6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　简单复合函数的求导法

[情境引入]

如何求函数y＝ln(2x－1)的导数？

现有方法无法求出它的导数．

(1)用定义不能求出极限；

(2)不是基本初等函数，没有求导公式；

(3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题．

这节课我们就来研究这类函数的求导问题。

[知识梳理]

[知识点一]　复合函数的概念　

一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)).

1.函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

[提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．

[知识点二]　复合函数的求导法则　

复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y　　u′·u′x；　 　　，即y对x的导数等于　y对u的导数与u对x的导数的乘积　.

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　)

(2)下列函数都是复合函数．(　　)

①y＝－x3－＋1；②y＝cos；③y＝；④y＝(2x＋3)4.

(3)函数y＝的导数是y′＝－.(　　)

(4)f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(x)＝.(　　)

(5)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x.(　　)

答案：(1)√　(2) × (3) √ (4)×　(5)×

2．函数y＝的导数是(　　)

A.　　 B.

C．－  D．－

解析：C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]

3．函数y＝cos的导数为　________　.

解析：y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin.

答案：3sin

求复合函数的导数

[例1]　求下列函数的导数．

(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.

[解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝

－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.

(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．

∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

[变式训练]

1．求下列函数的导数．

(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝.

[解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u，

所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.

(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，

所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.

(3)设y＝2sin u，u＝3x－，

则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.

(4)设y＝u－，u＝1－2x，

则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x)′＝－u－×(－2)＝(1－2x)－

复合函数与导数的运算法则的综合应用

[例2]　求下列函数的导数．

(1)y＝；(2)y＝x；

(3)y＝