1.3.2乘法公式(第3课时 完全平方公式的认识)导学案2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3.2乘法公式(第3课时 完全平方公式的认识) 复习回顾： 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加. (a＋b)·(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn 情景1. 计算下列各式： (1)(m＋3)2； (2)(2＋3x)2. 解：(1)(m＋3)2 ＝(m＋3)( m＋3) ＝m2＋3m＋3m＋9 ＝m2＋6m＋9； (2)(2＋3x)2 ＝(2＋3x)(2＋3x) ＝4＋6x＋6x＋9x2 ＝4＋12x＋9x2. →对比结果和原式你有什么发现? 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的2倍. →你能再举一些类似的例子验证你的发现? (1)(2x＋y)2＝(2x＋y)(2x＋y)＝4x2＋4xy＋y2； (2)(3a＋3b)2＝(3a＋3b)(3a＋3b)＝9a2＋12ab＋4b2. →你能用字母表示你发现的规律吗? (a＋b)2 ＝(a＋b)(a＋b) (幂的意义) ＝a2＋ab＋ab＋b2 (多项式乘法法则) ＝a2＋2ab＋b2. (两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍) · 尝试·思考 (1)你能用下图解释上面的公式吗? 直接求：总面积＝(a＋b)2 间接求：总面积＝a2＋ab＋ab＋b2 所以 ：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (2)如何计算(a－b)2?你是怎样做的? 方法一：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2 方法二：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2 所以 ：(a－b)2＝a2－2ab＋b2 [两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍] (3)请你设计一个图形解释这一公式 直接求：总面积＝(a－b)2 间接求：总面积＝a2－ab－ab＋b2 所以 ：(a－b)2＝a2－2ab＋b2 · 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2 [两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍] · 平方差公式和完全平方公式都是重要的整式乘法公式. · 完全平方公式特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； ③公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式； ④简记为：“首平方，尾平方，首尾2倍放中间”. · 回顾·反思 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 形与数是紧密联系在一起的，通过形可以直观地表示数，也可以把数的关系体现在形中；通过数可以揭示形的特征，也可以运用数的方法来处理有关形的问题. 例1：运用完全平方公式计算: (1)(2x－3)2； (2)(4x＋5y)2； (3)(mn－a)2 . 解：(1)4x2－12x＋9；(2)16x2＋40xy＋25y2；(3)m2n2－2amn＋a2. 情景2. (1)(a＋b)2与(－a－b)2相等吗? (2)(a－b)2与(b－a)2相等吗? 解：(1)分析一：(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a) ·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； 分析二：(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2. (2)分析一：(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2； 分析二：(b－a)2＝－(a－b) 所以(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(－1)2(a－b)2＝(a－b)2 随堂练习： 1. 计算： (1)(x＋2y)2； (2)(2xy－x)2； (3)(－3m＋n)2 解：(1)x2＋2xy＋4y2；(2)4x2y2－x2y＋x2；(3)9m2－6mn＋n2 2. 已知a＋b＝－3，求2a2＋4ab＋2b2 的值. 解：2a2＋4ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2×(－3)2＝18 · 阅读·思考 杨辉三角 我们已经知道(a＋b)2展开后等于a2＋2ab＋b2，请你利用多项式乘法法则将(a＋b)3展开.进一步，你能展开(a＋b)4，(a＋b)5吗?你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢?我们不妨找找规律! 如果将(a＋b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (a＋b)0＝1，它只有一项，系数为 1； (a＋b)1＝a＋b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成如图1所示的形式，那么你能发现什么规律? 观察图1中的数，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律继续写下去，可以得到下面的数表： 你能根据这个数表得到(a＋b)4，(a＋b)5的结果吗?利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确. (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a3b2＋5ab4＋b5 练习1. 1. 若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　C　). A．3 B．±3 C．6 D．±6 2. 下列运算正确的是(　C　). A. (3x)3＝9x3 B. (x－2)2＝x2－4 C. (－2ab2)2＝4a2b4 D.3a＋4b＝7ab 3. 如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①(a－2b)2；②a2－4ab；③a2－4ab＋b2；④a2－4ab＋4b2.其中正确的有(　C　). A.② B.①③ C.①④ D.④ 4. 利用完全平方公式计算： (1)(3x＋1)2； (2)(a－3b)2 ； (3)(2x＋)2 ； (4)(－2x＋3y)2 解：(1)9x2＋6x＋1；(2)a2－6ab＋9b2；(3)4x2＋2xy＋y2；(4)4x2－12xy＋9y2 5. 计算：(a＋b＋c)2 解：a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac 6. 化简求值：(2x＋1)(x－2)－(x－1)2＋5.其中x＝－5. 解：化简得＝x2－x＋2，当x＝－5时， 原式＝(－5)2－(－5)＋2＝32. 7. 已知a＋b＝10，ab＝21，求下列各式的值. (1)a2＋b2；(2)(a－b)2. 解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝102－2×21＝58； (2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝58－2×21＝16. 8. 已知x＋y＝8，x－y＝4，求xy. 解：xy＝12. 9. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值. 解：36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y， 所以m＋1＝±60， 所以m＝59或－61. 巩固练习： 1. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2－12ab＋(　 　)，你觉得这一项应是(　C　). A．3b2 B．6b2 C．9b2 D．36b2 2. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为(　B　). A.3 B.19 C.21 D.28 3. 已知a－＝5，a2－＝的值是(　A　). A．27 B．25 C．23 D．7 4. 设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A等于(　A　). A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab 5. 已知(x＋y)2＝49, (x－y)2＝25，xy＝(　B　). A．－6 B．6 C．12 D．24 6. 已知x＋y＝1，x2＋xy＋y2的值是　 　． 7. 已知(a＋b)2＝11，ab＝1. (1)求a2＋b2的值； (2)求(a－b)2的值. 答案：(1)a2＋b2＝9；(2)(a－b)2＝7. 8. 如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为　 ② 　； ①a＋b；②b－a；③(a＋b)( b－a)． (2)由图2可以直接写出(a＋b)2，(b－a)2，ab之间的一个等量关系是　(b－a)2＝(a＋b)2－4ab 　； (3)根据(2)中的结论，解决下列问题： ①若m－n＝8，mn＝20，求m＋n的值； ②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2＋y2＝12，BE＝3，直接写出图中阴影部分面积的平方． 答案：(3)①±12；②． 9. 乘法公式的探究及应用 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积 方法1：___(a＋b)2___ 方法2：__ a2＋2ab＋b2___ (2)观察图2，请你写出三个代数式(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的数量关系：__(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2____； (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： 已知a＋b＝2，a2＋b2＝34，求ab的值． 答案：(3) ab＝－15 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2乘法公式(第3课时 完全平方公式的认识) 复习回顾： 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加. (a＋b)·(m＋n)＝ 情景1. 计算下列各式： (1)(m＋3)2； (2)(2＋3x)2. →对比结果和原式你有什么发现? →你能再举一些类似的例子验证你的发现? →你能用字母表示你发现的规律吗? · 尝试·思考 (1)你能用下图解释上面的公式吗? (2)如何计算(a－b)2?你是怎样做的? (3)请你设计一个图形解释这一公式 · 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2 [两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍] · 平方差公式和完全平方公式都是重要的整式乘法公式. · 完全平方公式特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； ③公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式； ④简记为：“首平方，尾平方，首尾2倍放中间”. · 回顾·反思 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 形与数是紧密联系在一起的，通过形可以直观地表示数，也可以把数的关系体现在形中；通过数可以揭示形的特征，也可以运用数的方法来处理有关形的问题. 例1：运用完全平方公式计算: (1)(2x－3)2； (2)(4x＋5y)2； (3)(mn－a)2 . 情景2. (1)(a＋b)2与(－a－b)2相等吗? (2)(a－b)2与(b－a)2相等吗? 随堂练习： 1. 计算： (1)(x＋2y)2； (2)(2xy－x)2； (3)(－3m＋n)2 2. 已知a＋b＝－3，求2a2＋4ab＋2b2 的值. · 阅读·思考 杨辉三角 我们已经知道(a＋b)2展开后等于a2＋2ab＋b2，请你利用多项式乘法法则将(a＋b)3展开.进一步，你能展开(a＋b)4，(a＋b)5吗?你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢?我们不妨找找规律! 如果将(a＋b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (a＋b)0＝1，它只有一项，系数为 1； (a＋b)1＝a＋b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成如图1所示的形式，那么你能发现什么规律? 观察图1中的数，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律继续写下去，可以得到下面的数表： 你能根据这个数表得到(a＋b)4，(a＋b)5的结果吗?利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确. 练习1. 1. 若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　 　). A．3 B．±3 C．6 D．±6 2. 下列运算正确的是(　 　). A. (3x)3＝9x3 B. (x－2)2＝x2－4 C. (－2ab2)2＝4a2b4 D.3a＋4b＝7ab 3. 如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①(a－2b)2；②a2－4ab；③a2－4ab＋b2；④a2－4ab＋4b2.其中正确的有(　 　). A.② B.①③ C.①④ D.④ 4. 利用完全平方公式计算： (1)(3x＋1)2； (2)(a－3b)2 ； (3)(2x＋)2 ； (4)(－2x＋3y)2 5. 计算：(a＋b＋c)2 6. 化简求值：(2x＋1)(x－2)－(x－1)2＋5.其中x＝－5. 7. 已知a＋b＝10，ab＝21，求下列各式的值. (1)a2＋b2；(2)(a－b)2. 8. 已知x＋y＝8，x－y＝4，求xy. 9. 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值. 巩固练习： 1. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2－12ab＋(　 　)，你觉得这一项应是(　 　). A．3b2 B．6b2 C．9b2 D．36b2 2. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为(　 　). A.3 B.19 C.21 D.28 3. 已知a－＝5，a2－＝的值是(　 　). A．27 B．25 C．23 D．7 4. 设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A等于(　 　). A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab 5. 已知(x＋y)2＝49, (x－y)2＝25，xy＝(　 　). A．－6 B．6 C．12 D．24 6. 已知x＋y＝1，x2＋xy＋y2的值是　 ． 7. 已知(a＋b)2＝11，ab＝1. (1)求a2＋b2的值； (2)求(a－b)2的值. 8. 如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为　 　； ①a＋b；②b－a；③(a＋b)( b－a)． (2)由图2可以直接写出(a＋b)2，(b－a)2，ab之间的一个等量关系是 ； (3)根据(2)中的结论，解决下列问题： ①若m－n＝8，mn＝20，求m＋n的值； ②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2＋y2＝12，BE＝3，直接写出图中阴影部分面积的平方． 9. 乘法公式的探究及应用 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积 方法1： 方法2： (2)观察图2，请你写出三个代数式(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的数量关系： ； (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： 已知a＋b＝2，a2＋b2＝34，求ab的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $