5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．3.2　等比数列的前n项和公式

第1课时　等比数列的前n项和公式

[情境引入]

国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016－－2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．

[知识梳理]

[知识点一]　等比数列的前n项和公式　

1.类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?

[提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．

[知识点二]　等比数列前n项和的性质 　

1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．

3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．

[知识点三]　错位相减法　

1．推导等比数列前n项和的方法

一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　　 　①

用公比q乘①的两边，可得

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，　　②

由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

整理得Sn＝(q≠1)．

2．我们把上述方法叫　错位相减法　，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.

2.等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？

[提示]　根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，

则得＝q，即＝q，进而可求Sn.

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　)

(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　)

(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　)

(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)

A．4　　　　　　　 B．－4

C．2  D．－2

解析：A　[由S5＝＝44，得a1＝4.]

3．已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则公比q＝　________　.

解析：q3＝＝＝8，所以q＝2.

答案：2

等比数列前n项和的应用

[例1]　在等比数列{an}中，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；

(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.

[解]　(1)由题意知

解得或

从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.

(2)法一：由题意知解得从而S5＝＝.

法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝.

又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝.

(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．

从而或又Sn＝＝126，所以q为2或.

1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．