6.1.3 基本初等函数的导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

6．1.3　基本初等函数的导数

[情境引入]

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题．

[知识梳理]

[知识点一]　导函数的定义　

当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝ y′＝ .

3.f′(x0)与f′(x)有什么区别？

[提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．

[知识点二]　几个常用函数的导数　

[知识点二]　基本初等函数的导数公式　

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)常数函数的导数是它本身．(　　)

(2)指数函数的导数还是指数函数．(　　)

(3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．下列说法正确的个数为(　　)

①若y＝，则y′＝×2＝1；②若f ′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x；③f(x)＝，则f ′(x)＝－.

A．0个　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

解析：B　[只有③正确．]

3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是　________　.

解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)．

答案：(0,0)

用求导公式求函数的导数

[例1]　求下列函数的导数：

(1)y＝x－3；(2)y＝3x; (3)y＝log5x；(4)y＝cos；(5)y＝sin ；(6)y＝ln x；(7)y＝ex.

解：(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3. (3)y′＝.

(4)y＝sin x，y′＝cos x．(5)y′＝0.(6)y′＝.

(7)y′＝ex.

求简单函数的导函数有两种基本方法

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[变式训练]

1．(多选)下列结论错误的是(　　)

A．(cos x)′＝sin x

B.′＝cos

C．若y＝，则y′＝－

D.′＝

解析：ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin ＝，而′＝0，所以B错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确．]

利用导数公式求切线方程

[例2]　求曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线方程．

[解]　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.