5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用

[情境引入]

信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息．在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？

如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮转播)……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，

1,3,9,27,81，…

如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？

[知识梳理]

[知识点一]　等比数列前n项和公式的函数特征　

(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．

(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．

[知识点二]　数列求和的基本方法　

(1)公式法

直接用等比数列的求和公式求解．

(2)例序相加法

如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么

求这个数列的前n项和可用倒序相加法．

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(4)分组求和法

一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加．

(5)并项求和法

一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用并项法求解．

(6)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　　)

(2)若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(　　)

(3)若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(　　)

(4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．(　　)

(5)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)

A.　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，

由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝.

方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，

∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，

即2x·3－1＝x－，解得x＝.

3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)

A．n2＋1－  B．2n2－n＋1－

C．n2＋1－  D．n2－n＋1－

解析：A　[Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2＋1－.]

4．已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.

解：由题得an＝2n－3n－1，

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n

＝－3·－n

＝2n＋1－－2.

等比数列前n项和公式的函数特征应用

[例1]　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式．

[解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.

当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．

∴an＝

已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．