6.1.3 基本初等函数的导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，从导数定义出发，系统推导常数、幂函数、三角函数、指数函数及对数函数的导数公式，构建“定义推导—公式梳理—应用拓展”的学习支架，衔接导数概念与后续运算法则学习。 资料以情境引入激发探究欲，通过对比辨析导函数与函数在某点导数的区别，结合切线方程求解、质点运动分析等实例，提升学生逻辑推理与数学运算核心素养。分层练习覆盖基础应用与实际建模，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

6．1.3　基本初等函数的导数 课程标准 素养解读 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. [情境引入] 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题． [知识梳理] [知识点一]　导函数的定义　 当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝ y′＝ . 3.f′(x0)与f′(x)有什么区别？ [提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． [知识点二]　几个常用函数的导数　 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ [知识点二]　基本初等函数的导数公式　 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cosx　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sinx　 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝　axlna　 (a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ (a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)常数函数的导数是它本身．(　　) (2)指数函数的导数还是指数函数．(　　) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．下列说法正确的个数为(　　) ①若y＝，则y′＝×2＝1；②若f ′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x；③f(x)＝，则f ′(x)＝－. A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析：B　[只有③正确．] 3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是　________　. 解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)． 答案：(0,0) 用求导公式求函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x; (3)y＝log5x；(4)y＝cos；(5)y＝sin ；(6)y＝ln x；(7)y＝ex. 解：(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3. (3)y′＝. (4)y＝sin x，y′＝cos x．(5)y′＝0.(6)y′＝. (7)y′＝ex. 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [变式训练] 1．(多选)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B.′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D.′＝ 解析：ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin ＝，而′＝0，所以B错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确．] 利用导数公式求切线方程 [例2]　求曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线方程． [解]　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [母题变式] 1．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线． [解]　因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． [解]　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0,0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [变式训练] 2．在曲线y＝f(x)＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. [解]　设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan 135°＝－1，即－2x＝－1，∴x0＝2.代入曲线方程得y0＝2－，∴点P的坐标为(2，2－)． 导数的简单应用 [例3]　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价P(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系P(t)＝p0(1＋5%)t， 其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01元/年) 解：根据基本初等函数的导数公式表有， P′(t)＝1.05tln1.05≈0.08， 所以；P′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)． 所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数就是速度，速度对时间t的导数即为加速度． (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题． [变式训练] 3．质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为　________　；质点运动的加速度为　________　； 解析：v(t)＝S′(t)＝cos t， ∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. ∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 答案：　 －sin t [当堂达标] 1．下列各式中正确的是(　　) A．(logax)′＝　　 B．(logax)′＝ C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3 解析：D　[由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．] 2．(多选)下列求导运算错误　的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(3x)′＝3xlog3e C．(lg x)′＝ D．(x－2)′＝－2x－1 解析：ABD　[(cos x)′＝－sin x，故A不正确；(3x)′＝3x·ln 3，故B不正确；(lg x)′＝，故C正确；(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3，故D不正确．] 3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为　________　. 解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－. 答案：1或－ 4．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为：k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点， 使在这一点处的两条切线互相垂直． [基础达标练] 1．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：A　[因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x．所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.] 2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1 解析：B　[由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．] 3．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：C　[因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.] 4．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　) A.′＝ B．()′＝ C．(xa)′＝axa－1 D．(logax)′＝ 解析：BC　[由′＝－，可知A错误；由()′＝，可知B正确；由(xa)′＝axa－1，可知C正确；由(logax)′＝，可知D错误；故选BC.] 5．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2020(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析：D　[∵f1(x)＝sin x，∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f′1(x)＝cos x，f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x， 由此可知：fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N，∴f2020(x)＝f4(x)＝－cos x．] 6．已知f(x)＝2x，则f′＝　____________　. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝e ln 2. 答案： e ln 2 7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　________　. 解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4. 答案：4 8．已知曲线方程为y＝x2，求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程． 解析：解法一：设过A(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k. 由得x2－kx＋3k－5＝0. Δ＝k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，∴k＝2或k＝10. 所求的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 解法二：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x， ∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即＝2x0. 又y0＝x，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)，(5,25)． ∴所求直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. [能力提升练] 9．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x(0＜x＜π)，h(x)＝ln x(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：B　[①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝＜1.②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝，由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2.综上，c＞b＞a.] 10．记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导，即先对y＝f(x)求导得y＝f′(x)，再对y＝f′(x)求导得y＝f(2)(x)，下列函数中满足f(2)(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln x 解析：C　[A，f′(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；B，f′(x)＝cos x，f(2)(x)＝－sin x≠f(x)；C，f′(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；D，f′(x)＝，f(2)(x)＝－≠f(x)，综上可知，只有C满足f(2)(x)＝f(x)，故选C.] 11．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r)．相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝　________　(写出关于r的表达式)． 解析：由题意有：V′(r)＝S(r)，因为S(r)＝ 24r2，所以V′(r)＝24r2，则V(r)＝8r3. 答案；8r3 12．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x， 则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C.] 14．已知函数f(x)＝x2020，则f′＝　________　 解析：∴f(x)＝x2020，∴f′(x)＝2020x2019， ∴f′＝2020×2019＝2020×＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $