安徽省合肥市2025-2026学年九年级上期末数学模拟试题

安徽省合肥市2025-2026学年九年级上期末数学模拟试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．如果线段，那么和的比例中项是（    ） A． B． C． D． 4．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（    ） A．3 B．4.5 C．5 D．12.5 6．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．反比例函数图象上有三个点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 12．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是 ． 13．已知实数x，y满足，则的最大值为 ． 14．如图，已知矩形，，，将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，当时， ， ． 三.（本题共16分） 15．已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 16．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)请在图中作，使和关于y轴对称，点、、的对应点分别为；并请写出的坐标； (2)求的面积． 四.（本题共16分） 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 18．如图，交的边于点，点，在上，是的直径，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证：是的切线． 四.（本题共16分） 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 20．瑞光塔位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）． 六.（本题共12分） 21．如图1，在四边形中，对角线与相交于点，平分，过点作的垂线，交于点，且平分． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，求的值． 七.（本题共12分） 22．如图，已知抛物线经过点，原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上找一点，使得． ①求点的坐标； ②当点在轴上方时，求的值． 八.（本题共14分） 23．在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《安徽省阜阳市临泉县2025-2026学年九年级上学期冬季协作区期末联考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D D B B A D D 1．A 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确； B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误； C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误； D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 逐一判断即可． 【详解】解：A．，是的正比例函数，不符合题意； B．，是的反比例函数，不符合题意； C．，是的反比例函数，符合题意； D．，是的反比例函数，不符合题意； 故选：C 3．D 【分析】此题考查了比例线段．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设a和b的比例中项是c， 则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． 那么和的比例中项是． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：反比例函数， 此函数图象在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大 点在第二象限 点在第四象限 故选：B． 8．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 9．D 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，线段的和差关系求出的长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 10．D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 11．3 【分析】根据简单的概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单的概率公式，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为3． 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出是等腰三角形是解题的关键． 过点作于点，根据四边形是菱形可知，可得出是等腰三角形，即可得到，再根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ∴， ， 故答案为． 13．5 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，可得，则，然后求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为5， 故答案为：5． 14． 或6 【分析】根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，得到，解方程并确定或，则，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵ ∴， ， ∴， 设，则，， ， 解得或，经检验符合题意， ∴或， ∴， ， 故答案为：或， 【点睛】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理，方程的应用等知识，掌握以上知识是解题的关键． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； ()依据“反比例函数为常数，(为常数，)，当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 16．（1）见解析，（2）11.5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积． （1）先找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可得到答案，根据的位置，写出的坐标即可； （2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，根据，，，作出关于y轴对称的，点； （2）解：∵在一个的长方形内， ∴的面积为 ． 17．(1) (2)， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． （2）解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，，由圆周角定理可得，证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，即可得出结果； （2）证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接，， ， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 19．(1)， (2) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可； （2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， ， ∴反比例函数表达式为，， ， 将、两点的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：令一次函数的图象与轴交于点，   轴，， ∴四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系． 20． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，设，则，证明，得到，，根据，得到 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：瑞光塔的高度约为． 21．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，利用三角形内角和定理求出，即可求出，进而得到再根据垂线的定义得到，由三角形外角的性质即可求解； （2）连接，根据平分，平分，可得平分，结合三角形内即耦合定理，可得，再根据三角形外角的性质结合直角三角形的性质可证，再根据，可证，推出，结合，即可证明； （3）连接，由（2）知，求出，设，则，，利用等边对等角结合（2）中由（2）知平分，，可得，，，可证，推出，结合，利用正弦的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）证明：连接 ∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由（2）知平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦的定义，熟练掌握三角形内心的性质及定义是解题的关键． 22．(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，从而得出，设抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①过点作轴于点．由题意可得，，由勾股定理可得，从而可得，即可得出结果；②当点在轴上方时，由①知点的坐标为，过点作垂直于对称轴于点，则点的坐标为，求出，再由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点，原点和轴上另一点， ∴， 设抛物线的表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，过点作轴于点． ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴，； ②当点在轴上方时，由①知点的坐标为， 如图，过点作垂直于对称轴于点，则点的坐标为， ∴，， ∴， ∴． 23．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $