5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列的性质及实际应用，通过生肖纪年、鞋号脚长等生活实例导入，衔接等差数列定义，搭建从概念到性质的学习支架，系统梳理等差中项、通项公式变形、性质及衍生数列等核心知识。 其亮点在于以课前预习、课堂互动、课后拓展为框架，通过题型分类（如等差中项、灵活设元、实际应用）结合规律方法与变式训练，培养学生逻辑推理、数学运算和数学建模素养，例如设备折旧问题的建模分析。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

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[提示]　插入的数分别为3,2，eq \f(a＋b,2)，0. [知识点二]　等差数列通项公式的变形及推广　 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)． 其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③即斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，可用来由等差数列任两项求公差． [知识点三]　等差数列的性质　 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋　an　＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. [知识点四]　由等差数列衍生的新数列　 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．(　　) (2)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　) (3)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　) (4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．(　　) 答案：1.√　2.×　3.√　4.× 2．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　) A．1　 B．3 C．2　　 D．4 解析：C　[因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.] 3．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　________　. 解析：设这三个数为a－d，a，a＋d， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.)) ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴这三个数的积为－21. 答案：－21 4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解：方法一　(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12. (2)直接化成a1和d的方程如下： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋d·a1＋4d＝52，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－3.)) ∴d＝3或－3. 方法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17， 解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2·a5＝52，,a2＋a5＝17，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.)) ∴d＝eq \f(a5－a2,5－2)＝eq \f(13－4,3)＝3或d＝eq \f(a5－a2,5－2)＝eq \f(4－13,3)＝－3. [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. 等差中项 [例1]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq \f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [变式训练] 1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为　________　，　________　，　________　. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8＋2＝2a，,a＋b＝2×2，,2＋c＝2b.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－1，,c＝－4.)) 答案：5　－1　－4 2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a5＝　________　. 解析：由数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则有eq \f(1,a3＋1)＋eq \f(1,a7＋1)＝eq \f(2,a5＋1)，可解得a5＝eq \f(7,5). 答案：eq \f(7,5) 灵活的设元解等差数列 [例2]　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． [解]　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b－a＝c－b＝d－c，,a＋b＋c＋d＝26，,bc＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，,c＝8，,d＝11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝11，,b＝8，,c＝5，,d＝2，)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，,a1＋da1＋2d＝40，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a\o\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－3，)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).)) ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. 3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [变式训练] 3．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq \f(85,9)，求这5个数． [解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝\f(85,9)，)) 整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9).))解得a＝1，d＝±eq \f(2,3). 当d＝eq \f(2,3)时，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)； 当d＝－eq \f(2,3)时，这5个数分别是eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3). 综上，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)或eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3). 等差数列性质及应用 [例3]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N*. [母体变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 4．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　　 ) A．10　　　　　　 B．15 C．20 D．40 解析：B　[由等差数列的性质，得a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006.因为a1，a2 011是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 011＝10.所以a2＋a1 006＋a2 010＝eq \f(3,2)×10＝15.] 等差数列的应用问题 [例4]　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(220－10d≥11，,220－11d＜11，))解得19＜d≤20.9. 所以，d的求值范围为19＜d≤20.9. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用．将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程． [变式训练] 5．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为(　　) A．2026 B．2027 C. 2028 D．2029 解析：C　[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an万平方米．由题意可知{an}是等差数列，首项a1＝400 ，公差d1＝50所以an＝400＋(n－1)50＝50n＋350，令50 n＋350＞820，解得n＞eq \f(47,5)，由于n∈N*，则n≥10,2019＋(10－1)＝2028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． [当堂达标] 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.] 2．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费　________　元． 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 答案：32.2 4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解]　法一：设这三个数为a，b，c(a＜b＜c)， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝18，,a2＋b2＋c2＝116，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.)) 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，　 　 ①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，　②)) 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4,6,8. $