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型八】相似三角形的应用 【例8】（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【变式8-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 【题型九】相似多边形 【例9】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式9-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A．②③ B．①② C．①③ D．都不相似 【变式9-2】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个等腰直角三角形都相似 C．各角分别相等的两个多边形相似 D．各边成比例的两个多边形相似 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【题型十】相似多边形的性质 【例10】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，四边形 四边形，它们的相似比是，已知，则 ． 【变式10-2】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【题型十一】位似图形的判断 【例11】（21-22九年级上·安徽阜阳·月考）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·福建漳州·月考）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型十二】位似图形的作图 【例12】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【变式12-1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【变式12-2】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为______； (3)的面积=______． 【题型十三】位似中心及相似比 【例13】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式13-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式13-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把放大后得到，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【变式13-4】（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为 ． 【题型一】相似三角形与四边形综合 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图1，在梯形中，，点E为边上一点，且，连接与对角线交于点O，，点F是边的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，连接交对角线于点G． ①如图2，若，求此时的余弦值； ②求，是等腰三角形时，求的面积． 【变式1-1】（2025·海南·三模）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当点是的中点时，若，求的长； (3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 【变式1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，是对角线，，，垂足分别为点E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积是面积2倍的三角形． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在菱形中，点、点分别在边、上，、的交点为点，且满足． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1-4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【题型二】相似三角形与圆综合 【例2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：． (2)当，时，求的值． (3)如图，在（）的条件下，若为直径，点分别在上，，且为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，四边形是圆内接四边形，连接交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】（）求证：． 【探索关系】（）当点关于对称时． ①若， ， 求的长． ②记 求出关于的函数表达式． 【题型三】相似三角形与一次函数综合 【例3】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． (1)如图1，证明：； (2)当为直角时，利用图2画出相应图形，并求点的坐标； (3)将沿直线翻折得到，连接，直接写出的最小值为__________． 【题型四】相似三角形与反比例函数综合 【例4】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，则 ，若，则的值为 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，的顶点C，D在双曲线上，，与轴交于点E．若与四边形的面积比为，则k的值为 ． 【题型五】相似三角形与二次函数综合 【例5】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点为轴上一动点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，作直线交轴于点． (1)求值和点坐标； (2)当点在轴下方时， 如图，当点为抛物线顶点时，求证：； 如图，当点在第四象限时，求的长； (3)当时，直接写出点坐标． 【变式5-1】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于A、B，交y轴于点C，且点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，设P点的横坐标为t，，求m与t的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点E为线段上一点，，点Q为第二象限的抛物线上一点，且，若，求点Q的横坐标． 【变式5-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交点，点，与轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为5时，求此时点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，连接交轴于点． ①当时，求点的坐标． ②当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形（9知识&13题型&5方法清单） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【题型一】比例的性质 【例1】（25-26九年级上·湖南娄底·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．由已知条件，将所求表达式拆分为，然后代入计算． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）若且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为，表示，，，再代入所求表达式计算即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（    ） A．4 B．10 C．25 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义可得，然后代入a和b的值计算 c即可． 【详解】解：∵ c 是 a 和 b 的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（c 为线段，取正值）． ∴． 故选B． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）若则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的求值，比例的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由已知比例关系，设参数表示变量，代入所求分式计算． 【详解】解：已知， 设，（其中）， 则， 故答案为：4． 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式求值，掌握运用设参数的方法解比例关系问题是解题的关键． 由已知比例关系，可设参数表示a和b，再代入所求式子计算． 【详解】解：设，则，（）， ∴． 故答案为． 【题型二】比例线段 【例2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则d的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键． 根据比例线段的定义，线段a，b，c，d成比例即，代入已知数值求解． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的应用，解题的关键是根据已知比例关系建立方程求解． 先根据线段的和差关系表示出，再结合已知的比例关系建立方程． 【详解】解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 【题型三】黄金分割 【例3】（25-26九年级上·浙江温州·月考）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割的定义是解题的关键．先根据黄金分割的定义确定与的数量关系 ，再代入的长度计算的长度即可求解． 【详解】解：由黄金分割的定义 知：， ， 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割得，进而可得出． 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，的长约为， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型四】平行线截得的成比例线段 【例4】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，掌握以上知识点是解题的关键. 根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值计算即可． 【详解】解：∵三条直线互相平行， ∴，即， 解得． 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选C． 【题型五】相似三角形的判定 【例5】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的基本性质以及相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 根据平行线的性质得到，，由此即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-4】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 【题型六】相似三角形的动点问题 【例6】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 【变式6-1】（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【答案】(1)5， (2)当t为秒或秒时，与相似，理由见详解 (3)当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【分析】（1）运用勾股定理得出，再结合动点运动速度以及运动方向，得出，即可作答． （2）根据与相似，进行分类讨论，再代入数值到比例式中进行计算，即可作答． （3）根据是等腰三角形，进行分类讨论，且每个情况进行作图，再结合等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，直角边，． ∴， ∵ 在点P自点A沿方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴， 由（1）得，， ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： 则， 解得； 依题意，当时，如图所示： 过点P作， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得， 依题意，当时，如图所示： 过点Q作， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型七】相似三角形的性质 【例7】（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知 ，和分别是边、的对应高线．若，则与的相似比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质；根据相似三角形的对应高线之比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵ ，和分别是边、的对应高线， ∴相似比， 故选：A． 【变式7-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ． 故选A． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式7-3】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 【变式7-4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查三角形的内角和，相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由，得到，即可解答． （2）由，得到，即，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． （2）∵，，， ∴， 即， ∴． 【变式7-5】（25-26九年级上·四川成都·月考）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）由得，由直角三角形斜边中线定理得，即可得，由得，由余角性质可得，可证，由相似得边成比例即可证明； （2）用（1）的结论求得，由相似比得，勾股定理求，再由三线合一得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴． 【题型八】相似三角形的应用 【例8】（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键． 过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵米，米，米 米，米， ∴， ∴米， ∴米． 故选：D． 【变式8-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得米，米，米，，，则，由相似三角形的性质代入数据计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，米，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点A的坐标为， 故选：C． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造相似三角形并利用相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 过点作于点，易得，，由阳光平行，得，结合垂直条件，证，根据相似三角形对应边成比例得，代入已知数据求出，再相加即得． 【详解】解：如图，过点作于点，易得，， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 答：这棵树的高度为． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键． 过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， 即可得、、、长，进而求出、长，由得，利用相似比求出长，由即可得出． 【详解】解：如图，过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， ∴米，米， 米，米，， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米． 【题型九】相似多边形 【例9】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 【变式9-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ） A．②③ B．①② C．①③ D．都不相似 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形，熟记相似多边形的定义是解题的关键．根据对应边成比例、对应角相等的多边形相似判断． 【详解】解：，矩形每个角都等于90度， 矩形②和③对应边成比例、对应角相等， 矩形②和③相似， 故选：Ａ． 【变式9-2】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个等腰直角三角形都相似 C．各角分别相等的两个多边形相似 D．各边成比例的两个多边形相似 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意； B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 【题型十】相似多边形的性质 【例10】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质． 由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，四边形 四边形，它们的相似比是，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 【详解】解：四边形 四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 【变式10-2】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 由，可得四边形与四边形的面积比等于，已知四边形的面积是，代入即可求解． 【详解】解：∵四边形 四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （1）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据相似四边形的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形与四边形相似， ， ， ， 解得：． 【题型十一】位似图形的判断 【例11】（21-22九年级上·安徽阜阳·月考）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形； 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【变式11-1】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可． 【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意． 故选：． 【变式11-2】（25-26九年级上·福建漳州·月考）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【题型十二】位似图形的作图 【例12】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 【变式12-1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作位似图形，位似图形的性质掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据与的相似比为，可得面积之比． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解： 与的相似比为， ． 故答案为：． 【变式12-2】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为______； (3)的面积=______． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)14 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，包括位似图形的画法，位似变换中点的坐标变化规律及位似图形的面积比． （1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）先计算出的面积，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求： （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为， 故答案为：． （3）解：， ∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴， ∴． 故答案为：14． 【题型十三】位似中心及相似比 【例13】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 【变式13-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式13-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 【变式13-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把放大后得到，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 【变式13-4】（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 【题型一】相似三角形与四边形综合 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·月考）如图1，在梯形中，，点E为边上一点，且，连接与对角线交于点O，，点F是边的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，连接交对角线于点G． ①如图2，若，求此时的余弦值； ②求，是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①②的面积是或 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、平行四边形判定与性质、矩形判定与性质及勾股定理的应用， （1）延长交于点M，先得出，及，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）①连接，作于点K，设，根据四边形是矩形及四边形是矩形，得出，证明求出即可求出结论； ②先求出，分三种情况：当时或当时或当时，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：延长交于点M， 在梯形中，， ， ， ， ， ， 点F是边的中点， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ，即； （2）解：①连接，作于点K， 设，由（1）知：， 在梯形中，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ， 在中，； ②连接， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形时，分三种情况： 当时， ， ， ， ， ； 当时， 由（1）知， ， ， ， ， ； 当时，则点O在的垂直平分线上， 在矩形中，， 则点M在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线，这与在同一直线上相矛盾， 故此种情况不存在； 综上所述，的面积是或． 【变式1-1】（2025·海南·三模）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当点是的中点时，若，求的长； (3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）由正方形的性质得出，，推出，证明得，即可说明结论； （2）根据勾股定理求出，证明得，代入数据计算即可； （3）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，根据四边形是矩形，推出，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵点是的中点时，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）的值不变． 如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 【变式1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，是对角线，，，垂足分别为点E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积是面积2倍的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，证明出，然后得到，即可证明； （2）首先得到是矩形，然后证明出，由得到，设，则，然后表示出，，，，进而求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）∵ ∴是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴设，则 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，面积是面积2倍的三角形有，，，． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在菱形中，点、点分别在边、上，、的交点为点，且满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了菱形的性质． （1）先根据菱形的性质得到，，再利用平行线的性质得到，，然后利用等量代换得到结论； （2）先证明得到，则，再利用代换得到，所以，根据相似三角形的性质，由得到，利用等量代换和比例性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，所以，则，然后利用等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， 又， ． （2）证明：由（1）得， 又， ， ， ， 在菱形中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ．． ． 【变式1-4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由对称性知，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型二】相似三角形与圆综合 【例2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：． (2)当，时，求的值． (3)如图，在（）的条件下，若为直径，点分别在上，，且为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)面积为定值，定值为 【分析】（）由角平分线的定义及圆周角定理可得，进而即可证明； （）利用相似三角形的性质可得，即得，进而由得到即可求解； （）作交于点，作交于点，连接，由得，即得，得到，利用和可得，得到，即得到四边形是平行四边形，得，进而由得，即可判断求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， 即， ∴， ∴， ， ， ， ； （3）解：面积为定值，理由如下： 作交于点，作交于点，连接， 平分， ， ， ∵为直径， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∴， ， 的面积为定值，定值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形三线合一得，则可证，根据垂径定理的推论即可证明； （2）先证得，据此求得的长，依据可得答案； （3）由知，证得，据此知，结合知，，由知，据此得出，结合，知，从而得出答案． 【详解】（1）解：连接， 是直径， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． 【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对圆周角为直角，垂径定理的推论，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等底共高三角形的面积关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为4 【分析】本题考查了圆的垂径定理、切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用弧中点的性质证明平行线，结合相似三角形的比例关系建立方程求解半径。 （1）由点是的中点得，结合得，进而推出，证得； （2）设半径为，利用切线性质得，垂径定理得，通过和推出，再由得，代入列方程求解得． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为，则， ∵是的切线， ∴，即． ∵是的中点， ∴，即, ∵， ∴， 又，故①。 由得， ∴,则②, 联立①②知，，则，即 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得（舍去）． 故半径的长为． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，四边形是圆内接四边形，连接交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】（）求证：． 【探索关系】（）当点关于对称时． ①若， ， 求的长． ②记 求出关于的函数表达式． 【答案】（）证明见解析；（）①；② 【分析】（）由圆内接四边形的性质可得，由平行线的性质及圆周角定理可得，进而即可证明； （）①由轴对称的性质得，，，进而根据得，即得，再根据可得，得到，最后利用即可求得的长；②由可得，得到，即得，进而可得，得到，即得，设，则，，由可得，即得，得到，又由得，即得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①∵点关于对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②由①知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型三】相似三角形与一次函数综合 【例3】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时E点坐标；当时，，同样方法求此时E点坐标． 【详解】解：设， 对于，当时，，解得， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为； 当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为， 综上所述，E点坐标为或． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，根据题意证明，进而根据相似三角形的性质得出，再判断其他选项，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， ， ， 又是的中点， ∴． ， ． ． ，故A选项不符合题意； ，即． ；故B选项符合题意； ， 不一定等于， 不一定与相似，故选项C不符合题意； ， ，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． (1)如图1，证明：； (2)当为直角时，利用图2画出相应图形，并求点的坐标； (3)将沿直线翻折得到，连接，直接写出的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为； (3)2 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）由题意得，推出，得到，求得，，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可； （3）由题意可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点运动到时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：所作图形如图， 对于直线， 令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点运动到时，的值最小，其最小值为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键． 【题型四】相似三角形与反比例函数综合 【例4】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，则 ，若，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、B、C作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，设，由反比例函数图象在第一、三象限可知：，由题意易得，则有，连接，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，与交于点P，则有，，然后根据反比例函数k的几何意义可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B、C作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，如图所示： ∴， 设，由反比例函数图象在第一、三象限可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，与交于点P， ∴，， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为，3． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质等，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点，先求得反比例函数的表达式，设点的坐标为，证明，求得，，根据和，可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点． 根据题意可知，，，的边上的高与的边上的高相同，设高均为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴ ∴反比例函数的表达式为． 设点的坐标为，可知，． ∵， ， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴，． ∵平分，，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为 ． 故答案为： 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，的顶点C，D在双曲线上，，与轴交于点E．若与四边形的面积比为，则k的值为 ． 【答案】18 【分析】作轴，垂足为，轴，垂足为，，垂足为，轴，垂足为，连接，可证明，得到，，接着证明与的面积比为，得到，然后证明，可得点的横坐标为2，设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出值，即可得到点坐标，从而得到值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，，垂足为，轴，垂足为，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵与四边形的面积比为， ∴与平行四边形的面积比为， ∴与的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵、在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等和相似的判定是关键． 【题型五】相似三角形与二次函数综合 【例5】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点为轴上一动点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，作直线交轴于点． (1)求值和点坐标； (2)当点在轴下方时， 如图，当点为抛物线顶点时，求证：； 如图，当点在第四象限时，求的长； (3)当时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，点坐标为 (2)见解析； (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）将点代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可求得的值，再令，即可求得点的坐标； （2）分别利用待定系数法求得直线、、的解析式，进而求得与的长，即可证明；设点坐标为，分别利用待定系数法求得直线、、的解析式，进而可表示出点、的坐标，从而得解； （3）作的外接圆，连接、，易证明为等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上， 过点作轴于点，从而可求得点的坐标，设点的坐标为，则可表示出，进而利用的值列方程即可求得的值，过点作轴于点，则，进而可表示出，的长，结合，易证，从而可表示出的长，进而得解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得， ，即， 解得， ， 当时，即， 解得或， 点坐标为； （2）解：证明：， 点为抛物线顶点， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， 令，得， ， ， ， ， ； 设点坐标为； 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， ， 令，得， ， ； （3）解：如图，作的外接圆，连接、， ， ， ， 为等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上， 过点作轴于点，则， ，， ， 设点的坐标为， 则， 整理得， 令，即， 整理得，解得或， 当时，即，此时点的纵坐标为，点在轴上，不符合题意，故舍去； 当时，即，即，解得或， 过点作轴于点，则， ，，， ， ， ， ，即， ， 当时，，则点的坐标为，， 当时，，则点的坐标为，， 综上所述，当时，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，圆的基本性质，圆的外心，相似三角形的判定与性质等，掌握相关性质定理并灵活构造辅助线是解题的关键． 【变式5-1】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于A、B，交y轴于点C，且点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，设P点的横坐标为t，，求m与t的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点E为线段上一点，，点Q为第二象限的抛物线上一点，且，若，求点Q的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点Q的横坐标为 【分析】本题考查的是二次函数综合、待定系数法求二次函数表达式、相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质及等腰三角形性质等知识点， （1）把代入表达式求出即可； （2）设P点的横坐标为t，则，作轴于点H，则，证明，根据相似三角形性质求出结论即可； （3）连接，作轴于点H，作于点M，作于点N，连接，作交直线于点T，作于点S，作交延长线于点R，先证明，设P点的横坐标为t，则，得出，进而求出所在直线表达式为，再证明，设Q点的横坐标为m，则，表示出点T坐标后代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点C，且点C坐标为， 把代入， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设P点的横坐标为t，则， 作轴于点H， 则， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴当时，， 解得：， ∴， ， ， ， ， ∵，， ， ， ； （3）解：连接，作轴于点H，作于点M，作于点N，连接，作交直线于点T，作于点S，作交延长线于点R， ， ， ， 轴，， 轴， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 设P点的横坐标为t，则， ， 由（2）知，， 则， ，， ∴点E横坐标为， ， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， 所在直线表达式为， 把代入， 则， 解得：（不合题意舍去）， ， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， 所在直线表达式为， ∴当时，， ， ∵， ， ， ， ， ， 设Q点的横坐标为m，则， ， ∴点T横坐标为， 纵坐标为， 把代入， 则， 解得：（不合题意舍去）， ∴点Q的横坐标为． 【变式5-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交点，点，与轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为5时，求此时点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，连接交轴于点． ①当时，求点的坐标． ②当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①点或；②或 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的计算得到直线的解析式，设，结合几何图形面积的计算得到，由此即可求解； （3）①根据题意得到或，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可； ②根据直角三角形的性质，分类讨论，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为， ∴当时，，则， 当时，，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方的抛物线上一点， ∴设， 如图所示过点作轴，交于点， ∴，， ∴ ， ∵的面积为5， ∴， 整理得，， 解得，， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴点的坐标为或； （3）解：①，，连接交轴于点， ∴，则或， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，点或； ②如图所示，是以为直角边的直角三角形， 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 综上所述，当是以为直角边的直角三角形时，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形面积的计算，一次函数解析式的计算，二元一次方程组的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $