内容正文:
数学B版·选择性必修三
课前预习学案
课堂互动学案
课后素养提升
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课后素养提升
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
课程标准
素养解读
1.理解函数平均变化率的概念.
2.会求函数的平均变化率.
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
通过具体问题的思考和分析,提出计算平均变化率的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
[情境引入]
药物在动物体内的含量随时间变化的规律,是药学与数学间的边缘学科——药物动力学的研究内容,相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据,他克莫司是一种新型免疫抑制剂,在器官移植临床中的应用非常广泛,已知某病人服用他克莫司th后血药浓度w μg/L的一些对应数据如下表所示,
(1)当t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]时,w都是增加的,哪个时段w的增加更快?
(2)当t∈[3,5]时,平均每小时w的变化量为多少?这里的平均每小时的变化量有什么实际意义?
x
0
0.5
1
1.5
2
3
5
8
w
0
6.6
28.6
39.1
31
22.7
8.8
8.3
[知识梳理]
[知识点一] 函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量,称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量,称eq \f(Δy,Δx)=eq \f(y2-y1,x2-x1)(或eq \f(Δf,Δx)=eq \f(fx2-fx1,x2-x1))为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的 平均变化率 .
[知识点二] 函数平均变化率的几何意义(以直代曲)
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,kAB=eq \f(fx2-fx1,x2-x1)=eq \f(Δy,Δx).
在平均变化率中,Δx,Δy,eq \f(Δy,Δx)是否可以等于0?当平均变化率等于0时,是否说明函数在该区间上一定为常数.
[提示] Δx可以为正数,可以为负数,但不可以为0;Δy可以为0;eq \f(Δy,Δx)可以为0.当平均变化率eq \f(Δy,Δx)等于0时,并不说明函数在该区间上一定为常数.例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0,但它不是常数函数.
[知识点三] 平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)这段时间内的平均速率为(m/s).这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.即Δx=eq \f(ht2-ht1,t2-t1)
[预习自测]
1.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为( )
A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析:A [eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f1.1-f1,1.1-1)=eq \f(0.21,0.1)=2.1.]
2.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是 ________ .
解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:
eq \f(fx2-fx1,x2-x1),eq \f(fx3-fx2,x3-x2),eq \f(fx4-fx3,x4-x3),
结合图像可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
答案:[x3,x4]
3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是( )
A.eq \o(v,\s\up6(-))=eq \f(Δs,Δt)=eq \f(st+Δt-st,Δt)
B.eq \o(v,\s\up6(-))=eq \f(sΔt,Δt)
C.eq \o(v,\s\up6(-))=eq \f(st,t)
D.eq \o(v,\s\up6(-))=eq \f(st+Δt-sΔt,Δt)
解析:A [由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以eq \o(v,\s\up6(-))=eq \f(Δs,Δt)=eq \f(st+Δt-st,Δt).]
求函数的平均变化率
[例1] 已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
[思路点拨] 先计算函值的改变量Δy,再求Δx,最后求eq \f(Δy,Δx).
解:(1)由f(x)=2x2+1,
得Δy=f(2.01)-f(2)=0.080 2,
Δx=2.01-2=0.01,
∴eq \f(Δy,Δx)=eq \f(0.080 2,0.01)=8.02.
(2)∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2+1-2xeq \o\al(2,0)-1
=2Δx(2x0+Δx),
∴eq \f(Δy,Δx)=eq \f(2Δx2x0+Δx,Δx)=4x0+2Δx.
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0).
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0.
(3)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)=eq \f(fx1-fx0,x1-x0).
[变式训练]
1.求函数y=f(x)=2x2+3在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并求当x0=2,Δx=eq \f(1,2)时该函数的平均变化率.
解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)=eq \f(fx0+Δx-fx0,Δx)
=eq \f([2x0+Δx2+3]-2x\o\al(2,0)+3,Δx)=eq \f(4x0Δx+2Δx2,Δx)
=4x0+2Δx.
当x0=2,Δx=eq \f(1,2)时,
平均变化率的值为4×2+2×eq \f(1,2)=9.
求运动物体的平均速度
[例2] 已知一物体的运动方程为f(t)=3t2+5,
求(1)f(t)从0.1到0.2的平均速度;
(2)f(t)在区间[x0,x0+Δx]上的平均速度.
[解] (1)因为f(t)=3t2+5,
所以从0.1到0.2的平均速度为
eq \f(3×0.22+5-3×0.12-5,0.2-0.1)=0.9.
(2)f(t0+Δt)-f(t0)=3(t0+Δt)2+5-(3teq \o\al(2,0)+5)=3teq \o\al(2,0)+6t0Δt+3(Δt)2+5-3teq \o\al(2,0)-5=6t0Δt+3(Δt)2.
函数f(t)在区间[x0,x0+Δx]上的平均速度为eq \f(6t0Δt+3Δt2,Δt)=6t0+3Δt.
1.求运动物体的平均速度的步骤
第一步,求时间的改变量Δx=x2-x1;
第二步,求函数值的变化量Δy=f(x2)-f(x1);
第三步,求平均速度eq \f(Δy,Δx)=eq \f(fx2-fx1,x2-x1).
2.求平均速度的一个关注点
求点x0附近的平均速度,可用eq \f(fx0+Δx-fx0,Δx)的形式.
[变式训练2]
(1)如图所示,运动方程y=f(x)在A,B两点间的平均速度等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:B [平均速度为eq \f(1-3,3-1)=-1.故选B.]
(2)已知运动方程y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则eq \f(Δy,Δx)的值为( )
A.4
B.4x
C.4+2Δx2
D.4+2Δx
解析:D [eq \f(Δy,Δx)=eq \f(21+Δx2-2×12,Δx)=4+2Δx.故选D.]
[当堂达标]
1.已知函数y=2+eq \f(1,x),当x由1变到2时,函数的改变量Δy等于( )
A.eq \f(1,2)
B.-eq \f(1,2)
C.1
D.-1
解析:B [Δy=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2+\f(1,2)))-(2+1)=-eq \f(1,2).]
2.函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:C [平均变化率为eq \f(fb-fa,b-a)=eq \f(5b-a,b-a)=5.]
3.某市一天12小时内的气温变化图如图所示,则在区间[0,4]内温度的平均变化率为 ________ ℃/h.
解析:eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f4-f0,4-0)=-eq \f(1,4)(℃/h).
答案:-eq \f(1,4)
4.在曲线y=x2+2的图像上取点(1,3)及邻近的一点(1+Δx,3+Δy),则eq \f(Δy,Δx)为( )
A.Δx+eq \f(1,Δx)+2
B.Δx+2
C.Δx+eq \f(1,Δx)
D.Δx+eq \f(1,Δx)+2
解析:B [Δy=(x+Δx)2+2-(x2+2)=2xΔx+Δx2,
eq \f(Δy,Δx)=2x+Δx,
当x=1时,eq \f(Δy,Δx)=2+Δx.故选B.]
$