5.4 数列的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练] 1．某工厂2016年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2024年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(　　) A．2－1　　　　　　 B．2－1 C．3－1 D．3－1 解析：设2016年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝2－1，故选A. 2．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 解析：B　[设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)·，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.] 3．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 解析：A　[小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．] 4．某医院月初购买一台医疗设备价格为a万元，实行分期付款(每月底付款)，每期付款数相同，每月为一期，如果按月利率8‰，每月复利一次，若6个月付清，共付x万元，若12个月付清，共付y万元，则x、y满足(　　) A．x＝y B．x＜y C．x＞y D．x≥y 解析：B　[由已知x＝， y＝，＝＜1.故x＜y.] 5．(多选)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　) A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列 C．a＝ D．c＝ 解析：BD　[由条件，知a，b，c依次成公比为的等比数列，又a＋b＋c＝50，所以c＋2c＋4c＝50，所以c＝.] 6．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为　________　. 解析：去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a， ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)． 答案：11a(1.15－1) 7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机　________　分钟，该病毒占据内存64 MB.(1 MB＝210KB) 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 则2n＝64×210＝216，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴ 所需时间为16×3＝48(分钟)． 答案：48 8．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速率贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…， 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1， ∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． [能力提升练] 9．某钢厂的年产值由2002年的40万吨，增加到2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产值将接近(　　) A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 解析：C　[设年增长率为x，则2012年为： 40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝. 2022年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨)．] 10．(多选)在《增删算法综宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了96里路 B．此人第三天走的路程占全程的 C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 D．此人第五天和第六天共走了30里路 解析：AC　[设此人第n天走了an里的路，则数列{an}是首项为a1，公比q为的等比数列．因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192.对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，由于a3＝192×＝48，＞，所以B错误；对于C，由于378－192＝186,192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于a5＋a6＝192×＝18，所以D错误．故选AC.] 11．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，∴an＝(a1＋2)·n－1－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126.即全部资金为126万元． 答案：126 12．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少；而本年度当地的旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加.设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式． 解析：第1年投入为800万元， 第2年投入为800×万元， …， 第n年投入为800×n－1万元． 所以n年内的总投入为 an＝800＋800×＋…＋800×n－1 ＝800×＝4 000×. 第1年收入为400万元， 第2年收入为400×万元， …， 第n年收入为400×n－1万元， 所以n年内总收入为 bn＝400＋400×＋…＋400×n－1 ＝400×＝1 600×. [素养培优练] 13．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车， 每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%.混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为　________　. 解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量和为＋300×5＋a，所以＋300×5＋a≥5 000，即10a≥1 812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a的最小值为182. 答案：182 14．某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年年初M的价值比上一年年初减少10万元；从第7年开始，每年年初M的价值为上一年年初的75%. (1)求第n年年初M的价值an的表达式； (2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用；否则，必须在第n年年初对M更新．证明：必须在第9年年初对M更新． (1)解：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列， 又a6＝70，所以an＝70×n－6. 因此，第n年年初M的价值an的表达式为 an＝ (2)证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式，得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570， 故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an) ＝570＋70××4× ＝780－210×n－6， An＝ 因为{an}是递减数列，所以{An}也是递减数列． 又A8＝＝82＞80， A9＝＝76＜80.所以必须在第9年年初对M更新． 学科网（北京）股份有限公司 $