5.4 数列的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解析：(1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意， 得2n＋eq \f(nn－1,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0. 解得n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，由题意， 得2n＋eq \f(nn－1,2)＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－420＝0. 解得n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 等比数列模型 [例2]　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10) 解：方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，…， A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 解得x＝eq \f(5 000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810) ＝eq \f(5 000×1.00812,\f(1－1.00826,1－1.0082))≈883.5. 故小华每期付款金额约为883.5元． 方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则 A2＝x； A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)； A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)； ……， A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠债， ∴A12＝5 000×1.00812， 即5 000×1.00812 ＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x＝eq \f(5 000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)≈883.5. 故小华每期付款金额约为883.5元． 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式． [变式训练] 2．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%(可参考数据lg 2≈0.3)? 解析：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a1＝eq \f(2,5)，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2019年年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1. 依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分，即an－8%·an；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·bn ∴an＋1＝an－8%·an＋12%(1－an)＝eq \f(4,5)an＋eq \f(3,25)， 即an＋1－eq \f(3,5)＝eq \f(4,5)(an－eq \f(3,5))． 又a1－eq \f(3,5)＝－eq \f(1,5)， ∴{an－eq \f(3,5)}是以－eq \f(1,5)为首项，eq \f(4,5)为公比的等比数列， 则an＋1＝eq \f(3,5)－eq \f(1,5)×(eq \f(4,5))n. 由an＋1＞50%，得eq \f(3,5)－eq \f(1,5)×(eq \f(4,5))n＞eq \f(1,2)， ∴(eq \f(4,5))n＜eq \f(1,2)，∴n＞logeq \f(4,5) eq \f(1,2)＝eq \f(lg 2,1－3 lg 2)≈3. 则当n≥4时，不等式(eq \f(4,5))n＜eq \f(1,2)恒成立． ∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%. 数列与其他知识的交汇问题 [例3]　某市2018年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2018年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变． (1)记2018年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式. a1＝10 a2＝9.5 a3＝　____　 a4＝　____　 … b1＝2 b2＝　____　 b3＝　____　 b4＝　____　 … (2)从2018年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？ 解：(1) a1＝10 a2＝9.5 a3＝　9　 a4＝　8.5　 … b1＝2 b2＝　3　 b3＝　4.5　 b4＝　6.75　 … 当1≤n≤20且n∈N*时，an＝10＋(n－1)×(－0.5)＝－0.5n＋10.5； 当n≥21且n∈N*时，an＝0. 所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－0.5n＋10.5，1≤n≤20且n∈N*，,0，n≥21且n∈N*.)) 而a4＋b4＝15.25＞15， 所以bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1，1≤n≤4且n∈N*，,6.75，n≥5且n∈N*.)) (2)当n＝4时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝53.25. 当5≤n≤21时，Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋bn) ＝10n＋eq \f(nn－1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq \f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))4)),1－\f(3,2))＋eq \f(27,4)(n－4) ＝－eq \f(1,4)n2＋17n－eq \f(43,4)， 由Sn≥200得－eq \f(1,4)n2＋17n－eq \f(43,4)≥200， 即n2－68n＋843≤0，得34－eq \r(313)≤n≤21. 所以结合实际情况，可知到2034年累积发放汽车牌照超过200万张． 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决． (2)数列与不等式的交汇问题 ①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较． (3)数列应用题 ①根据题意，确定数列模型； ②准确求解模型； ③问题作答，不要忽视问题的实际意义． [变式训练] 3．某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？(参考数据：取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665) 解：甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(1＋30%)，所以10年所获得的总利润为 S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝eq \f(1.310－1,0.3)≈42.62(万元)， 贷款到期时，需要偿还银行的本息是 10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故使用甲方案所获纯利润为42.62－16.29＝26.33(万元)． 乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5，所以10年所获得的总利润为 T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋eq \f(10×9,2)×0.5＝32.5(万元)， 从第一年起，每年的贷款到期时所产生的本息组成等比数列，首项为1×(1＋5%)10万元，公比为eq \f(1,1＋5%)， 故贷款到期时，需要偿还银行的本息是 1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)] ＝1.05×eq \f(1.0510－1,0.05)≈13.21(万元)， 故使用乙方案所获纯利润为32.5－13.21＝19.29(万元)． 综上可知，甲方案获利更多． [当堂达标] 1．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N*　　　 B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N* C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 解析：C　[∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…， ∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….] 2．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为(　　) A．2100－1 B．2100＋1 C．299－1 D．299＋1 解析：B　[由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝2an－1，))∴eq \f(an＋1－1,an－1)＝2， ∴an＝2n－1＋1，∴a101＝2101－1＋1＝2100＋1.] 3．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过　________　秒落到地面． 解析：设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t＋eq \f(1,2)t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20. 答案：20 4．李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰问到期时，李先生一次可支取本息多少元？ 解：设第n个月存入的100元到期利息为an， 则a1＝100×2.7‰×36，{an}是公差为100×2.7‰的等差数列． ∴数列{an}的前36项和S36＝36a1＋eq \f(36×35,2)d ＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82， 3年共存入本金100×36＝3 600(元)． ∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)． $