第7章相交线与平行线（寒假衔接自测试卷）2025-2026学年人教版七年级数学下学期单元复习试卷（培优卷）

2025-2026学年七年级数学下学期第7章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第7章相交线与平行线；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角之和为钝角 C．两点之间，线段最短 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，角的分类，两点之间，线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、同位角只有在两直线平行时才相等，故原说法是假命题，不符合题意； B、两个锐角之和可能为钝角，直角，锐角，故原说法是假命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是真命题，符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法是假命题，不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查邻补角，等角的余角相等，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到，再根据等角的余角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）． 故选：B． 3．（本题3分）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 4．（本题3分）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 5．（本题3分）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 6．（本题3分）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 7．（本题3分）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 9．（本题3分）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，平移的性质，设， ，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：设， ，依题意， 乙的周长为：，故①正确； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴丁的周长为： 丙的周长为： ∴丙、丁的周长差为，故③正确； ②甲、乙的周长和为，不是定值，故②不正确 根据平移可知，④甲、乙、丙、丁的周长和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 故答案为：①③④． 10．（本题3分）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则 °． 【答案】60 【分析】此题考查了邻补角定义，角平分线的定义，求几何图形中角的度数，正确理解邻补角定义是解题的关键． 根据邻补角定义，角平分线定义进行推理论证即可． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ， ， ， 平分， ， 故答案为：60． 12．（本题3分）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论．过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对顶角相等得出． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 13．（本题3分）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 14．（本题3分）如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠性质平分角度，再在直角三角形中计算角度是解题的关键． 由折叠性质得到，再由得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据折叠性质即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得： ， ∴， ， 又， 由折叠可知，， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 16．（本题3分）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，利用辅助线构造平行线是解题的关键． 过点G作交于点L，令交于点N，则，，，根据角平分线的性质和角平分线的定义，用和表示出和，结合已知条件即可解答． 【详解】解：如图，过点G作交于点L，令交于点N， 设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴， 即． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）如图，直线、交于点，过点作射线平分，作． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据对顶角相等，平角可得的度数，再结合角平分线的定义可得，利用补角和即可求得的度数． （2）根据题意可得，，结合角平分线的定义可得，再利用补角即可求得的度数． ∴， ∴． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 18．（本题6分）如图，已知，直线在上方，点D是延长线上的一点，连接，若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质是关键． 由可得，，结合可得，，从而证明，进一步证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（本题8分）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2）由，得到，进而得到，得到，即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下 ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本题8分）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 21．（本题10分）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角定义，理解“割补线”的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． （2）解：∵恰好平分， ∴， ∴． （3）解：或， 理由：①如图，当时， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴， ∴， （即与重合）， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 22．（本题10分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 【答案】（1）；（2）（3），， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，相交线，平行线，关键是相关性质的熟练掌握． （1）根据对顶角相等，； （2）延长交于点，延长交于点，根据，以及对顶角相等可得，由内错角相等，两直线平行可得； （3）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长交于点，延长交于点， 则，， ， ， ， ， 即， ； （3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒， ∴射线最多运动到， 当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点， ∵， ∴， 与互相垂直时， ， ， 解得， ②如图所示，当射线返回时， ， ， 解得； ③当回到时，刚好垂直， ， 综上所述，，，时，与互相垂直． 23．（本题12分）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)或，过程见详解 (3)或 【分析】本题主要考查角的和差关系、平行线的性质、角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由可设，则，，设，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得，，，，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部且射线在内部时，当射线在外部时，当射线在射线下面时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：由可设，则， ∵， ∴， 设，由题意可分： 当射线在的内部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 当射线在的外部时，如图，    ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 由将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），可知：， ∵射线平分，射线平分，射线平分， ∴，，， 由题意可分： 当射线在的内部时，则有，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在的外部且射线在内部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线在外部时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当射线在射线下面时，即，如图，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当时，或． 24．（本题12分）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期第7章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第7章相交线与平行线；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角之和为钝角 C．两点之间，线段最短 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（本题3分）如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 3．（本题3分）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．（本题3分）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 7．（本题3分）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 9．（本题3分）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（本题3分）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则 °． 12．（本题3分）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则 ． 13．（本题3分）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 14．（本题3分）如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，则的度数是 ． 15．（本题3分）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 16．（本题3分）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）如图，直线、交于点，过点作射线平分，作． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．（本题6分）如图，已知，直线在上方，点D是延长线上的一点，连接，若，，求证：． 19．（本题8分）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 20．（本题8分）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 21．（本题10分）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 22．（本题10分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 23．（本题12分）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 24．（本题12分）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $