6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦简单复合函数的求导法这一核心知识点，从现有求导方法无法解决的函数（如ln(2x-1)）切入，系统梳理复合函数的概念（y=f(g(x))）、求导法则（y'_x=y'_u·u'_x），并通过实例构建从概念理解到法则应用，再到与导数四则运算法则综合运用的学习支架。 资料以情境引入激发探究欲，通过“问题链”引导学生用数学眼光发现问题，例题分步拆解复合过程培养数学思维，实际应用（如曲线切线、最短距离）渗透数学建模。课中辅助教师清晰授课，课后分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第2课时　简单复合函数的求导法 课程标准 素养解读 1.能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2.能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2.在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. [情境引入] 如何求函数y＝ln(2x－1)的导数？ 现有方法无法求出它的导数． (1)用定义不能求出极限； (2)不是基本初等函数，没有求导公式； (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 [知识梳理] [知识点一]　复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)). 1.函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． [知识点二]　复合函数的求导法则　 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y　　u′·u′x；　 　　，即y对x的导数等于　y对u的导数与u对x的导数的乘积　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)下列函数都是复合函数．(　　) ①y＝－x3－＋1；②y＝cos；③y＝；④y＝(2x＋3)4. (3)函数y＝的导数是y′＝－.(　　) (4)f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(x)＝.(　　) (5)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x.(　　) 答案：(1)√　(2) × (3) √ (4)×　(5)× 2．函数y＝的导数是(　　) A.　　 B. C．－ D．－ 解析：C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.] 3．函数y＝cos的导数为　________　. 解析：y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin. 答案：3sin 求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝ －6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝. [解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝. (3)设y＝2sin u，u＝3x－， 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos. (4)设y＝u－，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x)′＝－u－×(－2)＝(1－2x)－ 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝x； (3)y＝ xcossin. [解]　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝＋＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4＝－sin 4x－2xcos 4x. 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝sin；(2)y＝sin3x＋sin x3；(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)． [解]　(1)y′＝(sin)′＝cos·′＝cos. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y′＝＝＝. (4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋. 复合函数导数法则的综合应用 [例3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A.　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　________　. [思路点拨] (1)→ → (2)→ 解析：(1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2， 解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.] [母题探究] 1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． 解：由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，∴＝2，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积． 解：由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.∴S△＝××1＝. 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [变式训练] 3．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 解：　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0. [当堂达标] 1．函数y＝(2 021－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(2 021－8x)7　 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 021)7 D．y′＝64(2 021－8x)7 解析：C　[y′＝8(2 021－8x)7·(2 021－8x)′＝－64(2 021－8x)7＝64(8x－2 021)7.] 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 解析：B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝ 2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 3．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是　________　. 解析：∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝ (1－x)e－x，∴f ′(2)＝－.根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－. 答案：－ 4．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] [基础达标练] 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A. y＝－x3－＋1　　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 解析：A　[A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．] 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 解析：A　[由题意，f′(x)＝2 cos 2x－2 sin 2x，所以f′＝2 cos π－2 sin π＝－2.] 3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.] 4．(多选)下列求导数运算不正确的是(　　) A．(sin x)′＝－cos x B．(log2x)′＝ C．()′＝ D．(e2x＋1)′＝2e2x＋1 解析：ABC　[选项A，(sin x)′＝cos x，故A错误；选项B，(log2x)′＝，故B错误；选项C，()′＝，故C错误；选项D，(e2x＋1)′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1正确．] 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析：ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2 xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5 x，故错误；对于D，y＝ x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．] 6．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为　________　. 解析：因为f(x)＝(ax2－1)，所以f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，所以＝2，所以a＝2. 答案：2 7．函数y＝ln 在x＝0处的导数为　________　. 解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝ln . (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程． 解：(1)由题知：＞0，所以(1＋x)(1－x)＞0，解得－1＜x＜1. 所以函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f′(x)＝＝，所以f′(0)＝＝2， 又因为f(0)＝ln ＝ln 1＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. [能力提升练] 9．(2020·邵阳市质检)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　 ) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x， ∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)，解得f′(－2)＝.] 10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P02－，其中P0为时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析：D　[由P(t)＝P02－得P′(t)＝－·P02－ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，所以18·2－＝4.5，即2－＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D.] 11．已知函数f(x)＝f′sin x cos 2x(其中f′(x)为f(x)的导函数)，则f　________　. 解析：∵f′(x)＝f′ ＝f′(cos x cos 2x－2 sin x sin2x)，∴f′＝f′＝ －f′，∴f′＝0，∴f(x)＝0，∴f＝0. 答案：0 12．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 解：　(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)． ∴f ′＝πe＝πe (2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0. 又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1.即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 解析：ACD　[在A中，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝′＝xln＝－e－x，即e－x＝－e－x， 此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，由ln x＝，令y＝ln x，y＝(x＞0)，作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求； 在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．] 14．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数．例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个．我们常常用偏导数来研究多元函数．以下是计算二元函数z＝f(x，y)＝2x2＋y＋3xy2在(1,2)处偏导数的全过程： f′x(x，y)＝4x＋3y2，f′y(x，y)＝1＋6xy，所以f′x(1,2)＝4×1＋3×22＝16， f′y(1,2)＝1＋6×1×2＝13，由上述过程，二元函数z＝g(x，y)＝ln(x2＋y2)，则g′x(1,2)＋gy′(1,2)＝　________　. 解析：根据题意，得到g′x(x，y)＝，g′y(x，y)＝，则g′x(1,2)＝＝，g′y(1,2)＝＝，因为g′x(1,2)＋g′y(1,2)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $