5.4 数列的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．4　数列的应用

[情境引入]

我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还，分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还．目前，常见的分期还款方式，有“等额本金还款法”，“等额本息还款法”．你能根据这两种还款方式的名称猜出他们的不同吗？

[知识梳理]

1．等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率，，符号表示为an＝＋[A0－(n－1)]×r.

2．等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．

每期还款金额x0＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．

[预习自测]

1．“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》，通过计算得到的答案是(　　)

A．2　　　　　　　　 B．3

C．4  D．5

解析：B　[由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n层有2n－1a盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381，∴a＝3.]

2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，那么此数列

的项数为(　　)

A．58  B．59

C．60  D．61

解析：A　[能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故an＝2＋(n－1)35＝35n－33.由an＝35n－33≤2022，得n≤58＋，n∈N*, 故此数列的项数为58.]

3．某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为p，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为(　　)

A．(1＋p)12  B．(1＋p)12－1

C．(1＋p)11  D．12p

解析：B　[由题意，今年12月份的月产量为a(1＋p)12，则增加的比率为＝(1＋p)12－1.]

等差数列模型

[例1]　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

[解析]　设每次交款数额依次为 a1，a2，…，a20，

则a1＝50＋1 000×1%＝60，

a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，

…

a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，

即第10个月应付款55.5元．

由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，

所以有S20＝×20＝1 105，

即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．

反思感悟

建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．

[变式训练]

1．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

解析：(1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，

得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.

解得n＝7，n＝－20(舍去)．

所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．

(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，

得2n＋＋5n＝3×70，

整理得n2＋13n－420＝0.

解得n＝15，n＝－28(舍去)．

所以第2次相遇是在开始运动后15分钟．

等比数列模型

[例2]　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)

解：方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则

A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，

A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，…，

A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，

解得x＝

＝≈883.5.

故小华每期付款金额约为883.5元．

方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则

A2＝x；