5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用 3.能用分组转化方法求数列的和 1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 2.借助分组求和，培养学生的数学运算素养. [情境引入] 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息．在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮转播)……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列， 1,3,9,27,81，… 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列前n项和公式的函数特征　 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． [知识点二]　数列求和的基本方法　 (1)公式法 直接用等比数列的求和公式求解． (2)例序相加法 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加． (5)并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用并项法求解． (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　　) (2)若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(　　) (3)若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(　　) (4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．(　　) (5)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－， 由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝. 方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即2x·3－1＝x－，解得x＝. 3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 解析：A　[Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2＋1－.] 4．已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn. 解：由题得an＝2n－3n－1， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝－3·－n ＝2n＋1－－2. 等比数列前n项和公式的函数特征应用 [例1]　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式． [解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝ 已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． [变式训练] 1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝　________　. 解析：显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又Sn＝·3n＋t，∴t＝－. 答案：－ 等比数列前n项和在几何图形中的应用 [例2]　如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ [思路点拨]　可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． [解]　设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…， 则a1＝25， 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以ak＋1＝ak， 因此{an}是以25为首项，为公比的等比数列． 设{an}的前n项和为Sn (1)S10＝＝50×＝ 所以，前10个正方形的面积之和为cm2. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…， 而Sn＝＝50×， 随着n的无限增大，n将趋近于0，Sn将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [变式训练] 2．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了　________　个正方形； (2)第n个图形共挖掉了　________　个正方形，这些正方形的面积和是　________　. 解析：(1)73　(2)　1－n　[设第n个图形共挖掉an个正方形，则1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.(1)故图③中共挖掉了＝73个正方形；(2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n.] 等比数列前n项和在实际问题中的应用 [例3]　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)． [思路点拨]　由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n， Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…6＋1.5n) ＝－(7.5＋6＋1.5n)＝420×1.05n－n2－n－420当n＝5时，S5≈63.5 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨． 解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． [变式训练] 2．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入． 解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入800×万元， …… 第n年投入800×n－1万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列． 所以n年内的总投入Sn＝800＋800×＋…＋800×n－1 ＝4 000×(万元)． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×万元， …… 第n年旅游业的收入为400×n－1万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 公比为的等比数列． 所以n年内旅游业的总收入 Tn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1 600×(万元)． 故n年内的总投入为4 000×万元， n年内旅游业的总收入为1 600×万元． 　　　分组求和法 [例4]　已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. [思路点拨]　通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了． [解]　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋＋2＋…＋n－1＝. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝＋＋…＋ ＝n－＝(2n－1)＋n－1. 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 [变式训练] 4．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn. [解]　Sn＝2＋4＋6＋…＋ ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋＝＋＝n(n＋1)＋－. [当堂达标] 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏　　　　　　 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.] 2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于　________　. 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6 3．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为　________　. 解析：通项an＝＋＋…＋＝＝1－ ∴前n项和Sn＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋. 答案：n－1＋ 4．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2021年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2021年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2021年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1. (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤，∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨． [基础达标练] 1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.] 2．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 解析：A　[依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150.] 3．(2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末)数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝.] 4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元．则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为(　　) A．93万元 B．45万元 C．189万元 D．96万元 解析：A　[设第一到第五实验室的设备费用分别为a1，a2，a3，a4，a5；则由题意a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，设公比为q，且a3－a1＝9，a5－a3＝36；a5－a3＝a3q2－a1q2＝36，解得q＝2或q＝－2(舍)；由a3－a1＝3a1＝9得a1＝3.所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝93.] 5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　) A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列． 所以S6＝＝＝378，解得a1＝192. 选项A：a6＝a1q5＝192×()5＝6，故A错误，选项B：由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，故B正确．选项C：a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确．选项D：a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×(1＋＋)＝336，则后3天走的路程为378－336＝42，而且336÷42＝8，D正确．故选BCD.] 6．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，∴an＝(a1＋2)·n－1－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元． 答案：126 7．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为　________　 . 解析：设等比数列为{an}，其公比为q，由题意知，S5＝＝93，a1＋a2＝a3，可得a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以，1＋q＝q2，解得q＝2或q＝－(舍去)，当q＝2时，可得＝93，解得a1＝3. 答案：3 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. [能力提升练] 9．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者．某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者．现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过(　　)次检测． A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C. 法二：设第n次检测后余下的人数为an，则a1＝16且an＝an＋1，故an＝16×n－1，令an＝1，则n＝5，故需要检测5次，故选C.] 10．(多选题)(2021·江苏省木渎高级中学高二期末)一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn＜500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 解析：AC　[由题可知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×； 第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×2；…… 第n次着地后，Sn＝100＋200×＋200×2＋…＋200×n－1， 则Sn＝100＋200＝100＋400，显然Sn＜500，又Sn是关于n的增数列，n≥2，故当n＝2时，Sn的最小值为100＋＝. 综上所述，AC正确，故选AC.] 11．如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和为　________　. 解析：设依次所作的第n个正方形的边长为an，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn，则第n个等腰直角三角形的腰长为an，且a1＝1.∴第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an，∴＝，Sn＝a＋×2a＝a，∴＝＝＝2＝2＝，且S1＝a＝×12＝，所以数列，∴{Sn}是以为首项，为公比的等比数列．Sn＝(1－)． 答案：Sn＝ 12．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2019年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2029年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元)． (参考数据：1.29≈5.160,1.210≈6.192,1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x，整理得：an＋1－5x＝(an－5x)，＝，又a1－5x＝1000－5x＞0，∴数列{an－5x}是以1000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1000－5x)·n－1，an＝(1000－5x)·n－1＋5x，∴2029年初资金翻两番∴a11＝(1000－5x)·10＋5x≥4000，解得x≤84.4，所以x的最大值是84. [素养培优练] 13．(多选))计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC　[设第n＋1分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减得：an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选ABC.] 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1且an＋1－2an－1＝0，若(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　__________　. 解析：因为an＋1－2an－1＝0，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，an＝2n－1.因此Sn＝－n＝2n＋1－2－n. 所以(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立， 可化为(－1)nλ≤2n＋1＋n－2对∀n∈N*恒成立． 当n为奇数时，－λ≤(2n＋1＋n－2)min，所以－λ≤3 ，即λ≥－3； 当n为偶数时，λ≤(2n＋1＋n－2)min，解得λ≤8.综上，实数λ的取值范围是[－3,8]． 答案：[－3,8] 学科网（北京）股份有限公司 $