5.5 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练]

1．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　)

A．2k＋1

B．2k＋2

C．(2k＋1)＋(2k＋2)

D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k

解析：C　[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．]

2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证(　　)

A．n＝1　 B．n＝2　　C．n＝3　　D．n＝4

解析：C　[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]

3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)

A．Sk＋　　　 B．Sk＋＋

C．Sk＋－  D．Sk＋－

解析：C　[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①

得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②

由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－.]

4．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　)

A．f(n＋1)＝f(n)＋n

B．f(n＋1)＝f(n)＋2n

C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1

D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1

解析：B　[依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新

增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.]

5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某学生利用数学归纳法证明过程如下：

(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：D　[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.]

6．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是　________　.

解析：当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．

答案：2k＋2

7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为　________　.

解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.

答案：an＝

8．用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．

证明：(1)①当n＝1时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.

则当n＝k＋1时，